2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五--特殊平行四边形

2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形1/16期末复习五特殊平行四边形复习目标要求知识与方法了解矩形、菱形、正方形的概念理解矩形、菱形、正方形的判定与性质运用用矩形、菱形、正方形的判定与性质解决有关图形的论证和计算等问题必备知识与防范点一、必备知识：1．矩形的性质及判定：（1）矩形的个角都是直角；矩形的对角线；矩形既是对称图形，又是对称图形，它至少有条对称轴．（2）有一个角是的是矩形；有个角是直角的四边形是矩形；对角线相等的是矩形．2．菱形的性质及判定：（1）菱形的条边都相等；菱形的对角线，并且每条对角线平分．（2）一组相等的是菱形；四条边相等的四边形是；对角线的平行四边形是菱形．3．正方形的性质及判定：（1）正方形的个角都是直角，四条边都；正方形的对角线，并2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形2/16且，每条对角线平分一组．（2）有一组相等，并且有一个角是的平行四边形是正方形；有一组邻边相等的是正方形；有一个角是直角的是正方形．二、防范点：1．矩形、菱形、正方形的判定书写要规范；2．矩形、菱形、正方形的性质可从边、角、对角线、整体四个角度去考虑.例题精析考点一矩形的性质与判定例1（1）如图，在矩形ABCD中，AB=6，AD=8，P是AD上不与A和D重合的一个动点，过点P分别作AC和BD的垂线，垂足为E、F，则PE+PF的值为（）A．10B．4.8C．6D．5（2）如图，在矩形ABCD中，有以下结论：①△AOB是等腰三角形；②S△ABO=S△ADO；③AC=BD；④AC⊥BD.正确的结论是.（3）如图，在矩形ABCD中，AC、BD相交于点O.①若矩形的一组邻边为3和4，则对角线长是；②若矩形的对角线所成的角之一是65°，则对角线与各边所成的角度是；③若∠AOB=60°，AB=4，则矩形的对角线AC=.（4）如图，矩形ABCD中，点R沿CD边从点C向点D运动，点M在BC边上运动，E、F分别是AM、MR的中点，则EF的长度随着点M、点R的运动（填①变短；②变长；③不变）.（5）如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点D落在点E处，且CE与AB交于F，则S△ACF=.2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形3/16反思：（1）解题的根据是熟记各种特殊几何图形的特征．（2）熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．（3）正确把握三角形中位线等于第三边的一半的性质是解题关键．（4）熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、全等三角形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键．（5）熟记性质并利用三角形的面积列出方程是解题的关键．例2（1）下列判断不正确的是（）A．有一个角是直角的平行四边形是矩形B．有三个角是直角的四边形是矩形C．对角线相等的四边形是矩形D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形（2）如果平行四边形的四个内角的平分线能够围成一个四边形，那么这个四边形一定是（）A．平行四边形B．矩形C．菱形D．正方形（3）如图，在△ABC中，AB=AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连结AE、BF．当∠ACB为度时，四边形ABFE为矩形．（4）在平面直角坐标系上，有点A（-2，-2），B（2，2），C（0，4），当点D的坐标为时，四边形ABCD是矩形．反思：熟练掌握矩形的判定，并能进行推理论证与计算是解决问题的关键．2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形4/16考点二菱形的性质与判定例3（1）如图，四边形ABCD是菱形，过点A作BD的平行线交CD的延长线于点E.有以下结论：①BD=CE；②DA=DE；③∠EAC=90°；④∠ABC=2∠E.则成立的结论是.（2）一个菱形的两条对角线的长分别为5和8，那么这个菱形的面积是.（3）如图，菱形ABCD的周长为24cm，对角线AC、BD相交于O点，E是AD的中点，连结OE，则线段OE的长等于cm．（4）菱形OACB在平面直角坐标系中的位置如图所示，点C的坐标是（6，0），点A的纵坐标是1，则点B的坐标是.（5）如图，在菱形ABCD中，∠A=60°，AB=2，E，F两点分别从A，B两点同时出发，以相同的速度分别向终点B，C移动，连结EF，在移动的过程中，EF的最小值为.反思：熟记菱形性质是解题的关键，解题时注意数形结合思想的应用．例4（1）平面直角坐标系中，四边形ABCD的顶点坐标分别是A（-3，0），B（0，2），C（3，0），D（0，-2），则四边形ABCD是（）A．矩形B．菱形C．正方形D．平行四边形（2）如图，在△ABC中，点D是BC的中点，点E、F分别在线段AD及其延长线上，且DE=DF，给出下列条件：①BE⊥EC；②AB=AC；③BF∥EC.从中选择一个条件使四边形BECF是菱形，你认为这个条件2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形5/16是（只填写序号）．（3）如图，在△ABC中，∠ABC=90°，D，E分别为AB，AC的中点，延长DE到点F，使EF=2DE．①求证：四边形BCFE是平行四边形；②当∠ACB=60°时，求证：四边形BCFE是菱形．反思：掌握平行四边形、菱形的判定方法，利用数形结合是解题的关键．考点三正方形的性质与判定例5（1）如图，ABCD中，E为BC边上一点，以AE为边作正方形AEFG，若∠BAE=40°，∠CEF=15°，则∠D的度数是.（2）将n个边长都为1cm的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则n个正方形重叠形成的重叠部分的面积和为cm2．2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形6/16反思：（1）解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用转化的思想思考问题.（2）本题的阴影很多，能够认识到每个阴影部分等于是小正方形的面积是解题的关键．