选课-树形动态规划.

选课•给定M门课程，每门课程有一个学分•要从M门课程中选择N门课程，使得学分总和最大•其中选择课程必须满足以下条件：–每门课程最多只有一门直接先修课–要选择某门课程，必须先选修它的先修课•M,N=500分析•每门课程最多只有1门直接先修课，如果我们把课程看成结点，也就是说每个结点最多只一个前驱结点。•如果把前驱结点看成父结点，换句话说，每个结点只有一个父结点。显然具有这种结构的模型是树结构，要么是一棵树，要么是一个森林。•这样，问题就转化为在一个M个结点的森林中选取N个结点，使得所选结点的权值之和最大。同时满足每次选取时，若选儿子结点，必选根结点的条件。样例分析•如图1，为两棵树，我们可以虚拟一个结点，将这些树连接起来，那么森林就转会为了1棵树，选取结点时，从每个儿子出发进行选取。显然选M=4时，选3，2，7，6几门课程最优。动态规划•如果我们单纯从树的角度考虑动态规划，设以i为根结点的树选j门课程所得到的最大学分为f(i,j),设虚拟的树根编号为0，学分设为0，那么，ans=f(0,n+1)•如果树根选择1门功课，剩下j-1门功课变成了给他所有儿子如何分配的资源的问题，这显然是背包问题。•设前k个儿子选修了x门课程的最优值为g(k,x)，则有•其中:0=x=j-1，ans=g(son(0),n+1)个结点的儿子数目指第这里门个儿子选修第个儿子不选修第kson(k)yka[k],1)-yk),(()y-,1(k),,1(max),(songxkgxkgxkg构造树结构readln(n,m);inc(m);fori:=1tondo{父亲表示法构造树}beginreadln(pr[i],v[i]);{pr是前驱结点，v价值}inc(t[pr[i]]);{t记录结点的儿子个数}ne[pr[i],t[pr[i]]]:=i;{ne记录树}end;fori:=0tondo{ts记录每个结点后代的个数}ts[i]:=ts[i-1]+t[i]+1;procedurework(now:longint);inline;vari,j,k,bas:longint;beginfori:=1tot[now]dowork(ne[now,i]);bas:=ts[now-1]+1;fori:=bas+1tobas+t[now]do{f[i,j]表示i子树内选j的最大价值}forj:=1tomdobegin{g[i,j]是给每个节点分配的内部背包的空间}g[i,j]:=g[i-1,j];{i不选}fork:=1tojdo{i选k门}ifg[i-1,j-k]+f[ne[now,i-bas],k]g[i,j]thenbeging[i,j]:=g[i-1,j-k]+f[ne[now,i-bas],k];fa[i,j]:=k;{记录决策点}end;end;fori:=mdownto1do{计算f[i,j]}f[now,i]:=g[t[now]+bas,i-1]+v[now];end;进一步分析•上述状态方程，需要枚举每个结点的x个儿子，而且对每个儿子的选课选择，需要再进行递归处理。•当然这样可以解决问题，那么我们还有没有其他方法呢？转化为二叉树•如果该问题仅仅只是一棵二叉树，我们对儿子的分配就仅仅只需考虑左右孩子即可，问题就变得很简单了。因此我们试着将该问题转化为二叉树求解。•图2就是对图1采用孩子兄弟表示法所得到的二叉树动态规划•仔细理解左右孩子的意义（如右图）：左孩子：原根结点的孩子右孩子：原根结点的兄弟•也就是说，左孩子分配选课资源时，根结点必须要选修，而与右孩子无关。•因此，我们设f(i,j)表示以i为根结点的二叉树分配j门课程的所获得的最大学分，则有，•0=kjn,i∈(1..m)•时间复杂度O(mn2)根结点不选修根结点选修),j,(],[)1,(),(max),(rifiakjifkifjifrl•样例求解过程：初始f(i,0)=0•f(6,1)=6,f(5,1)=max{1,6}=6,f(7,1)=2f(4,1)=max{1,2}=2,f(1,1)=max{1,f(4,1)}=2f(3,1)=4,f(2,1)=max{1,4}=4•f(5,2)=7f(7,2)=max{f(5,1)+2}=8f(4,2)=max{f(7,2),f(7,1)+1}=8f(1,2)=max{f(4,2),f(4,1)+2}=8f(2,2)=max{f(1,1)+1,f(3,1)+1)}=5•f(7,3)=9f(4,3)=max{f(7,2)+1,f(7,3)}=9f(1,3)=max{f(4,2)+1,f(4,3)}=9f(2,3)=max{f(1,1)+f(3,1)+1,f(1,2)+1}=9•f(2,4)=max{f(1,3)+1,f(1,2)+f(3,1)+1}=max{9+1,8+4+1}=13//读入数据,转化为孩子兄弟表示finnm;score[n+1]=0;brother[n+1]=0;//输入数据并转化为左儿子右兄弟表示法for(inti=1;i=n;++i){inta,b;finab;if(a==0)a=n+1;score[i]=b;brother[i]=child[a];child[a]=i;}voiddfs(inti,intj){if(visited[i][j])return;visited[i][j]=1;if(i==0||j==0)return;dfs(brother[i],j);//如果不选i，则转移到状态(brother[i],j)f[i][j]=f[brother[i]][j];for(intk=0;kj;++k){//选择i，枚举学习多少以i为根的(j-k-1)，并转移到相应状态dfs(brother[i],k);dfs(child[i],j-k-1);//更新答案if(f[brother[i]][k]+f[child[i]][j-k-1]+score[i]f[i][j])f[i][j]=f[brother[i]][k]+f[child[i]][j-k-1]+score[i];}}