2018年高考理科数学第一轮复习教案35-一元二次不等式及其解法

第二节一元二次不等式及其解法不等式的解法(1)会从实际情境中抽象出一元二次不等式模型．(2)通过函数图象了解一元二次不等式与相应的二次函数、一元二次方程的联系．(3)会解一元二次不等式，对给定的一元二次不等式，会设计求解的程序框图．知识点一元二次不等式的解法一元二次不等式的解集二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象、一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的根与一元二次不等式ax2＋bx＋c0与ax2＋bx＋c0的解集的关系，可归纳为：判别式Δ＝b2－4acΔ＞0Δ＝0Δ＜0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根有两相异实根x＝x1或x＝x2有两相同实根x＝x1＝x2无实根一元二次不等式的解集ax2＋bx＋c＞0(a＞0){x|x＜x1或x＞x2}{x|x≠x1}ax2＋bx＋Rax2＋bx＋c＜0(a＞0){x|x1＜x＜x2}∅∅若a＜0时，可以先将二次项系数化为正数，对照上表求解．易误提醒1．对于不等式ax2＋bx＋c0，求解时不要忘记讨论a＝0时的情形．2．当Δ0时，ax2＋bx＋c0(a≠0)的解集为R还是∅，要注意区别．3．不同参数范围的解集切莫取并集，应分类表述．[自测练习]1．不等式组x2－4x＋30，2x2－7x＋60的解集是()A．(2,3)B.1，32∪(2,3)C.－∞，32∪(3，＋∞)D．(－∞，1)∪(2，＋∞)解析：∵x2－4x＋30，∴1x3.又∵2x2－7x＋60，∴(x－2)(2x－3)0，∴x32或x2，∴原不等式组的解集为1，32∪(2,3)．答案：B2．设二次不等式ax2＋bx＋10的解集为－1，13，则ab的值为()A．－6B．－5C．6D．5解析：由题意知，方程ax2＋bx＋1＝0的两根为－1，13，则有－ba＝－1＋13，1a＝－1×13，解得a＝－3，b＝－2，∴ab＝6，故选C.答案：C3．若(m＋1)x2－(m－1)x＋3(m－1)0对任何实数x恒成立，则实数m的取值范围是()A．(1，＋∞)B．(－∞，－1)C.－∞，－1311D.－∞，－1311∪(1，＋∞)解析：①m＝－1时，不等式为2x－60，即x3，不合题意．②m≠－1时，m＋10，Δ0，解得m－1311.答案：C考点一一元二次不等式的解法|1．不等式－x2－3x＋40的解集为________．(用区间表示)解析：－x2－3x＋40⇒(x＋4)(x－1)0⇒－4x1.答案：(－4,1)2．设函数f(x)＝x2－4x＋6，x≥0，x＋6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是()A．(－3,1)∪(3，＋∞)B．(－3,1)∪(2，＋∞)C．(－1,1)∪(3，＋∞)D．(－∞，－3)∪(1,3)解析：由题意知f(1)＝3，故原不等式可化为x0，x＋63，或x≥0，x2－4x＋63，解得－3x1或x3，所以原不等式的解集为(－3,1)∪(3，＋∞)，故选A.答案：A3．(2016·西安模拟)若不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－1x2}，那么不等式a(x2＋1)＋b(x－1)＋c2ax的解集为()A．{x|－2x1}B．{x|x－2或x1}C．{x|0x3}D．{x|x0或x3}解析：由题意a(x2＋1)＋b(x－1)＋c2ax，整理得ax2＋(b－2a)x＋(a＋c－b)0①，又不等式ax2＋bx＋c0的解集为{x|－1x2}，则a0，且－1,2分别为方程ax2＋bx＋c＝0的两根，由根与系数的关系得－1＋2＝－ba，－1×2＝ca，即ba＝－1，ca＝－2②，将①两边同除以a得x2＋ba－2x＋1＋ca－ba0，将②代入①得x2－3x0，解得0x3，故选C.答案：C解一元二次不等式的四个步骤(1)化：把不等式变形为二次项系数大于零的标准形式．(2)判：计算对应方程的判别式．(3)求：求出对应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程有没有实根．(4)写：利用“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集．考点二一元二次不等式恒成立问题|一元二次不等式与其对应的函数与方程之间存在着密切的联系．在解决具体的数学问题时，要注意三者之间的相互联系，并在一定条件下相互转换．对于一元二次不等式恒成立问题，常根据二次函数图象与x轴的交点情况确定判别式的符号，进而求出参数的取值范围．归纳起来常见的命题探究角度有：1．形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围．2．形如f(x)≥0(x∈[a，b])确定参数范围．探究一形如f(x)≥0(x∈R)确定参数的范围1．(2016·武汉调研)若一元二次不等式2kx2＋kx－380对一切实数x都成立，则k的取值范围为()A．(－3,0)B．[－3,0]C．[－3,0)D．(－3,0]解析：本题考查一元二次不等式的解法．结合二次函数图象求解．由题意可得k0，Δ＝k2－8k×－380，解得－3k0，故选A.答案：A2．(2016·洛阳期末)若关于x的不等式ax2－|x|＋2a0的解集为空集，则实数a的取值范围为________．解析：当a＝0时，不等式为－|x|0，解集不为空集．当a≠0时，由题意知a0，令t＝|x|，则原不等式等价于at2－t＋2a0(t≥0)，所以att2＋2(t≥0)，根据题意知a≥tt2＋2max(t≥0)．而tt2＋2≤t22t2＝24，所以a≥24.答案：24，＋∞探究二形如f(x)≥0，x∈[a，b]确定参数范围3．已知当x∈(0，＋∞)时，不等式9x－m·3x＋m＋10恒成立，则实数m的取值范围是________．