例6（1）如图，在△ABC中，点D、E、F分别在边AB，BC，CA上，且DE∥CA，DF∥BA．下列结论：①四边形AEDF是平行四边形；②如果∠BAC=90°，那么四边形AEDF是矩形；③如果AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是菱形；④如果∠BAC=90°，AD平分∠BAC，那么四边形AEDF是正方形，你认为正确的是.（2）如图，在矩形ABCD中，M、N分别是边AD、BC的中点，E、F分别是边BM、CM的中点，当AB∶AD=时，四边形MENF是正方形．反思：熟练应用平行四边形、菱形、矩形及正方形的判定方法是解题关键．考点四特殊平行四边形的开放探究例7如图1，四边形ABCD是正方形，M是BC边上的一点，E是CD边的中点，AE平分∠DAM.【探究展示】（1）证明：AM＝AD＋MC；（2）AM＝DE＋BM是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；【拓展延伸】（3）若四边形ABCD是长与宽不相等的矩形，其他条件不变，如图2，探究展示（1）（2）中的结论是否成立？请分别作出判断，不需要证明.2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形7/16反思：（1）常规辅助线：“中点＋平行”构造全等，角平分线构造全等；（2）证“一条线段＝两线段和”类型常用截长补短法；（3）第（1）小题也可过E作EH⊥AM于H，再证HM＝CM得证.考点五特殊平行四边形的变换例8已知：线段AB，BC，∠ABC=90°．求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：甲：①以点C为圆心，AB长为半径画弧；②以点A为圆心，BC长为半径画弧；③两弧在BC上方交于点D，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图1）．乙：①连结AC，作线段AC的垂直平分线，交AC于点M；②连结BM并延长，在延长线上取一点D，使MD=MB，连结AD，CD，四边形ABCD即为所求（如图2）．对于两人的作业，下列说法正确的是（）A．甲正确，乙错误B．乙正确，甲错误C．甲、乙均正确D．甲、乙均错误反思：利用作图的变换，再运用矩形的判定，并进行推理论证是解决问题的关键．2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形8/16例9已知，一张矩形纸片ABCD的边长分别为9cm和3cm，把顶点A和C叠合在一起，得折痕EF（如图）：（1）求证：四边形AECF是菱形；（2）求折痕EF的长.反思：利用特殊平行四边形的变换，再运用矩形、菱形的性质及判定，求解一些简单的计算及推理问题.考点六特殊平行四边形的综合运用例10如图，在矩形ABCD中，AD＝6，DC＝10，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在矩形ABCD的边AB，CD，DA上，AH＝2，连结CF，BF.（1）若DG＝2，求证：四边形EFGH为正方形；（2）若AE＝x，求△EBF的面积S关于x的函数表达式，并判断是否存在x，使△EBF的面积是△CGF面积的2倍.若存在，求出x的值；若不存在，请说明理由；（3）求△GCF面积的最小值.反思：（1）证第（1）小题图形不准，要抓住△GDH≌△HAE（HL），证明∠GHE＝90°；（2）解第（2）小题的关键是构造△FNG≌△HAE，△FEM≌△HGD；（3）求△GCF面积的最小值要抓住GC边上的高不变，GC最小只要DG最大，DH＝4，∴GH＝HE最大，∴点E与点B重合时，△GCF的面积取最小.2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形9/16校对练习1．如图，在菱形ABCD中，E，F分别是边AB和BC的中点，EP⊥CD于点P，设∠A＝x°，则∠FPC的度数为（）A．52xB．43xC．3xD．2x2．如图所示，点B，C分别在两条直线y=2x和y=kx上，点A，D是x轴上两点，已知四边形ABCD是正方形，则k的值为.3．（南充中考）如图，正方形ABCD和正方形CEFG边长分别为a和b，正方形CEFG绕点C旋转，给出下列结论：①BE=DG；②BE⊥DG；③DE2+BG2=2a2+b2，其中正确结论是.（填序号）4.定义：若点P为四边形ABCD内一点，且满足∠APB+∠CPD=180°，则称点P为四边形ABCD的一个“互补点”．（1）如图1，点P为四边形ABCD的一个“互补点”，∠APD=63°，求∠BPC的度数；（2）如图2，点P是菱形ABCD对角线上的任意一点，求证：点P为菱形ABCD的一个“互补点”．2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形10/165．已知：如图，△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，且AD＝BC＝4，若将此三角形沿AD剪开成为两个三角形，在平面上把这两个三角形拼成一个四边形，你能拼出所有不同形状的四边形吗？写出所拼四边形对角线的长（不要求写计算过程，只需写出结果）6．如图1，在正方形ABCD中，P是对角线AC上的一点，点E在BC的延长线上，且PE=PB．（1）求证：△BCP≌△DCP；（2）求证：∠DPE=∠ABC；（3）把正方形ABCD改为菱形，其他条件不变（如图2），若∠ABC=58°，则∠DPE=度．2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形11/167．如图，在正方形ABCD中，DE与HG相交于点O.（1）如图1所示，若∠GOD＝90°，①求证：DE＝GH；②连结EH，求证：GD＋EH≥2DE；（2）如图2所示，若∠GOD＝45°，AB＝4，HG＝25，求DE的长.2019年春八年级浙教版数学下册练习：期末复习五特殊平行四边形12/16参考答案【必备知识与防范点】1.（1）四相等中心轴两（2）直角平行四边形三平行四边形2.（1）四互相垂直平分一组对角（2）邻边平行四边形菱形互相垂直3.（1）四相等相等互相垂直平分对角（2）邻边直角矩形菱形【例题精析】例1（1）如图，连结OP，∵AB=6，AD=8，∴BD=22ADAB=2286=10，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OD=21×10=5，∵S△AOD=S△AOP+S△DOP，∴21×21×6×8=21×5·PE+21×5·PF，解得PE+PF=4.8．故选：B．（2）①②③（3）①5②57.5°和32