投影法概念.点的投影

投影法概念.点的投影1/7点、直线和平面点点在两投影面体系中的投影1点1.1点在两投影面体系中的投影1.1.1两投影面体系的建立两投影面体系由互相垂直相交的两个投影面组成，如图1所示，其中一个为水平投影面（简称水平面），以H表示，另一个为正立投影面（简称正面），以V表示。两投影面的交线称为投影轴，以OX表示。水平投影面H与正立投影面V将空间分为四个部分，称为四个分角，即第一分角、第二分角、第三分角、第四分角。(1)投影如图2所示，空间点A处于第一分角，按正投影法将点A向正面和水平面投射，即由点A向正面作垂线，得垂足a′，则a′称为空间点A的正面投影；由点A向水平面作垂线，得垂足a，则a称为空间点A的水平投影。画出点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′与V、H面的交线a′ax和aax。图2点在两投影面体系中的投影(2)注写规定空间点用大写字母表示，如A、B、C…；点的水平投影用相应的小写字母表示，如a、b、c…；点的正面投影用相应的小写字母加一撇表示，如a′、b′、c′…。(3)投影面展开为了把空间点A的两个投影表示在一个平面上，保持V面不动，将H面的前半部分绕OX轴向下旋转90°、后半部分绕OX轴向上旋转90°与V面重合。则得到点A的两面投影图。(4)擦去边界,得到点的两面投影图投影面可以看作是没有边界的平面，故符号V、H及投影面的边界线都不需画出。1.1.3点在两投影面体系中的投影规律投影法概念.点的投影2/7(a)(b)图3点在两投影面体系中的投影规律(1)一点的水平投影和正面投影的连线垂直于OX轴。在图3(a)中，点A的正面投射线Aa′和水平投射线Aa所确定的平面Aaa′垂直于V和H平面。根据初等几何知识，若三个平面互相垂直，其交线必互相垂直，所以有aax⊥a′ax、aax⊥OX和a′ax⊥OX。当a随H面旋转重合于V面时，aax⊥OX的关系不变。因此，在投影图上，aa′⊥OX。(2)一点的水平投影到OX轴的距离等于该点到V面的距离；其正面投影到OX轴的距离等于该点到H面的距离，即aax=Aa′；a′ax=Aa。在图3(a)中，因为Aaaxa′是矩形，所以aax=Aa′;a′ax=Aa。(1)点在各分角内。1)第一分角内点A，其水平投影a在OX轴下方，正面投影a′在OX轴上方。2)第二分角内点B，其水平投影b在OX轴上方，正面投影b′在OX轴上方。3)第三分角内点C，其水平投影c在OX轴上方，正面投影c′在OX轴下方。4)第四分角内点D，其水平投影d在OX轴下方，正面投影d′在OX轴下方。各分角内点的投影如图4所示。图4分角内点的投影投影法概念.点的投影3/7如图7所示，三投影面体系是在V⊥H两投影面体系的基础上，增加一个与V、H投影面都垂直的侧立投影面Ｗ（简称侧面）组成的。三个投影面互相垂直相交，其交线称为投影轴，V面和H面的交线为OX轴，H面和W面的交线为OY轴，V面和W面的交线为OZ轴。OX、OY、OZ轴垂直相交于一点O，称为原点。我们只在第一分角内研究各种问题。图7三投影面体系的建立图8点在三投影面体系中的投影1.2.2点的三面投影(1)投影如图8所示，设空间点A处于第一分角，按正投影法将点A分别向H、V、W面作垂线，其垂足即为点A的水平投影a、正面投影a′和侧面投影a″（点的侧面投影用相应的小写字母加两撇表示）。(2)投影面展开为了把空间点A的三面投影表示在一个平面上，保持V面不动，H面绕OX轴向下旋转90°与V面重合；W面绕OZ轴向右旋转90°与V面重合。在展开过程中，OX轴和OZ轴位置不变，OY轴被“一分为二”，其中随H面向下旋转与OZ轴重合的一半，用OYH表示；随W面向右旋转与OX轴重合的一半，用OYW表示。(3)擦去边界，得到点的三面投影图擦去投影面边界线，则得到A点的三面投影图。投影法概念.点的投影4/71.2.3点的三面投影规律如图9所示，三投影面体系可以看成由V⊥H、V⊥W两个两投影面体系组成。根据点在两投影面体系中的投影规律，可知点在三投影面体系中的投影规律为：1)点的正面投影和水平投影的连线垂直于OX轴，即a′a⊥OX；2)点的正面投影和侧面投影的连线垂直于OZ轴，即a′a⊥OZ；3)点的水平投影到OX轴的距离和点的侧面投影到OZ轴的距离都等于该点到V面的距离，即aax=a″az＝Aa′。为了保持点的三面投影之间的关系，作图时应使aa′⊥OX、a′a″⊥OZ。