10曲线积分与曲面积分-2

一、对面积的曲面积分的概念与性质二、对面积的曲面积分的计算法对面积的曲面积分Oxyz一、对面积的曲面积分的概念与性质引例:设曲面形构件具有连续面密度类似求平面薄板质量的思想,采用可得nk1M),,(kkk求质“分割、取点、求和、取极限”的方法,量M.其中,表示n小块曲面的直径的(曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者).最大值SzyxMd),,(定义:设为光滑曲面,“乘积和式极限”都存在,的曲面积分Szyxfd),,(其中f(x,y,z)叫做被积据此定义,曲面形构件的质量为曲面面积为f(x,y,z)是定义在上的一个有界函数,记作或第一类曲面积分.若对做任意分割和局部区域任意取点,则称此极限为函数f(x,y,z)在曲面上对面积函数,叫做积分曲面.则对面积的曲面积分存在.•对积分域的可加性.,,21则有Szyxfd),,(1d),,(SzyxfSzyxgkzyxfkd),,(),,(21•线性性质.SzyxgkSzyxfkd),,(d),,(21在光滑曲面上连续,对面积的曲面积分与对弧长的曲线积分性质类似.•积分的存在性.若是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面Oxyz定理1:设有光滑曲面f(x,y,z)在上连续,存在,且有Szyxfd),,(yxDyxf),,(二、对面积的曲面积分的计算法则曲面积分yxD),,(kkkyxk)(则dSzyxf),,(;1]),,(,[22dxdzyyzzxyxfxzDzx),(:.2zxyy若曲面),(.3zyxx：若曲面则dSzyxf),,(.1],),,([22dydzxxzyzyxfyzDzy简述为：一代、二换、三投影代：将曲面的方程代入被积函数换：换面积元dS投影：将曲面投影到坐标面得投影区域4.若曲面为参数方程,只要求出在参数意义下dS的表达式,也可将对面积的曲面积分转化为对参数的二重积分.例1计算dszyx)(,其中为平面5zy被柱面2522yx所截得的部分.解积分曲面：yz5,投影域：}25|),{(22yxyxDxydxdyzzdSyx221dxdy2)1(01,2dxdydszyx)(故xyDdxdyyyx)5(2xyDdxdyx)5(2rdrrd5020)cos5(2.2125xyxyxyDDDxdxdydxdydxdyx252)5(2或例2计算dSyx)(2222yxz是锥面其中与平面z=1所围成的区域的整个边界曲面解分成两部分将10:221zyxz11:222yxzoxyz1:2z121,在xoy内的投影区域1:22yxD1)(22dSyx故Dyxdxdyzzyx22221)(Ddxdyyx)(22220102222rdrrd2)(22dSyxDdSyx)(22220102rdrrd21)()(2222dSyxdSyx221yxD例3.计算曲面积分其中是球面被平面截出的顶部.解:2222:hayxDyx221yxzzzSdπ20da0)ln(21π22222haraayxDyxayxa222dd22022dhararrxzyha思考:若是球面被平行平面z=±h截出的上下两部分,)(dzS)(dzS0π4lnhaa则hhxzy例4.计算其中是由平面坐标面所围成的四面体的表面.解:设上的部分,则4321,,,4dSzyx,1:4yxz1010:),(xxyDyxyxxyyxy10d)1(1203与10d3xx4321Szyxd原式=分别表示在平面zyx111例5.计算.:2222Rzyx解:取球面坐标系,则π0cos)cosd(π2RRRπ02dcossinRRπ20d例6.计算其中是球面22yx利用对称性可知SzSySxdddSzyxId)(32222Szyxd)(34Sxd4Sxd4解:显然球心为,)1,1,1(半径为3x利用重心公式SxdSd).(22zyxzzzd例7.计算其中是介于平面之间的圆柱面分析:若将曲面分为前后(或左右)则HzRzRI022dπ2RHarctanπ2Hxyz解:取曲面面积元素两片,则计算较繁.OyxzL例8.求椭圆柱面位于xOy面上方及平面z=y下方那部分柱面的侧面积S.解:取SSdszLdttcosdcos453π02sdzszSddsyLd例9.