极限的解法与技巧-汇总

1极限的求法与技巧极限是解决数学问题的一种有效的工具。以下列举种方法，并附有例题。1.运用极限的定义例：用极限定义证明:1223lim22xxxx证:由244122322xxxxxx2222xxx0取则当20x时,就有12232xxx由函数极限定义有:1223lim22xxxx2.利用单调有界准则求极限预备知识：若数列na收敛，则na为有界数列，即存在正数M，使得对一切正整数n，有Man.此方法的解题程序为：1、直接对通项进行分析或用数学归纳验证数列na单调有界；2、设na的极限存在，记为Aannlim代入给定的表达式中，则该式变为A的代数方程，解之即得该数列的极限。例：若序列na的项满足)0(1aaa且),2,1(,211naaaannn,2试证na有极限并求此极限。解由aa1aaaaaaaaaaa12112111222121用数学归纳法证明aak需注意aaaaaaaaaaakkkkkkk2222121.又022121nnnnnnaaaaaaaana为单调减函数且有下界。令其极限为A由nnnaaaa211有：nnnnaaaa21lim1即AaAA21aA2aA)0(A从而aannlim.3.利用等价无穷小替换常用的等价无穷小关系：,~arctan~arcsin,~tan,~sin,0xxxxxxxxx,~1xex,ln~1axax,ln~)1(logaxxa,1~11xnxn3等价无穷小代换法设'',,,都是同一极限过程中的无穷小量，且有：''~,~，''lim存在，则lim也存在，且有lim=''lim例:求极限2220sincos1limxxxx解:,~sin22xx2)(~cos1222xx2220sincos1limxxxx=212)(2222xxx注：在利用等价无穷小做代换时，一般只在以乘积形式出现时可以互换，若以和、差出现时，不要轻易代换，因为此时经过代换后，往往改变了它的无穷小量之比的“阶数”4．利用极限的四则运算法则极限的四则运算法则叙述如下：若Axfxx)(lim0Bxgxx)(lim0(I))()(lim0xgxfxx)(lim0xfxxBAxgxx)(lim0(II)BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000(III)若B≠0则：BAxgxfxgxfxxxxxx)(lim)(lim)()(lim000,~)1ln(xx,21~11xx,~1)1(xx4（IV）cAxfcxfcxxxx)(lim)(lim00（c为常数）上述性质对于时也同样成立xxx,,总的说来，就是函数的和、差、积、商的极限等于函数极限的和、差、积、商。例：求453lim22xxxx解:453lim22xxxx=2542523225、利用两个重要的极限。1sinlim)(0xxAxexBxx)11(lim)(但我们经常使用的是它们的变形：))((,))(11lim()()0)((,1)()(sinlim)()(''xexBxxxAx例：求下列函数极限xaxx1lim)1(0、bxaxxcoslncoslnlim)2(0、)1ln(ln1ln)1ln(,11uauxaauxuaxx于是则）令解：（auauuauauxauxuuuuxxln)1ln(lnlim)1ln(lnlim)1ln(lnlim1lim0010000故有：时，又当)]1(cos1ln[)]1(cos1ln[(lim)2(0bxaxx、原式51cos1cos1cos)]1(cos1ln[1cos)]1(cos1ln[(lim0axbxbxbxaxaxx1cos1coslim0axbxx222222220220)2()2()2(2sin)2(2sinlim2sin22sin2limabxaxbxbxbxaxaxbxxx6.利用重要公式求极限或转化为函数的极限此方法必须在牢记重要极限的形式和其值的基础上，对所求式子作适当变形，从而达到求其极限的目的，这种方法灵活，有相当的技巧性。例：求nnnnnn1sin1lim1.解nnnnnn1sin1lim1=nnnnnn11sin1lim1=nnnnn11sin11lim1=nnnnnn11sin1111lim=11e=e6例：求极限axaxax1sinsinlim.解axaxax1sinsinlim=axaxaax1sinsinsin1lim=aaaaaxaxaaxaxsincoscossin1sin2sin2cos21lim=aaaxaaaxaaxasincos)(cossinsin2sincos21lim=ctgaaxaaaxaaxa)(cossinsin2sincos21lim=ctgae2~2sinaxax7、利用无穷小量与无穷大量的关系。（I）若：)(limxf则0)(1limxf(II)若:0)(limxf且f(x)≠0则)(1limxf例:求下列极限①51limxx②11lim1xx解:由)5(limxx故051limxx7由0)1(lim1xx故11lim1xx=8.变量替换例求极限.