正弦定理(第一课时)教学设计

《正弦定理》（第一课时）教学设计吴丛新本节课是普通高中课程标准实验教科书必修5第一章《解三角形》中的1.1《正弦定理和余弦定理》中的1.1.1《正弦定理》的内容，该节包括正弦定理的发现、证明和应用，我把这节内容分为2课时，现在我要说的是《正弦定理》的第一课时，主要包括正弦定理的发现、证明和简单的应用。下面我从三个方面来说说对这节课的分析和设计：一、教学背景分析1.教材地位分析《正弦定理》是普通高中课程标准实验教科书必修5中第一章《解三角形》的学习内容，比较系统地研究了解三角形这个课题。《正弦定理》紧跟必修4（包括三角函数与平面向量）之后，可以启发学生联想所学知识，运用平面向量的数量积连同三角形、三角函数的其他知识作为工具，推导出正弦定理。正弦定理是求解任意三角形的基础，又是学生了解向量的工具性和知识间的相互联系的的开端，对进一步学习任意三角形的求解、体会事物是相互联系的辨证思想均起着举足轻重的作用。通过本节课学习，培养学生“用数学”的意识和自主、合作、探究能力。2.学生现实分析(1)学生在初中已学过有关直角三角形的一些知识：①勾股定理：②三角函数式，如：(2)学生在初中已学过有关任意三角形的一些知识：①②大边对大角，小边对小角③两边之和大于第三边，两边之差小于第三边(3)学生在高中已学过必修4（包括三角函数与平面向量）(4)学生已具备初步的数学建模能力，会从简单的实际问题中抽象出数学模型3.教学目标分析知识目标：(1)正弦定理的发现(2)证明正弦定理的几何法(3)正弦定理的简单应用能力目标：(1)培养学生观察、分析问题、应用所学知识解决实际问题的能力(2)通过在解决问题的过程中培养学生的联想能力、综合应用知识的能力情感目标：(1)设置情景，培养学生的独立探究意识，激发学生学习兴趣(2)鼓励学生探索规律、发现规律、解决实际问题(3)通过共同剖析、探讨问题，推进师生合作意识，加强相互评价与自我反思二、教学展开分析1.教学重点与难点分析caAsincbAcosCBA222cba教学重点是发现正弦定理、用几何法证明正弦定理。正弦定理是三角形边角关系中最常见、最重要的两个定理之一，它准确反映了三角形中各边与它所对角的正弦的关系，对于它的形式、内容、证明方法和应用必须引起足够的重视。教学难点是已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数.2.教学策略与学法指导教学策略：本节课采用“发现学习”的模式，即由“结合实例提出问题——观察特例提出猜想——深入探究证明定理——运用定理解决问题”四个环节组成的“发现学习”模式，在教学中贯彻“启发性”原则，通过提问不断启发学生，引导学生自主探索与思考；并贯彻“以学定教”原则，即根据教学中的实际情况及时地调整教学方案。学法指导：教师平等地参与学生的自主探究活动，引导学生全员参与、全过程参与。通过启发、调整、激励来体现主导作用，根据学生的认知情况和情感发展来调整整个学习活动的梯度和层次，保证学生的认知水平和情感体验分层次向前推进。3.教学媒体选择与应用使用多媒体平台（包括电脑和投影仪）辅助教学，让学生自己动手进行实验，借助多媒体快捷、形象、生动的辅助作用，既突出了知识的产生过程，遵循了学生的认知规律，让学生形成体验性认识，体会成功的愉悦，同时又可以增加课堂的趣味性，提高学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。4.教学过程实施本节课采用“发现学习”的模式，因而教学过程实施分为五个部分：(1)结合实例提出问题(2)观察特例提出猜想(3)证明猜想得出定理(4)运用定理解决问题(1)结合实例提出问题教学过程设计意图设置问题情境从实际测量提出问题,营造宽松、和谐、主动积极的探究氛围，激发学习兴趣.学生自很多学生会抽象出数学模型，但不知如何求解挖掘学生的原有认知，在原有知识和主探讨学习目标之间搭建平台.师生共同探讨引导学生回忆初中学过的直角三角形中角与边的关系实际问题要考虑实际情况，锻炼学生的发散思维，培养学生解决实际问题的能力.教师提问接着提问学生：在任意三角形中，各边、角之间是否存在某种数量关系呢？若有，那么我们就可以直接利用，快速求解。寻求解决问题的简便方法，符合人们的思维规律，同时也指出本节课的探究方向.(2)观察特例提出猜想教学过程设计意图师生共同观察特例①在Rt△ABC中，各边、角之间存在何种数量关系？