高三复习文科三角函数和解三角形

三角函数、解三角形专题1．任意角的三角函数(1)设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx.(2)各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．2．诱导公式公式一公式二公式三公式四公式五公式六sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(kπ＋α)＝tanα(k∈Z)sin(π＋α)＝－sinα，cos(π＋α)＝－cosα，tan(π＋α)＝tanαsin(－α)＝－sinα，cos(－α)＝cosα，tan(－α)＝－tanαsin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cosα，tan(π－α)＝－tanαsin(π2－α)＝cosα，cos(π2－α)＝sinαsin(π2＋α)＝cosα，cos(π2＋α)＝－sinα3.同角三角函数基本关系式sin2α＋cos2α＝1，tanα＝sinαcosα(cosα≠0)．4．正弦、余弦、正切函数的性质函数y＝sinxy＝cosxy＝tanx图象定义域RR值域R{x|x≠π2＋kπ，k∈Z}[－1,1][－1,1]2π奇偶性奇函数偶函数奇函数最小正周期单调性2ππ在[－π2＋2kπ，π2＋2kπ](k∈Z)上单调递增；在[π2＋2kπ，3π2＋2kπ](k∈Z)上单调递减在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上单调递增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上单调递减在(－π2＋kπ，π2＋kπ)(k∈Z)上单调递增最值对称性当x＝π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝－π2＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1当x＝2kπ，k∈Z时，y取得最大值1；当x＝π＋2kπ，k∈Z时，y取得最小值－1无最值对称中心：kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝π2＋kπ(k∈Z)对称中心：(π2＋kπ，0)(k∈Z)；对称轴：x＝kπ(k∈Z)对称中心：(kπ2，0)(k∈Z)5．函数y＝Asin(ωx＋φ)(ω0，A0)的图象(1)“五点法”作图设z＝ωx＋φ，令z＝0，π2，π，3π2，2π，求出x的值与相应的y的值，描点、连线可得．(2)图象变换类型一三角函数的定义、诱导公式【例1】(1)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()．A．－45B．－35C.35D.45(2)(2012·大纲全国)已知α为第二象限角，sinα＋cosα＝33，则cos2α＝()．A．－53B．－59C.59D.53解：(1)∵角θ的终边在直线y＝2x上，∴tanθ＝2，则cos2θ＝cos2θ－sin2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝－35.(2)∵sinα＋cosα＝33，两边平方，得1＋2sinαcosα＝13，则sin2α＝－23.又α为第二象限角，且sinα＋cosα＞0.∴2kπ＋π2＜α＜2kπ＋34π，k∈Z.则即2α为第三象限角．∴cos2α＝－1－sin22α＝－1－－232＝－53.4kπ＋π＜2α＜4kπ＋32π，k∈Z.【变式训练1】(2012·江西)若tanθ＋1tanθ＝4，则sin2θ的值为()．A.15B.14C.13D.12答案D类型二三角函数的图象【例2】已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A，ω，φ为常数，A＞0，ω＞0)的部分图象如图所示，则f(0)的值是________．[尝试解答]由题图知A＝2，T4＝7π12－π3＝π4，T＝π，又T＝2πω，∴ω＝2，根据函数图象的对应关系，得2×π3＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，∴φ＝2kπ＋π3，k∈Z.令k＝0，取φ＝π3，∴函数解析式为f(x)＝2sin(2x＋π3)，∴f(0)＝2sinπ3＝62.【变式训练2】把函数y＝cos2x＋1的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，然后向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到的图象是()．