而aax=a″az可用图9(b)所示的以O为圆心，aax或a″az为半径的圆弧，或用图9(c)所示的过O点与水平成45°的辅助线来实现。(a)(b)(c)图9点在三投影面体系中的投影规律1.2.4点的投影的直角坐标表示法如图9，如果把三投影面体系看作笛卡儿直角坐标系，则H、V、W面为坐标面，OX、OY、OZ轴为坐标轴，O为坐标原点。则点A到三个投影面的距离可以用直角坐标表示：点A到W面的距离Aa″=点A的x坐标值xA，且Aa″=aay=a′az=axO；点A到V面的距离Aa′=点A的y坐标值yA，且Aa′=aax=a″az=ayO；点A到H面的距离Aa=点A的z坐标值zA，且Aa=a′ax=a″ay=azO。点A的位置可由其坐标（xA、yA、zA）唯一地确定。其投影的坐标分别为：水平投影a（xA，yA，0）；正面投影a′（xA，0，zA）；侧面投影a″（0，yA，zA）。因此，已知一点的三个坐标，就可作出该点的三面投影。反之，已知一点的两面投影，也就等于已知该点的三个坐标，即可利用点的投影规律求出该点的第三面投影。【例1】已知空间点A(12,8,16)、点B(8,12,0)、点C(0,0,10),求作它们的三面投影图。【解】点A的三个坐标都为正值，故点A在第一分角内；点B的三个坐标中，z=0，投影法概念.点的投影5/7即B到H面的距离等于零，故点B在H面内；点C的三个坐标中，x=0,y=0,即C到W面和V面的距离都为零，故点C在OZ轴上。如图10(a)所示，求点A的三面投影图的步骤如下：(1)画投影轴；(2)求a、a′①由原点O向左沿OX轴量取12mm得ax；②过ax作OX轴的垂线；③在垂线上自ax向下（OYH方向）量取8mm得a；④在垂线上自ax向上(OZ方向）量取16mm得a′；(3)求a″①过a′作a′az⊥OZ轴，交OZ轴于az；②过a作aaYH⊥OYH轴，交OYH轴于aYH，利用45°辅助线在OYW轴上得aYW；③自aYW向上作OYW轴的垂线与aaz的延长线交于a″。用同样的方法可作出B点的三面投影图如图10(b)所示，C点的三面投影图如图10(c)所示。(a)(b)(c)图10由点的坐标作点的三面投影图【例2】如图11(a)所示，已知点A的正面投影a′和侧面a″，求作该点的水平投影a。【解】作图步骤如图11(b)所示：①自a′向下作OX轴的垂线；②自a″向下作OYW轴的垂线与45°辅助线交于一点，并由该交点作OYH轴的垂线，与过a′垂直于OX轴的直线交于a,a即为A点的水平投影。(a)(b)投影法概念.点的投影6/7图11由点的两面投影求其第三面投影1.3两点的相对位置1.3.1两点相对位置的确定两点的相对位置是指以两点中的一点为基准，另一点相对该点的左右、前后和上下的位置。点的位置由点的坐标确定，两点的相对位置则由两个点的坐标差确定。如图12（a）所示，空间有两个点A（xA，yA，zA）、B（xB，yB，zB）。若以B点为基准，则两点的坐标差为ΔxAB＝xA－xB、ΔyAB＝yA－yB、ΔzAB＝zA－zB。x坐标差确定两点的左右位置，y坐标差确定两点的前后位置，z坐标差确定两点的上下位置。三个坐标差均为正值，则点A在点B的左方、前方、上方。从图12（b）看出，三个坐标差可以准确地反映在两点的投影图中。1.3.2重影点当两点位于某一投影面的同一条投射线上时，这两点在该投影面上的投影重合，称这两点为对该投影面的重影点。显然，两点在某一投影面上的投影重合时，它们必有两对相等的坐标。如图13（a），A、B两点位于V面的同一条投射线上，它们的正面投影a′、b′重合，称A、B两点为对V面的重影点，这两点的x、z坐标分别相等，y坐标不等。同理，C、D两点位于H面的同一条投射线上，它们的水平投影c、d重合，称C、D两点为对H面的重影点，它们的x、y坐标分别相等，z坐标不等。(a)(b)投影法概念.点的投影7/7图13重影点由于重影点有一对坐标不相等，所以，在重影的投影中，坐标值大的点的投影会遮住坐标值小的点的投影，即坐标值大的点的投影可见，坐标值小的点的投影不可见。在投影图中，对于重影的投影，在不可见点投影的字母两侧画上圆括号。如图13（b），A、B两点为对V面的重影点，它们的正面投影重合，yA＞yB，点A在点B的前方，a′可见，表示为a′；b′不可见，表示为（b′）。C、D两点为对H面的重影点，它们的水平投影重合，zC＞zD，点C在点D的上方，c可见，表示为c；d不可见，表示为（d）。