6.表象变换

表象变换RepresentationsTransformations第六小组何长洋姜腾辉张文沛李仲12小组整体流程
表象变换的基础知识
关于动量表象的习题
关于能量表象的习题
量子信息中的量子计算简介表象变换的基础知识
表象变换是幺正变换
态矢的表象变换
力学量算符的表象变换
量子力学在幺正变换下的不变性
通过幺正变换求算符的本征值34一、表象变换是幺正变换{}{}ˆˆaABnnb设算符A和B的本征矢完备系分别为和，它们所张开的空间分别称为表象和表象。现在考察两表象基矢之间的变换关系。若ˆ1,2,...(1)kkbUak==ˆU那么，变换算符应具有怎样的形式？4nnnnnˆa(3)ˆˆaankkknkknnUbUaUabbbδ====∑∑∑可知，变换算符应为实际上，用作用于，即有这就是（1）式.††ˆˆˆˆˆ(4)UUUUI==可以证明，变换算符为幺正算符5nkaa(2)nkδ=由基矢的正交归一性{}{}kk††nnnnnn,aˆˆaaakknknkbUUbbabb==∑∑∑利用的正交归一性及的完备性，即有nnn,ˆaa(5)knknknaaIδ===∑∑††nnnn,nnn,ˆˆbaaˆ(6)kkkknnnkknknknUUbbaabbbbbIδ=====∑∑∑∑∑同理可得6mkmk1111ˆˆˆ(7)(8)mkmkkmmkUUaUaabababUabab===KMOML现在给出变换算符在A表象的矩阵表示。利用（1）式，的矩阵元U可化为U写成矩阵形式即为，7•上式称为由A表象到B表象的变换矩阵，其矩阵元为A表象的基矢（左矢）与B表象的基矢（右矢）的内积，并且它的第k列元素是B表象的第k个基矢分别在A表象的各个基矢上的投影，记住这一点，对于今后求出变换矩阵是很有好处的。81111kmmkababUabab=KMOML二、态矢的表象变换11A22,(9)bb.(10)kkkkkkABaabbABaaψψψψψψψψψψψψ====∑∑MM（）（B）现将一态矢分别按、表象的基底展开为将展开系数排列成矩阵即分别为在、表象的矩阵表示，9Akkkn†kkk††kknkn†kknnAbbb.(11)ˆbabˆba(12)ˆba.(13)nnnnnaaUaaUaUUaaψψψψψψψψ=====∑∑（）（B）（B）为了寻找与之间的关系，将表象的单位算符插入的第K个元素，即有取（1）式的厄米共轭代入，可得，代入（11）式，可得10†A†(14a).a1.(14)UABUUUbψψψψ===（B）（）（A）（B）写成矩阵形式即为这就是态矢从表象到表象的变换式显然，用U左乘（14）式，利用，可得11三、力学量算符的表象变换()()kk()k†nln1knk()kknm,n†m,nˆ,ˆˆa,.(15)ˆbˆˆba(16)ABkllkllBkllnBkllmmnlkmmnnlFABFFaFbFbAFbFbabUaFbFbaFaabUFU========∑∑力学量算符在表象的矩阵元分别为将表象的两个单位算符插入，并利用U及【参看（12）式】便有12†A††††(17a).1(17b)FUFUABUUUUFUFU====（B）（）（A）（B）写成矩阵形式即为这就是力学量算符从表象到表象的变换式同样，用U左乘、用U右乘（17a）式，由可得13四、量子力学在幺正变换下的不变性
1、在幺正变换下，两个态矢的内积不变.
2、在幺正变换下，算符方程的形式不变.
3、在幺正变换下，任何力学量平均值保持不变.
4、在幺正变换下，算符的本征值保持不变.
5、在幺正变换下，任何算符的迹保持不变.幺正变换的五个常用性质幺正变换的五个常用性质幺正变换的五个常用性质幺正变换的五个常用性质：：：：14证明：在幺正变换下，算符的本征值保持不变.(A)(A)(A)†(A)(A)
†(A)
(B)(B)(B)ˆ,1ˆˆ.FAFUFUUUFUUUFFBFψλψψψλψψλψλ====证的本征值方程在表象的矩阵表示为左乘并在与之间插入，即有这就是的本征值方程在表象的矩阵表示，可见的本征值仍为15(A)态矢间的关系（如性质），算符与态矢间的关系（如性质），以及算符间的关系（如性质）在幺正变换下是不变的.而量子力学的全部物理内容是通过上述三类关系来表达的，可见量子力学的全部内容13、42、5幺正在下是变换不变的.上述五个性质表明上述五个性质表明上述五个性质表明上述五个性质表明：：：：16五、通过幺正变换求算符的本征值(B)ˆˆˆˆˆ,,ˆkkkmnnnmnnkkmknBbbbaAIaaaBaabbab===∑∑既然表象变换不改变算符的本征值，因此，只要将B的矩阵表示变换到它自身表象，则B必为对角矩阵，对角元为B的本征值.设算符B的本征值方程为左乘插入表象的单位算符即有17111211212222()()()()ˆˆˆˆˆk.kkkkkkkkAAAbkbkAbmkmkaBaaBaababaBaaBaabbabBbBbABabABψψψ===LLLLLMM写成矩阵形式可简写为算符的属于本征值的本征矢在A表象的矩阵表示，正好是由表象到表象变换矩阵的第列元素U排成的列矩阵这说明，由表象到表象的变换矩阵U,就()ˆ.kAkbbAψ是B的本征矢在表象的矩阵表示按列排成的矩阵18222220ˆ0101012010.ˆ.