答案A类型三三角函数的性质【例3】已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋π6)－1.(1)求f(x)的最小正周期；(2)求f(x)在区间－π6，π4上的最大值和最小值．解：(1)因为f(x)＝4cosxsinx＋π6－1＝4cosx32sinx＋12cosx－1＝3sin2x＋2cos2x－1＝3sin2x＋cos2x＝2sin2x＋π6，所以f(x)的最小正周期为π.(2)因为－π6≤x≤π4，所以－π6≤2x＋π6≤2π3.于是，当2x＋π6＝π2，即x＝π6时，f(x)取得最大值2；当2x＋π6＝－π6，即x＝－π6时，f(x)取得最小值－1.所以f(x)在－π6，π4最大、最小值分别是2与－1.[规律方法]求三角函数最值(值域)常用方法：(1)化为正弦型函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式；(2)把sinx(或cosx)看作整体，借助二次函数的性质．但一定要注意sinx(或cosx)的制约作用．【变式训练3】(2012·北京)已知函数f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx.(1)求f(x)的定义域及最小正周期；(2)求f(x)的单调递增区间．解(1)由sinx≠0得x≠kπ(k∈Z)，故f(x)的定义域为{x∈R|x≠kπ，k∈Z}．因为f(x)＝sinx－cosxsin2xsinx＝2cosx(sinx－cosx)＝sin2x－2cos2x＝sin2x－(1＋cos2x)＝2sin2x－π4－1，所以f(x)的最小正周期T＝2π2＝π.(2)函数y＝sinx的单调递增区间为2kπ－π2，2kπ＋π2(k∈Z)．由2kπ－π2≤2x－π4≤2kπ＋π2，x≠kπ(k∈Z)，得kπ－π8≤x≤kπ＋3π8，x≠kπ(k∈Z)．所以f(x)的单调递增区间为kπ－π8，kπ和kπ，kπ＋3π8(k∈Z)．类型四三角函数图象与性质的综合应用【例4】(2012·四川)函数f(x)＝6cos2ωx2＋3sinωx－3(ω＞0)在一个周期内的图象如图所示，A为图象的最高点，B、C为图象与x轴的交点，且△ABC为正三角形．(1)求ω的值及函数f(x)的值域；(2)若f(x0)＝835，且x0∈－103，23，求f(x0＋1)的值．解：(1)f(x)＝3(2cos2ωx2－1)＋3sinωx＝3cosωx＋3sinωx＝23sinωx＋π3.依题设，等边△ABC的高为23，从而BC＝4.所以函数f(x)的周期T＝4×2＝8，即2πω＝8，ω＝π4.函数f(x)的值域为[－23，23]．(2)因为f(x0)＝835，由(1)有f(x0)＝23sinπx04＋π3＝835，∴sinπx04＋π3＝45.由x0∈－103，23，知πx04＋π3∈－π2，π2.所以cosπx04＋π3＝1－452＝35.故f(x0＋1)＝23sinπx04＋π4＋π3＝23sinπx04＋π3＋π4＝23sinπx04＋π3cosπ4＋cosπx04＋π3sinπ4＝23×45×22＋35×22＝765.【变式训练4】已知函数f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为π2.(1)求fπ8的值；(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移π6个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间．解(1)f(x)＝3sin(ωx＋φ)－cos(ωx＋φ)＝232sinωx＋φ－12cosωx＋φ＝2sinωx＋φ－π6.∵y＝Asinωx＋φ－π6是偶函数，∴φ－π6＝kπ＋π2，k∈Z.又0＜φ＜π，∴φ－π6＝π2.∴f(x)＝2sinωx＋π2＝2cosωx.由题意得2πω＝2·π2，所以ω＝2.故f(x)＝2cos2x.因此fπ8＝2cosπ4＝2.(2)将f(x)的图象向右平移π6个单位后，得到y＝fx－π6的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到y＝fx4－π6的图象．所以g(x)＝fx4－π6＝2cos2x4－π6＝2cosx2－π3.当2kπ≤x2－π3≤2kπ＋π(k∈Z)，即4kπ＋2π3≤x≤4kπ＋8π3(k∈Z)时，g(x)单调递减．因此g(x)的单调递减区间为4kπ＋2π3，4kπ＋8π3(k∈Z)．