第3章-动量传输的基本定律

1•流体动力学（包括运动学）是研究流体在外力作用下的运动规律，内容包括流体运动的方式和速度、加速度、位移、转动等随空间与时间的变化，以及研究引起运动的原因和决定作用力、力矩、动量和能量的方法。第三章动量传输的基本方程2质量、动量、能量守恒定律•（1）物质不灭定律（或质量守恒定律）连续性方程•（2）牛顿第二定律（动量守恒定律）动量方程（纳维-斯托克斯方程、欧拉方程）•（3）热力学第一定律（或能量守恒定律）能量方程（伯努利方程）33.1质量守恒定律与流体流动的连续性方程3.2粘性流体动量平衡方程(N-S方程）3.3理想流体动量平衡方程——欧拉方程3.4伯努利方程43.1质量守恒定律与流体流动的连续性方程•由于我们把流体视为连续介质，因为不管流体作怎样的流动，质量守恒定律是必须要满足的，不满足质量守恒的流动形式是不存在的。另一方面，仅由动量守恒导出的运动方程是不封闭的，即未知量的个数多于方程的个数，要使方程封闭，连续性方程也是必须要引入的。5流体流动中的质量平衡，是指流体流过一定空间时，其总质量不变，以公式表示为：[物质的流入量]-[物质的流出量]=[空间内物质的蓄积量]（3-1）当流入量与流出量相等，即空间无物质蓄积时，为稳定流动，否则为不稳定流动。6在直角坐标系中取一空间微元控制体，边长为dx、dy、dz，通量：XX量/t.A；流量：XX量/t.质量:m=ρdxdydzAB单位时间流入的质量称质量流量：m/t=ρdx/t（dydz）式中dydz是A面的面积。从A面流入的质量流量：ρVx（dydz）从B面流出的质量流量：ρVx（dydz）+d（ρVx（dydz））=)()(dydzdxxVdydzVxx7所以在X方向净流入量（流入-流出）：ρVx（dydz）-{ρVx（dydz）+d（ρVx（dydz））}dxdydzxVx)(同理，在Y方向净流入量：dxdydzyVy)(在Z方向净流入量：dxdydzzVz)(公式（3-2）的左边：dxdydzzVyVxVzyx)()()(8公式（3-2）的右边：流入的流体使流体微团的质量发生变化，分析：流体微团的质量m=ρ×dxdydz在t1时间流体微团的密度为ρ1，故质量为m1=ρ1×dxdydz在t2时间流体微团的密度为ρ2，故质量为m2=ρ2×dxdydz∴单位时间内的质量变化：dxdydzttdxdydzttdxdydzdxdydz12129左边=右边，得：在直角坐标系中：0)()()(zuyuxutzyx（3-2）10①稳定流动时0t，则0)()()(zuyuxuzyx（3-3）可压缩流体稳定流动的连续方程。②对不可压缩流体，ρ=常数，有：0zuyuxuzyx（3-4）0)()()(zuyuxutzyx11③对一元恒定流动，连续方程式为：222111AvAv（3-6）若为不可压缩流体21，则2211AvAv（3-7）注：式中U、V、u、v均表示速度。12表示为：0)()()(ruzururutrzr当为常量的不可压缩流体，可简化为：0ruzurururzr13例3-1已知速度场Vx=6（x+y2），Vy=2y+z3，Vz=x+y+4z；试分析此流场是否存在？解：流场存在的条件是：是否满足连续性方程4;2;6zVzyVyxVx6+2+4≠0∴不连续，故流场不存在。143.2粘性流体动量平衡方程（纳维—斯托克斯方程）粘性流体动量平衡方程，表达了流体流动条件下的动量及作用力之间的平衡与转换关系，为流体在运动中能量守恒的特征关系式。以公式表示为：[系统的动量收支差量]+[系统其它作用力总和]=[系统的动量蓄积]（3-8）对于稳定流动系统，不存在动量蓄积，（3-8）式中的等号右边为0。15粘性流体的动量传输有两种基本方式：①由流体粘性所引起的物性动量传输；②在流体质量对流基础上进行的对流动量传输。16直角坐标系N-S方程的推导由流体对流而进行的对流动量传输，其对流动量通量有如下含意和确定方法：AxXYZux在单位时间流入Ax面的质量为xxxAuAdtdxdtm17对流动量通量有如下含意和确定方法xxxxuAAu对质量通量乘以流体的速度ux，为动量通量[对流动量通量]=xxuukg/m·s2（N/m2）18微元体对流动量收支差量•在流场中取出元体空间dxdydz，按上列定义式确定元体对流动量的收支差量ABdxdydzxyzxxuudxxuuuuxxxx)(19对直角坐标系，任意方向的质量通量和速度均有三个方向的分量，同时，以任一方向的分速度（ux，uy，uz）同三个方向的质量通量（ρux，ρuy，ρuz），均可组成三个动量通量。因此，微元体的总动量通量为三个方向的九个分量之和。ρuxux——ρuxux，ρuyux，ρuzuxρuy——uy——ρuxuy，ρuyuy，ρuzuy9个分量ρuz——uz——ρuxuz，ρuyuz，ρuzuz20①以x方向的分速度ux组成的动量收支ρux与ux组成的A面流入的动量通量：ρux﹒ux,B面上的动量通量：dxxuuuuxxxx)(ABdxdydzxyzxxuudxxuuuuxxxx)(21则在x方向上的动量通量收支差量，由（3-9a）—（3-9b）式为（dxxuuxx)(）。