②学生容易想到三角函数式子：（可能还有余弦、正切的式子）③这三个式子中都含有哪个边长？学生马上看到，是c边，因为④那么通过这三个式子，边长c有几种表示方法？⑤得到的这个等式，说明了在Rt△中，各边、角之间存在什么关系？（各边和它所对角的正弦的比相等）⑥此关系式能不能推广到任意三角形？以旧引新,打破学生原有认知结构的平衡状态,刺激学生认知结构根据问题情境进行自我组织,促进认知发展.从直角三角形边角关系切入,符合从特殊到一般的思维过程.提出猜想猜想：在任意的△ABC中,各边和它所对角的正弦的比相等,即：鼓励学生模拟数学家的思维方式和思维过程,大胆拓广,主动投入数学发现过程,发展创造性思维能力.caAsincbBsin1sinCcCcBbAasinsinsinCBAcabccC1sinCcBbAasinsinsin(3)证明猜想得出定理教学过程设计意图师生总结三角形分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形，对于直角三角形，我们前面已经推导出这个关系式是成立的，那么我们现在是否需要分情况来证明此关系式？及时总结，使方向更明确，并培养学生的分类意识.交流研讨辨析①教师启发：刚才在直角三角形中已经证明了,那么能否把锐角三角形转化为直角三角形来求证？——可以构造直角三角形②如何构造直角三角形？——作高线（例如：作CD⊥AB，则出现两个直角三角形）③将欲证的连等式分成两个等式证明，若先证明，那么如何将A、B、a、b联系起来？——在两个直角三角形Rt△BCD与Rt△ACD中，CD是公共边：在Rt△BCD中，CD=，在Rt△ACD中，CD=④如何证明？——作高线AE⊥BC，同理可证.⑤那么在钝角三角形中呢？学生自己动手推导。把不熟悉的问题转化为熟悉的问题,引导启发学生利用已有的知识解决新的问题.学生在合作交流、与人分享的探讨的氛围中倾听、思考、表述，体验成功的喜悦；学会合作，并在合作中懂得欣赏他人；提高分析能力.(4)运用定理解决问题教学过程设计意图定理明晰①正弦定理如何表述？——在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即②表达式反映了什么？——指出了任意三角形中，各边与对应角的正弦之间的一个关系式从形式和内容进一步让学生明确正弦定理所反映出的规律解决情境中的实例题目：类型一已知两角及一边解三角形例1.在△ABC中，已知b=3，A=45°，B=60°，求a。变式：在△ABC中，已知c=3，A=45°，B=60°，求b。规律总结：类型二已知两边及一边的对角解三角形例2.在△ABC中，已知2,22,45abA，求B和c变式1：在△ABC中，4,22,45abA．求B和c让学生用正弦定理重新解题，感觉比原来的方法简便多了,使学生认为艰辛的付出有了回报,感受收获的喜悦,体验成功的乐趣.baCDABbcBbAasinsinBasinAbsinAbBasinsinBbAasinsinCcBbsinsinCcBbAasinsinsin变式2：在△ABC中，42,22,453abA．求B和c规律总结：定理反思总结①我们刚才已经用正弦定理解决三角形中的一类什么问题？——已知任意两个角和一边，可以求出另一角和另两边②用正弦定理还可以解决三角形中的什么问题？——已知两边和其中一边的对角，可以求出另一边和另两角通过总结与思考，领悟思想方法，把握规律的本质，提高分析和解决问题的能力.课堂练习课本练习：1.2.3充分利用课本资源；简单应用正弦定理.课堂反思小结通过这节课的研讨，请大家谈谈自己的体会.(1)在这节课中，学习了哪些知识？①正弦定理及其发现和证明②正弦定理的初步应用(2)包含了哪些数学思想和数学方法？①运用从特殊到一般，一般到特殊的转化思想②运用方程的思想③运用“观察、猜想、实验、证明”解决问题的方法通过反思，深化学生知识理解、完善学生认知结构.课后作业(1)课后探究：①类比Rt△ABC中的式子猜想在任意三角形ABC中，比值并证明你的结论.②在△ABC中，求证AbcBacCabSABCsin21sin21sin21(2)课后习题：①课时作业（一）②课本习题“课后探究”中的两个题回答了课本第3页中的问题“是否可以用其它方法证明正弦定理？”“课后习题”让学生探讨解的个数问题，为下节课作准备.CcBbAasinsinsincCcBbAasinsinsin?