ˆzxxzxxxzxxzxxzLLLLLLLLLLLLLLLLLLLψψψ+-=h例在和的共同表象中，算符的矩阵表示为试求由，表象到表象的变换矩阵，并将矩阵对角化解只要将在、表象的矩阵表示变换到表象，便可将矩阵对角化前面的讨论表明，由，表象到表象的变换矩阵U，就是的本征矢在、表象的矩阵表示，，按列排成的矩阵.190112111202.22211212112022121Uψψψ+-===--=--假设已给出这三个列矩阵：，，由此得2()†121121010112021012022220101211210000000xzLLLxxLULU==----=-hhh（）、0.xL-hh由此可见，在其自身表象的矩阵表示是对角矩阵，其本征值为矩阵的对角元，即，，20ThankyouQ&A21一维谐振子的哈密顿算符为一维谐振子的哈密顿算符为一维谐振子的哈密顿算符为一维谐振子的哈密顿算符为(1)1.谐振子的全部能级谐振子的全部能级谐振子的全部能级谐振子的全部能级2.在能量表象中的矩阵元在能量表象中的矩阵元在能量表象中的矩阵元在能量表象中的矩阵元，，，，以下以下以下以下简写成简写成简写成简写成p22211ˆˆ22Hpxμωμ=+xp能量表象中的一维线性谐振子问题能量表象中的一维线性谐振子问题能量表象中的一维线性谐振子问题能量表象中的一维线性谐振子问题,xp
(),ArpknknAAkAnψψ≡≡()11knknknknknkndAAHHAdtiEEAiiAψψψψω⇒=-=-=hh()/knknEEω=-h||||nnnnnnHEHEψψψψ〉=〉〈=〈knknkndAiAdtω=其中其中其中其中利用算符运动方程，的时间变化率为(),Arp定义能量表象中矩阵元[](),dAiAHiAHHAdt==-hh1.对于力学量算符取在能量表象中的矩阵元，可得dAdtknknEEω-=h
2.求和规则()22knnknEExμ-=∑h[]()[]()()()()()()2221,[,]2,22xxknknknknxxxxxknxxnkkkkknkknnnkknnkknknnknknknnknnknpdxixHxpdtidxpixdtxpxppxiixppxxppxixxxxixiEExμμμμωμωωμωμ======-==-=-=-==-∑∑∑∑hhhhh利用x的算符运动方程，可得取能量表象中的矩阵元，即得knknkndxixdtω=再利用基本对易式在能量本征态|k下求平均值，即得利用算符运动方程，易得取上式在能量表象矩阵元，即得(2)3.谐振子的能级谐振子的能级谐振子的能级谐振子的能级[]2221,,2dppHpxxdtiiμωμω===-hh2knknknknkndpxdtdpipdtμωω=-=又易知又前面已证把式（3）和式（4）合并，即得knknknxipμω=(4)0)(22=-knknxωω(5)联合上两式有2knknknipxωμω=-(3)
其中k、n可以理解为编号数，由式（5）易见
如，则
如，则ωω±≠kn0=knx0≠knxωω±=kn(6)nkEEω-=±h
由于
对于任何特定的能级，必有某些使，则由式（6）可知，能级差，亦即，任意指定一个能级后，必然还存在和它相差的其他能级。所以，全部能级为
即0||)(22==∑∑nnknnkknkkxxxx(7)kE0≠knxωhEEkn±=-ωh(8)000,,2.....EEEEωω=++hh0,0,1,2......nEEnnω=+=h
为了求出基态能级，可以利用求和规则
取k为基态（k=0），由式（6）（7）和（9）可得(9)2()||/2nknknEExμ-=∑h222000||()2nnxxωωμ==∑hhh
因此，势能的基态平均值为
而由维里定理，应有
和式（10）比较，即得00021EVT==(10)(11)220011()24xμωω=h012Eω=h维里定理是描述稳定的自引力体系的一个定理
代入（8），即得能级公式
考虑到式（6）由式（9）得出(8’)(12)1(),0,1,2......2nEnnω=+=h221,1,||||2kkkkxxμω+--=h
适当选择各能量本征态的相因子，总可使各为非负实数，则式（12）可以写成（k改为n）
当n=0，上式给出(12’)(13)221,,1()()2nnnnxxμω+--=h21010(),22xxμωμω==hhieδnkx
反复利用式（12’）即得
再利用式（4），即得nnnnxip,1,1++=ωμ（14）(15)1,1,0,1,2,.......2nnnxnμω++==h221,,122,11,2222,11,0()()2()()2......()()2nnnnnnnnxxxxxxμωμωμω+-----=-=-=hhh()()*,11,1,*,11,1,nnnnnnnnnnnnxxxppp++++++====-010...102...202......0.........010...102...202......0.........xpμωμω=--=hhx的矩阵元为实数的矩阵元为实数的矩阵元为实数的矩阵元为实数，，，，p的矩阵元为纯虚数的矩阵元为纯虚数的矩阵元为纯虚数的矩阵元为纯虚数，，，，因此因此因此因此x和和和和p在能量表象中的矩阵为在能量表象中的矩阵为在能量表象中的矩阵为在能量表象中的矩阵为：：：：QuantumComputationChangyangHeOverviewIntroductionandHistoryDataRepresentationOperationsonDataShor’sAlgorithmConclusionandOpenQuestionsIntroductionWhybotherwithquantumcomputation?Whybotherwithquantumcomputation?
Moore’sLaw:Wehitthequantumlevel2010~2020.RonFolmanetal..Phys.Rev.