奥数最大公约数与最小公倍数

最大公约数和最小公倍数一、基本概念和技能•1、公约数与最大公约数；•2、公倍数与最小公倍数；•3、互质数；•4、求最大公约数与最小公倍数的方法：•（1）列举法：•（2）分解质因数法；•（3）短除法。1、公约数与最大公约数的概念•看下面的两行数：12的约数有：1、2、3、4、6、12；18的约数有：1、2、3、6、9、18；•定义：几个数公有的约数，叫做这几个数的公约数；其中最大的一个叫做最大公约数。如12和18的公约数有1、2、3、6.其中6是12和18的最大公约数，记作（12，18）=62、公倍数与最小公倍数的概念•我们看下面的两行数•3的倍数：36912151821242730333639424548。。。•5的倍数：510152025303540455055。。。像15、30、45。。。这样，它们是3和5公有的倍数，叫做3和5的公倍数；其中最小的一个是15，15就叫做3和5的最小公倍数。记作：[3，5]＝15最大公约数与最小公倍数的比较•公约数是几个数公有的约数，个数是有限的，最大公约数是其中最大的那个。•公倍数是几个数公有的倍数，个数有无限多个，最小公倍数是其中最小的那个。3、互质数•如果两个数的最大公约数是1，那么这两个数叫做互质数。即：如果（a，b）＝1，那么a，b两数就是互质数，•例如：2和3、4和9，6和25等4，怎样求两个数的最大公约数•（1）、列举法：•（2）、分解质因数法：•（3）、短除法：18的约数：30的约数：公约数：1、2、3、6最大公约数:6123691812356101530（1）列举法例如，求18和30的最大公约数。例如，求18和30的最大公约数。18293318=2×3×3302153530=2×3×5公有的质因数的积就是最大公约数（2）分解质因数法（18，30）＝2×3＝6例如：求18和30的最大公约数。1830293318和30的最大公约数:2×3=6155也可以写成（18，30）＝2×3=6（3）短除法5、怎样求最小公倍数•1、列举法•2、分解因数法•3、短除法（1）、列举法•3的倍数：36912151821242730333639424548。。。•5的倍数：510152025303540455055.。。。公倍数；15、30、45、。。。其中最小的一个是15，15就叫做3和5的最小公倍数。记作：[3，5]＝15例如，求18和30的最小公倍数18293318=2×3×3302153530=2×3×5公倍数的质因数包含两个数所有的质因数（2）分解质因数法[18、30]＝2×3×3×5＝90例如：求18和48的最小公倍数1830293318和48的最小公倍数：2×3×3×5=90155也可以写成[18，30]＝2×3×3×5=90（3）短除法二、简单应用（1）求整除中几个数的共同的除数——最大公约数•例1、用一个数去除30、60、75，都能整除，这个数最大是多少？•分析：因为要求的数去除30、60、75、都能整除，所以要求的数是30、60、75的公约数，而其中最大的就是最大公约数。•解3060756121524553（30，60，75）＝5×3＝15答：这个数最大是15。用短除法求最大公约数（2）整除中几个数共同的被除数——最小公倍数•例2、一个数用3、4、5除都能整除，这个数最小是多少？•分析：这个数能被3、4、5整除，说明它是3、4、5的公倍数，•解：∵[3，4，5]＝60•答：这个数最小是60。•例3、有三段铁丝，长度分别是120厘米、180厘米和300厘米，现在要将它们截成长度相等的小段，每根都不能有剩余，每小段最长多少厘米？一共可以截成多少段？•分析：要截成相等的小段，每段长度应当是120、180、300的公约数；最长，长度应当是120、180、300的最大公约数应用举例（3）不同长度的拆分解1201803004610235302（120，180，300）＝30×2＝60答：每段最长60厘米，一共可以截成10段。所以，每小段最长是60厘米。120÷60＋180÷60＋300÷60＝2＋3＋5＝10（段）（4）合理设置工序的工位•例4、加工某种机器零件，要经过三道工序，第一道工序每个工人每小时可完成3个零件，第二道工序每个工人每小时可完成10个，第三道工序每个工人每小时可完成5个。要使加工生产均衡，三道工序至少各分配几个工人？•分析：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，且正好是3、10和5的公倍数。•解：要使生产均衡，各道工序生产出的零件应当一样多，并且是3、10和5的公倍数。31053215[3，10，5]＝5×3×2×1＝30各道工序均应加工30个零件。答：三道工序至少分别需要10个、3个、6个工人。30÷3＝1030÷10＝330÷5＝6。•例5、一次会餐有三种饮料，餐后统计，三种饮料共用了65瓶；已知，平均每2人饮用一瓶A饮料，每3人饮用一瓶B饮料，每4人饮用一瓶C饮料。问参加会餐的人数是多少人？•分析：由题意知参加会餐的人数应当是2、3、4的公倍数。试一下看看•解：∵[2，3，4]＝12•∴参加会餐的人数应当是12的倍数，•又∵每12人用•12÷2＋12÷3＋12÷4•＝6＋4＋3＝13（个饮料瓶）•65÷13＝5•∴参加会餐的人数是12×5＝60（人）•答：参加会餐的人数是60人。