分析当时,分子、分母都趋于,不能直接应用法则,注意到,故可作变量替换.解原式==(令,引进新的变量,将原来的关于的极限转化为的极限.)=.(型,最高次幂在分母上)9.分段函数的极限例设讨论在点处的极限是否存在.分析所给函数是分段函数,是分段点,要知是否存在,必须从极限存在的充要条件入手.解因为8所以不存在.注1因为从的左边趋于,则,故.注2因为从的右边趋于,则,故.10、利用函数的连续性（适用于求函数在连续点处的极限）。)()](lim[))((lim)()(lim)]([)()()(lim)()(000000afxfxfauufaxxfiixfxfxxxfixxxxxxxx处连续，则在且是复合函数，又若处连续，则在若例：求下列函数的极限)1ln(15coslim)1(20xxxexx、（2）xxx)1ln(lim01ln))1(limln()1ln(lim)1ln(lim)1()1ln()1ln()2(6)0()1ln(15coslim)1ln(15cos)(01010011202exxxxxxxxxfxxxexxxexfxxxxxxxxxxx故有：令、由有：故由函数的连续性定义的定义域之内。属于初等函数解：由于11、洛必达法则（适用于未定式极限）定理：若9AxgxfxgxfAAxgxfiiixgxuxgfiixgxfixxxxxxxxxx)()(lim)()(lim()()(lim)(0)()()(0)(lim,0)(lim)('''''00000000），则或可为实数，也可为内可导，且的某空心邻域在与此定理是对00型而言，对于函数极限的其它类型，均有类似的法则。注：运用洛必达法则求极限应注意以下几点：1、要注意条件，也就是说，在没有化为,00时不可求导。2、应用洛必达法则，要分别的求分子、分母的导数，而不是求整个分式的导数。3、要及时化简极限符号后面的分式，在化简以后检查是否仍是未定式，若遇到不是未定式，应立即停止使用洛必达法则，否则会引起错误。4、当)()(lim''xgxfax不存在时，本法则失效，但并不是说极限不存在，此时求极限须用另外方法。例：求下列函数的极限①)1ln()21(lim2210xxexx②)0,0(lnlimxaxxax解：①令f(x)=21)21(xex,g(x)=l)1n(2x21')21()(xexfx,2'12)(xxxg22223)1()1(2)(,)21()(xxxgxexfx由于0)0()0(,0)0()0(''ggff10但2)0(,2)0(gf从而运用洛必达法则两次后得到122)1()1(2)21(lim12)21(lim)1ln()21(lim22223022102210xxxexxxexxexxxxxx②由axxxxlim,lnlim故此例属于型，由洛必达法则有：)0,0(01lim1limlnlim1xaaxaxxxxaxaxax222220sincossinlimxxxxxx=21注:此法采用洛必达法则配合使用两个重要极限法。[解法二]:2220sincos1limxxxx=21222sinsin122sinlimsin2sin2lim222222022220xxxxxxxxxxx注：此解法利用“三角和差化积法”配合使用两个重要极限法。[解法三]:21sin42lim4sin2limcos1limsincos1lim22032022202220xxxxxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了两个重要极限法配合使用无穷小代换法以及洛必达法则11[解法四]:21sin2)(limsincos1limsincos1lim224220224202220xxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了无穷小代换法配合使用两个重要极限的方法。[解法五]:2121lim)()2(2limsin2sin2limsincos1lim44022220222202220xxxxxxxxxxxxxxx注:此解法利用“三角和差化积法”配合使用无穷小代换法。[解法六]：令2xu21sincoscoscoslimcossinsinlimsincos1limsincos1lim0002220uuuuuuuuuuuuxxxuuux注：此解法利用变量代换法配合使用洛必达法则。[解法七]:2111limsincossinlimsincos1lim220222202220tgxxxxxxxxxxxx注:此解法利用了洛必达法则配合使用两个重要极限。12、利用函数极限的存在性定理（夹逼准则）定理:设在0x的某空心邻域内恒有g(x)≤f(x)≤h(x)且有:Axhxgxxxx)(lim)(lim0012则极限)(lim0xfxx存在,且有Axfxx)(lim0例:求xnxaxlim(a1,n0)解:当x≥1时,存在唯一的正整数k,使k≤x≤k+1于是当n0时有:knxnakax)1(及aakakaxknknxn11又当x时,k有knkak)1(lim00)1(lim1aaakknk及1limknkak0101lim