数字信号处理答案-史林赵树杰-科学出版社

第一章作业题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.2一个采样周期为T的采样器，开关导通时间为0T，若采样器的输入信号为()axt，求采样器的输出信号()()()aaxtxtpt的频谱结构。式中()()01,()0,nptrtntrt其他解：实际的采样脉冲信号为：()()nptrtn其傅里叶级数表达式为：000()jktnptSakTeT采样后的信号可以表示为：ˆaaxtxtpt因此，对采样后的信号频谱有如下推导：00000000000000ˆˆsin1jtaajktjtanjktjtakjktakakakXjxtedtxtSakTeedtTSakTxteedtTSakTxtedtTSakTXjjkTkTXjjkTk%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.5有一个理想采样系统，对连续时间信号()axt进行等间隔T采样，采样频率8srad/s，采样后所得采样信号()axt经理想低通滤波器Gj进行恢复，已知41/4,0,4Gj今有两个输入信号12()cos(2)()cos(5)aaxttxtt和，对应的输出信号分别为12()()aaytyt和，如题1.5图所示，问12()()aaytyt、有没有失真，为什么？()axt()axtGj()ayt题1.5图理想采样系统与恢复理想低通滤波器解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：1ˆaaskXjXjjkT8s，12，25，折叠频率为2s，而滤波器对4的信号通过，因此有如下图：2538结论：1）1()ayt不失真、2()ayt失真。2）输出信号中存在两种频率：2、3%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.6已知连续时间信号()axt是频率为300Hz、400Hz、1.3KHz和4.3KHz的正弦信号的线性组合。现以2KHz的采样频率对()axt进行采样。若恢复滤波器是一截止频率为900Hz的理想低通滤波器，试确定通过恢复滤波器后的输出信号()ayt中的各频率分量。解：因为是理想采样系统，因此采样后的信号频谱可以表示为：1ˆaaskXjXjjkT1023456滤波后信号中的频率分量为：300Hz、400Hz、700Hz。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%1.7已知一模拟恢复信号()axt的频谱如题1.7图所示。对其等间隔T采样所得离散时间信号（序列）为()()axnxnT。(1)当采样间隔0/3T时，画出序列()xn的频谱图形。(2)试确定采样信号频谱不混叠的最低采样频率，并画出此时()xn的频谱图形。(3)画出由(3)中的序列()xn恢复()axt的框图（可用复理想低通滤波器）。01aXj003题1.7图()axt的频谱图形解：采样间隔为0/3T，因此采样频率为026T。113965712%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%第二章作业题答案%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.1将序列1,01,1()0,22,30,nnxnnn其他表示为()un及()un延迟的和。解：首先将()xn表示为单位脉冲序列的形式：()=123xnnnn对于单位脉冲函数n，用单位阶跃序列()un表示，可得：1nunun将上式带入到()xn的单位脉冲序列表达式中，可得：()1231122342122324xnnnnununununununununununun%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.5判断下列序列中，哪一个是周期序列，如果是周期序列，求出它的周期。(1)()sin1.2xnn(2)()sin9.7xnn(5)()sin()cos()47nnxn解：理论分析详见P18性质7）周期序列题中设计到的是正弦信号，对于正弦信号0()sinxnAn，分析其周期性，则需判断：021）为整数，则周期；2）为有理数，则周期；3）为无理数则非周期。观察（1）、（2）、（5），0依次为：01.2、09.7、12,47，从而可知（1）为非周期，（2）、（5）为周期序列。（2）中，022209.797，因此周期20N。（5）中，第一部分周期为1028N，第二部分周期为20214N，因此序列周期为56N。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.9试确定下列系统是否为线性时不变系统？(1)sinynxnn。(2)0nmynxm，m为正整数。解：利用线性时不变系统定义、性质分析。（1）sinynxnn线性分析：12121212sinsinsinynTaxnbxnaxnbxnnaxnnbxnnaTxnbTxn因此为线性系统。时不变分析：000sinynnxnnnn而系统输入为0xnn时，00sinynTxnnxnnn得：0ynynn，因此为时变系统。综上，sinynxnn为线性时变系统。（2）0nmynxm线性分析：12120120012nmnnmmynTaxnbxnaxmbxmaxmbxmaTxmbTxm因此为线性系统。时不变分析：0000001012+01+nnmynnxmxxxxxxxxxnn……而系统输入为0xnn时，000000000=++1++1nmynTxnnxmnxnxnxnxnxnxnn...+...得：0ynynn，因此为时变系统。综上，0nmynxm为线性时变系统。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.11试求题2.11图所示线性时不变系统的单位脉冲响应()hn，图中1()40.5()(3)nhnunun23()()(1)()hnhnnun4()(1)hnn5()()4(3)hnnn()xn5()hn4()hn3()hn2()hn1()hn()yn+-题2.11图线性时不变系统如果输入序列()()(1)xnnn，求该系统的输出序列()yn。解：此题涉及到了线性时不变系统的输入、输出关系，即：*ynxnhn以及线性卷积的性质：交换律、结合律、分配律。系统的输入输出关系可表示为：12345****ynxnhnhnhnhnxnhn将1,2,3,4,5ihni进行变形，尽量表示为单位脉冲序列的形式，以方便运算，则：140.5340.5124212nnhnununnnnnnn231hnhnnun41hnn543hnnn此时注意：234*111111hnhnhnnunnunnnunnunnunnununnnun1234**4212*42124212hnhnhnhnnnnnnunnnnnnnununun1xnnn，与之卷积实质是序列本身与序列右移一个单位所得新序列的差。1234**hnhnhnhn与5hn不宜合并一起然后与xn求线性卷积，应该分别与xn求线性卷积，从而：1234***42124212411212134122342124122342123xnhnhnhnhnnnnnnnunununnnnnnnunununnnnnnnnnnnnnnnnnnnnn5*4314414344xnhnnnnnnnnn因此，12345****4212314344ynxnhnhnhnhnxnhnnnnnnnnnnnnn%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.15设系统的差分方程为()(1)(),01,(1)0ynaynxnay试分析该系统是否为线性、时不变系统。解：1、根据条件可知：0(),01nnmmynaxma2、根据上式判断：12120120012=nnmmnnnmnmmmTpxnqxnapxmqxmpaxmqaxmpTxnqTxn=系统为线性系统时变性分析与2.9（2）题相同，0ynynn，为时变系统。%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%2.18线性时不变系统的差分方程为11()(1)()(1)22ynynxnxn若系统是因果的，试用递推法求系统的单位脉冲响应。解：11()(1)()(1)22hnhnnn令0n，则得：11(0)(1)(0)(1)22hh因为系统为因果系统，因此：()0,0hnn故：1(0)(0)(1)12h以此为契机，依次递推可得：11(1)(0)(1)(0)221hh11(2)(1)(2)(1)2212hh