高一必修五数学数列全章知识点(完整版)

状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师1高一数学数列知识总结知识网络状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师2二、知识梳理一、看数列是不是等差数列有以下三种方法：①),2(1为常数dndaann②211nnnaaa(2n)③bknan(kn,为常数).二、看数列是不是等比数列有以下两种方法：①)0,,2(1且为常数qnqaann②112nnnaaa(2n，011nnnaaa)三、在等差数列｛na｝中,有关Sn的最值问题：(1)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最大值.(2)当1a0,d0时，满足001mmaa的项数m使得ms取最小值。在解含绝对值等差数列等比数列定义daann1)0(1qqaann递推公式daann1；mdaanmnqaann1；mnmnqaa通项公式dnaan)1(111nnqaa（0,1qa）前n项和)(21nnaanSdnnnaSn2)1(1)2(111)1(111qqqaaqqaqnaSnnn中项公式A=2ba推广：2na=mnmnaaabG2推广：mnmnnaaa2性质1若m+n=p+q则qpnmaaaa若m+n=p+q，则qpnmaaaa。2若}{nk成等差数列（其中Nkn）则}{nka也为A.P。若}{nk成等比数列（其中Nkn），则}{nka成等比数列。3．nnnnnsssss232,,成等差数列。nnnnnsssss232,,成等比数列。4)(11nmnmaanaadnmn11aaqnn，mnmnaaq)(nm状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师3的数列最值问题时,注意转化思想的应用。四.数列通项的常用方法：（1）利用观察法求数列的通项.（2）利用公式法求数列的通项：①)2()111nSSnSannn（；②na等差、等比数列na公式.（3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1nfaann；②).(1nfaann（4）造等差、等比数列求通项：①qpaann1；②nnnqpaa1；③)(1nfpaann；④nnnaqapa12.第一节通项公式常用方法题型1利用公式法求通项例1：1.已知{an}满足an+1=an+2，而且a1=1。求an。2.已知nS为数列na的前n项和，求下列数列na的通项公式：⑴1322nnSn；⑵12nnS.总结:任何一个数列，它的前n项和nS与通项na都存在关系：)2()1(11nSSnSannn若1a适合na，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示.题型2应用迭加（迭乘、迭代）法求通项例2：⑴已知数列na中，)2(12,211nnaaann，求数列na的通项公式；⑵已知nS为数列na的前n项和，11a，nnanS2，求数列na的通项公式.总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1nfaann”；迭乘法适用于求递推关系形如“)(1nfaann“；⑵迭加法、迭乘法公式：①11232211)()()()(aaaaaaaaaannnnnnn②1122332211aaaaaaaaaaaannnnnnn.题型3构造等比数列求通项例3已知数列na中，32,111nnaaa，求数列na的通项公式.总结：递推关系形如“qpaann1”适用于待定系数法或特征根法：状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师4①令)(1nnapa；②在qpaann1中令pqxxaann11，)(1xapxann；③由qpaann1得qpaann1，)(11nnnnaapaa.例4已知数列na中，nnnaaa32,111，求数列na的通项公式.总结：递推关系形如“nnnqpaa1”通过适当变形可转化为：“qpaann1”或“nnnnfaa)(1求解.例5已知数列na中，nnnaaaaa23,2,11221，求数列na的通项公式.总结：递推关系形如“nnnaqapa12”，通过适当变形转化为可求和的数列.强化巩固练习1、已知nS为数列na的前n项和，)2,(23nNnaSnn，求数列na的通项公式.2、已知数列na中，)(0)1()2(,211Nnananann，求数列na的通项公式.小结：数列通项的常用方法：⑴利用观察法求数列的通项；⑵利用公式法求数列的通项；⑶应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项：①)(1nfaann；②).(1nfaann（4）构造等差、等比数列求通项：①qpaann1；②nnnqpaa1；③)(1nfpaann；④nnnaqapa12.3、数列na中，)(,111nnnaanaa，则数列na的通项na。4、数列na中，)(231Nnaann,且810a，则4a。5、设na是首项为1的正项数列，且)(0)1(1221Nnaanaannnnn，则数列na的通项na.6、数列na中，)(22,111Nnaaaannn，则na的通项na.7、设数列na的前n项和为nS，已知)(3,11NnSaaannn，设nnnSb3，求数列nb的通项公式．