解析：令3x＝t，则当x∈(0，＋∞)时，t∈(1，＋∞)，记f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))，则由题意得f(t)＝t2－mt＋m＋1(t∈(1，＋∞))的图象恒在x轴的上方，可得Δ＝(－m)2－4(m＋1)0或Δ≥0，m2≤1，f1＝1－m＋m＋1≥0，解得m2＋22.答案：(－∞，2＋22)恒成立问题的两个求解策略(1)解决恒成立问题一定要清楚选谁为主元，谁是参数．一般地，知道谁的范围，就选谁当主元，求谁的范围，谁就是参数．(2)对于二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方；恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．考点三一元二次不等式的实际应用|甲厂以x千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求1≤x≤10)，每小时可获得利润是1005x＋1－3x元．(1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；(2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润．[解](1)根据题意，2005x＋1－3x≥3000，整理得5x－14－3x≥0，即5x2－14x－3≥0，又1≤x≤10，可解得3≤x≤10.即要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，x的取值范围是[3,10]．(2)设利润为y元，则y＝900x·1005x＋1－3x＝9×1045＋1x－3x2＝9×104－31x－162＋6112，故x＝6时，ymax＝457500元．即甲厂以6千克/小时的生产速度生产900千克该产品获得的利润最大，最大利润为457500元．不等式实际应用问题的求解策略不等式的实际应用，常以函数模型为载体，解题时要理清题意，准确找出其中的不等关系，引进数学符号恰当表示，最后用不等式的解回答实际问题．某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为10000辆．本年度为适应市场需求，计划提高产品质量，适度增加投入成本．若每辆车投入成本增加的比例为x(0x1)，则出厂价相应地提高比例为0.75x，同时预计年销售量增加的比例为0.6x，已知年利润＝(出厂价－投入成本)×年销售量．(1)写出本年度预计的年利润y与投入成本增加的比例x的关系式；(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加，则投入成本增加的比例x应在什么范围内？解：(1)由题意得y＝[12(1＋0.75x)－10(1＋x)]×10000×(1＋0.6x)(0x1)，整理得y＝－6000x2＋2000x＋20000(0x1)．(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加，必须有y－12－10×100000，0x1，即－6000x2＋2000x0，0x1，解得0x13，所以投入成本增加的比例应在0，13范围内.19.转化与化归思想在不等式中的应用【典例】(1)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)的值域为[0，＋∞)，若关于x的不等式f(x)c的解集为(m，m＋6)，则实数c的值为________．(2)已知函数f(x)＝x2＋2x＋ax，若对任意x∈[1，＋∞)，f(x)0恒成立，则实数a的取值范围是________．[思维点拨](1)考虑“三个二次”间的关系；(2)将恒成立问题转化为最值问题求解．[解析](1)由题意知f(x)＝x2＋ax＋b＝x＋a22＋b－a24.∵f(x)的值域为[0，＋∞)，∴b－a24＝0，即b＝a24.∴f(x)＝x＋a22.又∵f(x)c.∴x＋a22c，即－a2－cx－a2＋c.∴－a2－c＝m，①－a2＋c＝m＋6.②②－①，得2c＝6，∴c＝9.(2)∵x∈[1，＋∞)时，f(x)＝x2＋2x＋ax0恒成立，即x2＋2x＋a0恒成立．即当x≥1时，a－(x2＋2x)＝g(x)恒成立．而g(x)＝－(x2＋2x)＝－(x＋1)2＋1在[1，＋∞)上单调递减，∴g(x)max＝g(1)＝－3，故a－3.∴实数a的取值范围是{a|a－3}．[答案](1)9(2){a|a－3}[方法点评](1)本题充分体现了转化与化归思想：函数的值域和不等式的解集转化为a，b满足的条件；不等式恒成立可以分离常数，转化为函数值域问题．(2)注意函数f(x)的值域为[0，＋∞)与f(x)≥0的区别．A组考点能力演练1．关于x的不等式x2＋px－20的解集是(q,1)，则p＋q的值为()A．－2B．－1C．1D．2解析：依题意得q,1是方程x2＋px－2＝0的两根，q＋1＝－p，即p＋q＝－1，选B.答案：B2．(2016·郑州模拟)已知不等式ax2－5x＋b0的解集为{x|－3x2}，则不等式bx2－5x＋a0的解集是()A.x－13x12B.x－12x13C.xx－13或x12D.xx－12或x13解析：本题考查一元二次不等式与一元二次方程之间的关系．由题意得方程ax2－5x＋b＝0的两根分别为－3,2，于是－3＋2＝－－5a，－3×2＝ba，⇒a＝－5，b＝30，于是不等式bx2－5x＋a0即为30x2－5x－50，即(3x＋1)(2x－1)0⇒x－13或x12.答案：C3．已知集合A＝{x|x2－2x－30}，B＝{x|x2＋ax＋b≤0}，若A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，则有()A．a＝3，b＝4B．a＝3，b＝－4C．a＝－3，b＝4D．a＝－3，b＝－4解析：由题意得集合A＝{x|x－1或x3}，又A∪B＝R，A∩B＝(3,4]，所以集合B为{x|－1≤x≤4}，由一元二次不等式与一元二次方程的关系，可得a＝－3，b＝－4.易知A＝{x|x－1或x3}，又A