思路回眸（一）•在解决有关最大公约数或最小公倍数问题时，关键是分析题意，弄清是求最大公约数或最小公倍数。•在把几个数进行拆分的时候，常常当需要求几个数共同的约数，可以利用短除法求几个数的最大公约数。•一般情况下，当求的数相对于已知条件处于被除数位置时，求的是最小公倍数；拼或同时的时候，求公倍数三、最大公约数与最小公倍数的关系•例9、两个数的最大公约数是4，最小公倍数是252，其中一个是28，另一个数是多少？•分析：假期里我们已经学过：•最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积即：（a，b）×[a，b]＝a×b利用这个关系可以迅速地解答此类问题。如果不理解这个关系式，我们看下面的分析解：设所求的数是x，则有X28y7∵X与28的最小公倍数是2524∴4×y×7＝252∴y＝252÷4÷7＝9∴x＝4×y＝4×9＝36答：这个数是36。我们来看最大公约数与最小公倍数的关系∴x28＝4×y×4×7＝4×252而x＝4×y，28＝4×7在上面的题目中，（x，28）＝4[x，28]＝4×y×7＝252即：（a，b）×[a，b]＝a×b四、求两个较大数最大公约数的方法辗转相除法•例6、一张长方形纸片，长2703厘米，宽1113厘米。要把它剪成若干个同样大小的正方形，纸张不能有剩余且正方形的边长要尽可能大，问：这样的正方形的边长是多少厘米？•分析：•小正方形的边长应该是2703和1113的最大公约数•怎样求2703和1113的最大公约数？•试验？短除？我们可以这样想：•剪成的正方形的边长既然是1113的约数，那么剪好的正方形一定能铺满以1113为边的大正方形，于是……2703厘米1113厘米477厘米477厘米159477477辗转相除法•2703÷1113＝2………477•（第一步：大数除以小数）•1113÷477＝2………159•（第二步：小数除以第一步的余数）•477÷159=3•（第三步：第一步的余数除以第二步的余数）•这里2703÷159=17•1113÷159=7(7,17)＝1•（除到整除时，最后一步的除数就是最大公约数）•这种求最大公约数的方法——辗转相除法例7、求4811和1981的最大公约数和最小公倍数•解：4811÷1981＝2………849•1981÷849＝2………283•849÷283=3•(4811,1981)＝283•根据最大公约数与最小公倍数的关系可以求出•[4811,1981]＝4811×1981÷283=33677应用举例阅读例10小结•1、最大公约数和最小公倍数的概念•2、最大公约数和最小公倍数的关系•3、怎样求最大公约数和最小公倍数•4、应用题型（1）最大公约数的应用•（2）求最小公倍数的应用•（3）最大公约数与最小公倍数关系的应用•（4）辗转相除法的应用（1）最大公约数的应用•当所求的数对于条件中的几个数处于除数的位置时，求的是最大公约数（2）最小公倍数的应用•当所求的数对于条件中的几个数处于被除数的位置时，求的是最小公倍数。（3）最大公约数与最小公倍数关系的应用•最大公约数与最小公倍数的乘积等于这两个数的乘积•即：（a，b）×[a，b]＝a×b•在这个关系式中，知道其中任何三个，就可以求第四个。（4）辗转相除法的应用•2703÷1113＝2………477•（第一步：大数除以小数）•1113÷477＝2………159•（第二步：小数除以第一步的余数）•477÷159=3•（第三步：第一步的余数除以第二步的余数）•这里2703÷159=17•1113÷159=7(7,17)＝1•（除到整除时，最后一步的除数就是最大公约数）•这种求最大公约数的方法——辗转相除法作业•第一次：课本第24页第2、6题••第二次：课本第4题•课本习题答案•1、乙数是甲数的三倍，甲数与乙数的最小公倍数是54，甲数是多少？乙数是多少？•解：因为乙数是甲数的3倍，所以他们的最小公倍数就是乙数，因此甲数是18，乙数是54。•一块长方形地块，长120米，宽60米，要在它的周围和四角种树，每两棵之间的距离相等，每相邻两棵之间的距离最远是多少米？最少要种多少棵？•解：由每两棵树之间的距离相等可知：它是120和60的公约数，因为（120，60）＝60，所以两棵树之间的距离最远是60米，最少要种6棵树。•3、已知两个自然数的积是5766，他们的最大公约数是31，求这两个数。•解：设这两个数是A、B•则A＝31×a、B＝31×b•且（a，b）＝1•31×a×31×b＝5766•a×b＝6•a＝1、b＝6或a＝2、b＝3•这两个数是31、186或者62、93ABab31•4解：再次见面所需的时间是6、8、12的公倍数，[6，8，12]＝241＋24＝25•答：下次见面的时间是10月25日。•5、将长25分米，宽20分米，高15分米的长方体木块锯成完全一样尽可能大的立方体，不能有剩余，每个立方体的棱长是多少分米？体积是多少立方分米？一共可以锯成多少块？•解：小立方体的棱长应当是25，20，15的最大公约数，因为（25，20，15）＝5•5×5×5＝125•（25÷5）×（20÷5）×（15÷5）•＝5×4×3＝60（块）•答：每个正方体的棱长是5分米，体积是125立方分米，一共可以锯成60块。•6、解由题意知，一个地雷的重量应当是201，183及（201－183）＝18的公约数•因为（201，183，18）＝3•答：