1.1.1--正弦定理

11.1.1正弦定理●教学目标知识与技能：通过对任意三角形边长和角度关系的探索，掌握正弦定理的内容及其证明方法；会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力；培养学生合情推理探索数学规律的数学思思想能力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。过程与方法：让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中，边与其对角的关系，引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实践操作。●教学重点正弦定理的探索和证明及其基本应用。●教学难点已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。●教学设想如图1．1-1，固定ABC的边CB及B，使边AC绕着顶点C转动。A思考：C的大小与它的对边AB的长度之间有怎样的数量关系？显然，边AB的长度随着其对角C的大小的增大而增大。能否用一个等式把这种关系精确地表示出来？CB[探索研究](图1．1-1)在初中，我们已学过如何解直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等式关系。如图1．1-2，在RtABC中，设BC=a,AC=b,AB=c,根据锐角三角函数中正弦函数的定义，有sinaAc，sinbBc，又sin1cCc,A则sinsinsinabccABCbc从而在直角三角形ABC中，sinsinsinabcABCCaB(图1．1-2)思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？（由学生讨论、分析）可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况：如图1．1-3，当ABC是锐角三角形时，设边AB上的高是CD，根据任意角三角函数的定义，有CD=sinsinaBbA,则sinsinabAB，C同理可得sinsincbCB，ba从而sinsinabABsincCAcB(图1．1-3)思考：是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。（证法二）：过点A作jAC，C由向量的加法可得ABACCB则()jABjACCBAB2∴jABjACjCB00cos900cos90jABAjCBC∴sinsincAaC，即sinsinacAC同理，过点C作jBC，可得sinsinbcBC从而sinsinabABsincC类似可推出，当ABC是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导）从上面的研探过程，可得以下定理正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即sinsinabABsincC[理解定理]（1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即存在正数k使sinakA，sinbkB，sinckC；（2）sinsinabABsincC等价于sinsinabAB，sinsincbCB，sinaAsincC从而知正弦定理的基本作用为：①已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如sinsinbAaB；②已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsinaABb。一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形。重难点讲解1.利用正弦定理解三角形的类型及其解的情况(1)已知两角与一边，用正弦定理，有解时，只有一解．(2)已知两边及其中一边的对角，用正弦定理，可能有两解、一解或无解．在△ABC中，已知a，b和A时，解的情况如下：特别提示：(1)应用正弦定理，要明确角化边(或边化角)的方向，对三角形有几个解必须清楚明了，防止出现漏解或增解．3(2)若已知三角形任意两角，则由三角形内角和定理可求第三个角，再由三角形的任一条边结合正弦定理可求其他边．若已知三角形任意的两条边和一个角，仅由正弦定理不一定能全部求出其他的边和角．[典题分析]【例1】在ABC中，已知032.0A，081.8B，42.9acm，解三角形。解：根据三角形内角和定理，0180()CAB000180(32.081.8)066.2；根据正弦定理，00sin42.9sin81.880.1()sinsin32.0aBbcmA；根据正弦定理，00sin42.9sin66.274.1().sinsin32.0aCccmA评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。【例2】已知下列各三角形中的两边及其一边的对角，先判断三角形是否有解?有解的作出解答．(1)a＝7，b＝8，A＝105°；(2)a＝10，b＝20，A＝80°；(3)b＝10，c＝56，C＝60°；(4)a＝23，b＝6，A＝30°．