状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师5第二节数列求和的常用方法一公式法:适用于等差、等比数列或可转化为等差、等比数列的数列。利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法.1、等差数列求和公式：dnnnaaanSnn2)1(2)(112、等比数列求和公式：)1(11)1()1(111qqqaaqqaqnaSnnn3、)1(211nnkSnkn4、)12)(1(6112nnnkSnkn213)]1(21[nnkSnkn巩固练习：设Sn＝1+2+3+…+n，n∈N*,求1)32()(nnSnSnf的最大值.二.裂项相消法:适用于1nnaac其中{na}是各项不为0的等差数列，c为常数；部分无理数列、含阶乘的数列等。例2求数列)1(n1n的前n项和这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用.裂项法的实质是将数列中的每项（通项）分解，然后重新组合，使之能消去一些项，最终达到求和的目的.通项分解（裂项）如：（1）111)1(1nnnnan（2）)121121(211)12)(12()2(2nnnnnan（3）])2)(1(1)1(1[21)2)(1(1nnnnnnnan状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师6巩固练习：1.在数列的前n项和为sn，则s992.数列的通项公式是11nnan,若前n项和为10，则项数为3.求数列,)1(6,,436,326,216nn前n项和三.错位相减法:可以求形如的数列的和，其中为等差数列，为等比数列.例1：求和：.例2:数列1，3x，5x2,…,(2n-1)xn-1前n项的和．小结：错位相减法类型题均为：nnab等差数列等比数列连续相加。四.常用结论1）:1+2+3+...+n=2)1(nn2）1+3+5+...+(2n-1)=2n3）2333)1(2121nnn4）)12)(1(613212222nnnn5）111)1(1nnnn)211(21)2(1nnnn111)1(1nnnn状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师7单元练习一、选择题：1．数列1，3，6，10，……的一个通项公式是（）A．n2－n+1B．2)1(nnC．n(n－1)D．2)1(nn2．已知数列的通项公式为an=n(n－1),则下述结论正确的是（）A．420是这个数列的第20项B．420是这个数列的第21项C．420是这个数列的第22项D．420不是这个数列中的项3．在数列{an}中，已知a1=1,a2=5,an+2=an+1－an,则a2000=（）A．4B．5C．－4D．－54．设数列{an}的首项为1，对所有的n≥2，此数列的前n项之积为n2，则这个数列的第3项与第5项的和是()A．925B．2521C．1661D．2752564、设{}na是等差数列，若273,13aa,则数列{}na前8项的和为()A.128B.80C.64D.565记等差数列的前n项和为nS，若244,20SS，则该数列的公差d（）A、2B、3C、6D、76设等比数列{}na的公比2q，前n项和为nS，则42Sa（）A．2B．4C．215D．2177若等差数列{}na的前5项和525S，且23a，则7a（）（A）12（B）13（C）14（D）158知na是等比数列，41252aa，，则12231nnaaaaaa=()（A）16（n41）（B）16（n21）（C）332（n41）（D）332（n21）9常数数列}{na是等差数列，且}{na的第5、10、20项成等比数列，则此等比数列的公比为（）A．51B．5C．2D．2110等差数列{}na的前n项和为nS，若39S，636S，则789aaa（）A．63B．45C．36D．27二、填空题11．已知na为等差数列，3822aa，67a，则5a____________状元堂数学培训学校主讲老师：柳老师812．设数列na中，112,1nnaaan，则通项na___________。13．设nS是等差数列{}na的前n项和，128a,99S,则16S三、解答题1、设等差数列{an}满足a3＝5，a10＝－9.(1)求{an}的通项公式；(2)求{an}的前n项和Sn及使得Sn最大的序号n的值2、已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2＝an＋an＋12，n∈N*.(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；(2)求{an}的通项公式．3、已知数列{xn}的首项x1＝3，通项xn＝2np＋nq(n∈N*，p，q为常数)，且x1，x4，x5成等差数列．求：(1)p，q的值；(2)数列{xn}前n项和Sn的公式．4、已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.(1)求数列{an}的通项公式；(2)求数列an2n－1的前n项和5、已知数列{an}是首项为a1＝14，公比q＝14的等比数列，设bn＋2＝3log14an(n∈N*)，数列{cn}满足cn＝an·bn.(1)求数列{bn}的通项公式；(2)求数列{cn}的前n项和Sn.