三角函数的值域和最值问题

第四章三角函数之三角函数的值域与最值第1页共6页三角函数的值域与最值一、主要方法及注意点：1．求值域或最值的常用方法有：（1）化为一个角的同名三角函数形式，利用函数的有界性或单调性求解；（2）将函数式化成一个角的同名三角函数的一元二次式，利用配方法或图象法求解；（3）借助直线斜率的关系用数形结合法求解；（4）换元法。2．要注意的问题有：（1）注意题设给定的区间；（2）注意代数代换或三角变换的等价性；（3）含参数的三角函数式，要重视参数的作用，很可能要进行讨论。二、基本练习：1．求下列函数的最大、最小值：（1）xxycossin32（2）xysin41解：1sin23yx∴y∈[13,13]解：50,4y（3）1)21(sin22xy（4）1615)45(sin2xy解：7[,1]2y解：y∈[1,6]2．若|x|≤4，则f(x)=cos2x+sinx的最小值是（D）A．212B．221C．－1D．2213．求函数的值域：（1）y=3sinx－4cosx(2)f(x)=sinx+3cosx(2≤x≤2)解：y∈[－5,5]解：()2sin()3fxx又2≤x≤2∴y∈[－1,2]4．（1）求函数xxysincos2（0xπ）最小值。（2）求函数2sin1sin3)(xxxf的最大值和最小值。解：（1）设点A（0，2），B（－sinx，cosx）又0xπ，则点B的轨迹如图而y的值就是经过AB两点的斜率，ABxyO第四章三角函数之三角函数的值域与最值第2页共6页所以y的最小值为3.（2）21sin3yxy，而sinx∈[-1,1]于是－1≤213yy≤1所以－4≤y≤23即y的最大值为23，最小值为－4.三、典例精析：例1．求函数y=sinx·cosx+sinx+cosx的最大值。解：设t=sinx+cosx=2sin(x+4)∈[-2,2]，则sinx·cosx=212t∴21122ytt＝12(t+1)2-1,t=2时，函数y的最大值为122例2．已知cosx+cosy=31，求cosx－sin2y的最大值和最小值。解：cosx－sin2y＝cosx-(1-cos2y)=cos2y-cosy-23=(cosy-12)2-1112∵-1≤cosx=31-cosy≤1又-1≤cosy≤1∴2cos13y∴cosx－sin2y的最大值为49，最小值为－1112例3．已知函数)0(cossin32sin2)(2abaxxaxaxf的定义域为[0，2]，值域为[－5，1]，求常数a、b的值。解：f(x)=a(1-cos2x)-3asin2x+a+b=-2asin(2x+6)+2a+b∵x∈[0，2]则72666x，于是1sin(2)126x当a0时，315abb，即25ab当a0时，351abb，即21ab第四章三角函数之三角函数的值域与最值第3页共6页例4．求函数xxaxf2cossin42)(的最大值和最小值。解：f(x)=2-4asinx-(1-2sin2x)=2sin2x-4asinx+1=2(sinx-a)2+1-2a2设sinx=t,-1≤t≤1,f(x)=g(t)=2(t-a)2+1-2a2当a-1时，f(x)的最大值为g(1)＝3-4a,f(x)的最小值为g(－1)＝3＋4a.当-1≤a≤1时，f(x)的最小值为g(a)＝1-2a2,f(x)的最大值为g(－1)或g(1)(其中之一).当a1时，f(x)的最大值为g(-1)＝3+4a,f(x)的最小值为g(1)＝3-4a.*例5．已知0α，β2，且sinβcscα=cos(α+β),α+β≠2,求tanβ的最大值。解：sinsin＝cosα·cosβ－sinα·sinβ(1sin+sinα)sinβ=cosα·cosβtanβ=2sincos1sin=22sincos2sincos=2tan2tan1=112tantan24此时tanα=22即tanβ的最大值为24四、巩固练习：A组1．函数y=sinx+cosx+2的最小值是（A）A．2-2B．2+2C．0D．12．当-2≤x≤2时，函数sinx+3cosx的（D）A．最大值是1，最小值是-1B．最大值是1，最小值是-21C．最大值是2，最小值是-2D．最大值是2，最小值是-13．函数y=2sinx(sinx+cosx)的最大值为（A）A．1+2B．2-1C．2D．24．函数xxycossin21的最大值是（B）第四章三角函数之三角函数的值域与最值第4页共6页A．22-1B．1+22C．1-22D．-1-225．函数f(x)=sin(πx+θ)cos(πx+θ)在x=2时取得最大值，则θ的一个值为（B）A．45B．43C．47D．26．函数xxycos3sin在区间[0，2]上的最小值为12,在区间[-2，π]上的值域为[-3,2]7.函数sin21xy的最大值是3，最小值是32。8．函数2tan2tan3yxx的值域是[2,+∞）。9．已知函数Rxxxxy,1cossin232cos21（1）当函数y取得最大值时，求自变量x的集合；（2）求函数y的单调增区间。解：（1）11cos23sin212222xxy＝15sin(2)264x当2x+6=2+2kπ，即x=6+kπ(k∈Z)时，y取最大值。∴|,6xxkkZ（2）－2＋2kπ≤2x+6≤2＋2kπ，,36xkk(k∈Z)B组10．函数()sin()(0,0)fxMxM在区间[a,b]上是增函数，且f(a)=－M，f(b)＝M，则()cos()gxMx在[a,b]上（C）A．是增函数B．是减函数C．可取得最大值MD．可取得最小值－M11．关于函数21)32(2sin)(xxxf，有下面四个结论，第四章三角函数之三角函数的值域与最值第5页共6页①f(x)是奇函数；②当x2003时，f(x)21恒成立；③f(x)的最大值是23；④f(x)的最小值是21；其中正确结论的个数为（A）A．1B．2C．3D．412．若2cos2sin220mm对θ∈R恒成立，求实数m的取值范围。解：1-sin2θ＋2msinθ-2m-20∴m(2sinθ-2)sin2θ＋1若sinθ＝1，0＜2恒成立。若sinθ≠1，2sinθ-20∴2sin12sin2m右边＝2(sin1)2(sin1)22(sin1)＝－12(1sin2)21sin≤1－2∴m1－2C组13．设214sin2cos)(axaxxf（0≤x≤2）.(1)用a表示f(x)的最大值M(a)；（2）当M(a)=2时，求a的值。解：（1）f(x)=-sin2x+asinx－4a+12=221(sin)2442aaax∵0≤x≤2∴0≤sinx≤1①0≤2a≤10≤a≤2,M(a)=21442aa②2a1a2,M(a)=M(1)=3142a③2a0,a0,M(a)=M(0)=142a第四章三角函数之三角函数的值域与最值第6页共6页21442aa0≤a≤2∴M(a)=3142aa2142aa0(2)当21442aa＝2时，则a=3或-2（舍）当3142a＝2时，则a=103当142a＝2时，则a=－6综上：a=103或a=－6