【点拨】由题目可获取以下主要信息：已知4个三角形中的两边及其一边对角的值，求其他边和角．解答本题可先利用正弦定理求另一边对角的正弦值，或利用三角形中大边对大角定理考虑解的情况，可由正弦定理求其他边和角．【解析】(1)∵a＝7，b＝8，∴ab，又∵A＝105°90°，∴本题无解．(2)a＝10，b＝20，ab，A＝80°90°，∵bsinA＝20·sin80°20·sin60°＝103，∴ab·sinA，∴本题无解．(3)b＝10，c＝56，bc，C＝60°90°，本题有一解．∵sinB＝sinbCc＝10sin6056＝22，∴B＝45°，A＝180°－(B＋C)＝75°．∴a＝sinsinbAB＝10sin75sin45＝6210422＋＝5(3＋1)．(4)a＝23，b＝6，ab，A＝30°90°，又∵bsinA＝6sin30°＝3，absinA，∴本题有两解．由正弦定理得sinB＝sinbAa＝6sin3023＝32，∴B＝60°或120°．当B＝60°时，C＝90°,c＝sinsinaCA＝23sin90sin30＝43；4当B＝120°时，C＝30°,c＝sinsinaCA＝23sin30sin30＝23.∴B＝60°，C＝90°，c＝43或B＝120°，C＝30°，c＝23【规律方法】已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形时，可先判断解的情况，若有解，再求出另一边的对角的正弦值，然后根据该正弦值求角，需对角的情况加以讨论是否有解，如果有解是一解还是两解，若有解，再由三角形的内角和定理求出第三个角，然后利用正弦定理求出第三边．评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。【例3】已知方程x2－(bcosA)x＋acosB＝0的两根之积等于两根之和，且a、b为△ABC的两边，A、B分别为边a、b的对角，试判断该三角形的形状．【点拨】由题目可以获取以下主要信息：①两根之积为acosB；②两根之和为bcosA；③acosB＝bcosA．解答本题可先根据条件列出关系式，然后利用正弦定理化简、判断即可．【解析】设方程的两根为x1、x2，由根与系数的关系得x1＋x2＝bcosA，x1·x2＝acosB．依题意得bcosA＝acosB．根据正弦定理得a＝2RsinA，b＝2RsinB(R为△ABC的外接圆半径)，∴2RsinBcosA＝2RsinAcosB,即sinAcosB－cosAsinB＝0，∴sin(A－B)＝0．∵0Aπ，0Bπ,∴A－B＝0，即A＝B，∴该三角形为等腰三角形．【规律方法】(1)判断三角形的形状，可以从考察三边的关系入手，也可以从三个内角的关系入手，从条件出发，利用正弦定理进行代换、转化，呈现出边与边的关系或求出角与角的关系或大小，从而作出准确判断．(2)判断三角形的形状，主要看其是否是正三角形、等腰三角形、直角三角形、钝角三角形或锐角三角形，要特别注意“等腰直角三角形”与“等腰三角形或直角三角形”的区别．课时小结（由学生归纳总结）（1）定理的表示形式：sinsinabABsincC0sinsinsinabckkABC；或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k（2）正弦定理的应用范围：①已知两角和任一边，求其它两边及一角；②已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。练习:一、选择题1．在△ABC中，已知0075,60,8CBa，则b等于（）Ａ．24Ｂ．34Ｃ．64Ｄ．3322．在△ABC中，已知045,2,Bcmbxcma，如果利用正弦定理解三角形有两解，则x的取值范围是()Ａ.222＜x＜Ｂ．222＜xＣ．2x＞Ｄ．2x＜3．△ABC中，若sinA：sinB：sinC=m：(m+1)：2m,则m的取值范围是（）Ａ．（０，＋∞）Ｂ．（21，＋∞）Ｃ．（１，＋∞）Ｄ．（２，＋∞）二、填空题４．在△ABC中，若sinA＝２cosBsinC,则△ABC的形状是_________５．在△ABC中，已知31cos,23Ca，Ｓ△ABC＝34，则b_________三、解答题5６．已知方程0cos)cos(2BaxAbx的两根之积等于两根之和，且ba,为△ABC的两边，A、B为两内角，试判断这个三角形的形状7．在△ABC中，3,2CAbca，求sinB的值。参考答案1．Ｃ2．Ａ3．Ｂ4．等腰三角形5．326．由方程两根之积为Bacos，方程两根之和为Abcos，∴AbBacoscos由正弦定理，得ABBAcossincossin即0)sin(BA∵00180180B＜＜A∴Ａ－Ｂ＝０∴Ａ＝Ｂ∴三角形为等腰三角形7．解由正弦定理，得sinA+sinC=2sinB由22;22CACACCACAA得BCACAsin22cos2sin2即BCAsin6cos2sin即2sin23sinCAB∵Ａ＋Ｂ＋Ｃ＝∴Ｂ＝－（Ａ＋Ｃ）222CAB∴2sin)22cos(2cosCACAB∴2cos232cos2sin2BBB∵02cosB∴432sinB∴413)43(12cos2B∴8394134322cos2sin2sinBBB