因此在单位时间通过A及B面的对流动量收支差量为dxdydzxuuxx)(（3-9c）22同理，速度ux与y及z方向的质量通量(uy及uz)组成的动量收支差量各相应为dxdydzyuuxy)(（3-9d）dxdydzzuuxz)(（3-9e）∴以ux为准的微元体对流动量收支差量为：dxdydzzuuyuuxuuxzxyxx)()()(23②以y方向分速度uy组成的对流动量收支差量为：dxdydzzuuyuuxuuyzyyyx)()()(③以z方向分速度uz组成的对流动量收支差量为：dxdydzzuuyuuxuuzzzyzx)()()(24微元体粘性动量收支差量流体粘性动量传输表现为作用在相关界面上的粘性力，决定于流体的粘度和速度梯度。（注意！！对存在变形的流体流动，粘性力不能简单地由牛顿粘性定律来确定。）与对流动量传输类似，也有9个分量，如下图：τx——ux——τxxτyxτzxτy——uy——τxyτyyτzyτz——uz——τxzτyzτzz25xxxdxxxxxxdxxxxdxdydzxxx与ux组成，从A面传入的粘性动量通量从B面传出的粘性动量通量故动量通量收支差量=单位时间的粘性动量收支差量=26yzdydxdzyxydzdydxzxz同理，速度ux分别与组成的粘性动量收支差量有：和以ux为准的元体粘性动量的收支差量：dxdydzzyxzxyxxx)(27dxdydzzyxzyyyxy)(dxdydzzyxzzyzxz)(同理，以uy及uz为准的元体粘性动量收支差量各相应为28微元体作用力的总和一般情况下，在流体的动量传输中，微元体上的作用力有：重力、压力。①压力如图，A、B面受的压强分别为：P，P+dxxPx、y、z方向压力合力分别为：dydzdxxP；PP+dPdxdzdyyP；ABdydxdzzPx29②重力mg在三个坐标轴的分量为：[分量]x=ρgxdxdydz[分量]y=ρgydxdydz[分量]z=ρgzdxdydz所以，微元体在各方向的作用力总和为：[作用力总和]x=dxdydzgxPx)([作用力总和]y=dxdydzgyPy)([作用力总和]z=dxdydzgzPz)(30微元体的动量蓄积量以三个坐标方向的分速度为准的动量变化为：[微元体动量蓄积量]x=dxdydztux)([微元体动量蓄积量]y=dxdydztuy)([微元体动量蓄积量]z=dxdydztuz)(31按三个坐标方向分别整理：简化：zuuyuuxuutuxzxyxxx)()()()(=xzxyxxxgxpzyx)(同理zuuyuuxuutuyzyyxyy)()()()(=yyzyyyxygpzyx)(zuuyuuxuutuzzyzxzz)()()()(=zzzyzxzgzpzyx)(即粘性流体动量平衡方程式—N-S方程适用：可压缩、不可压缩，稳定与不稳定均可。32对不可压缩流体，且μ=const，可简化为222222222222222222111zuyuxuzPgzuuyuuxuutuzuyuxuyPgzuuyuuxuutuzuyuxuxPgzuuyuuxuutuzzzzzzzyzxzyyyyyzyyyxyxxxxxzxyxxx合写成一个式：FPuDtuD2333.3理想流体动量平衡方程—欧拉方程理想流体：指无粘性的流体。虽然实际流体均有一定的粘性，但处理某些流动问题时，可以近似的视为理想流体。如：1）在流场中速度梯度很小时，流体虽然有粘性，但粘性力的作用不大。2）简单流动中的阻力，可以先假定为理想流体进行解析，而后再对流体粘性造成的能量损失给以补正。34对粘度0的无粘性流体N-S方程简化得到理想流体的动量平衡方程，即欧拉方程在直角坐标系统中：xPgzuuyuuxuutuxxzxyxxx1zPgzuuyuuxuutuYPgzuuyuuxuutuzzzzyzxzyyzyyyxy11——不可压缩流体的欧拉方程353.4伯努利方程理想流体在稳流条件下，具有一维流动特征的流线或微小流束的动量平衡关系。对欧拉方程在稳流条件下且对单位质量的流体简化为:xpgzuuyuuxuuxxzxyxx1ypgzuuyuuxuuyyzyyyx1zpgzuuyuuxuuzzzzyzx136dxxpdxgdxzuudxyuudxxuuxxzxyxx1dyypdygdyzuudyyuudyxuuyyzyyyx1dzzpdzgdzzuudzyuudzxuuzzzzyzx1设流线上任一微元段ds的各分量为dx、dy、dz，对上式两边分别乘以dx、dy、dz。则：37从流线方程可知：dzudyudxuzyxuxdy=uydx，uydz=uzdy，uzdx=uxdz代入上式中，得dxxPpdxgdzzudyyudxxuuxxxxx1)(dxgdxxpduuxxx138dygdyypduuyyy1dzgdzzpduuzzz1)(1dzzpdyypdxxpdzgdygdxgduuduuduuzyxzzyyxx取Z轴垂直地面：gz=-g，gx=0，gy=0；39ud