设有一颗地球同步轨道通讯卫星,距地面高度h=36000km,运行的角速度与地球自转角速度相同,试计算该通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比.(地球半径R=6400km)解:hRR建立坐标系如图,记覆盖曲面的半顶角为,利用球面坐标系,则ddsind2RS卫星覆盖面积为SAd)cos1(π22RhRRcoshRhR2π20π202dsindRyzx故通讯卫星的覆盖面积与地球表面积的比为24RA)(2hRh6610)4.636(21036%5.40由以上结果可知,卫星覆盖了地球31以上的面积,故使用三颗相隔3π2角度的通讯卫星就几乎可以覆盖地球全表面.说明:此题也可用二重积分求A.hRRyzx内容小结1.定义:iiiiSf),,(ni10lim2.计算:设,),(,),(:yxDyxyxzz则yxDyxf,,(),(yxz)221yxzzyxdd(曲面的其他两种情况类似)•注意利用球面坐标、柱面坐标、对称性、质心公式简化计算的技巧.思考与练习P217题1；3；4(1);7解答提示:P217题1.P217题3.yxDyxyxfSzyxfdd),,(d),,(设则0P244题2P217题4(1).Oyz2x在xOy面上的投影域为yxzzSyxdd1d22yxDSyxyxSdd)(41d22这是的面积!2xyDP218题7.如图所示,有yxyxyxSzyxDdd1)(21d222235π421rt令2zyx1OP244题2.在第一卦为1限中的部分,则有().;d4d)(1SxSyB;d4d)(1SxSzCC(2000考研)备用题1.已知曲面壳求此曲面壳在平面z=1以上部分的的面密度质量M.解:在xOy面上的投影为,2:22yxDyx故SMdrrrd41d3220π20)41d(4181π62202rryxyxyxDdd)(41322π13yxD2xzy2.设是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面,计算解:在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0yxzddzxzDxz10,10:同上平面方程Sd投影域yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0yxzddzxzDxz10,10:同上平面方程Sd投影域yzzydd10)1(1102xzzxdd10)1(11022ln)13(233yxyxxdd)13(2)1(11010一、有向曲面及曲面元素的投影二、对坐标的曲面积分的概念与性质三、对坐标的曲面积分的计算法四、两类曲面积分的联系对坐标的曲面积分一、有向曲面及曲面元素的投影•曲面分类双侧曲面单侧曲面莫比乌斯带曲面分上侧和下侧曲面分内侧和外侧曲面分左侧和右侧(单侧曲面的典型)其方向用法向量指向方向余弦coscoscos0为前侧0为后侧封闭曲面0为右侧0为左侧0为上侧0为下侧外侧内侧•设为有向曲面,,)(yxSSyxS)(侧的规定•指定了侧的曲面叫有向曲面,表示:其面元在xOy面上的投影记为的面积为则规定,)(yx,)(yx,0时当0cos时当0cos时当0cos类似可规定zxyzSS)(,)(二、对坐标的曲面积分的概念与性质1.引例设稳定流动的不可压缩流体的速度场为求单位时间流过有向曲面的流量.S分析:若是面积为S的平面,则流量法向量:流速为常向量:nvΣ对一般的有向曲面,用“大化小,常代变,近似和,取极限”ni10lim0limni1iiiiPcos),,(iiiiRcos),,(0limni1iiiiQcos),,(iS对稳定流动的不可压缩流体的速度场进行分析可得iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设,则设为光滑的有向曲面,在上定义了一个意分割和在局部面元上任意取点,ni1xziiiiSQ))(,,(分,yxRxzQzyPdddddd记作P,Q,R叫做被积函数;叫做积分曲面.或第二类曲面积分.下列极限都存在向量场)),,,(),,,(),,,((zyxRzyxQzyxPA若对的任则称此极限为向量场A在有向曲面上对坐标的曲面积2.定义：引例中,流过有向曲面的流体的流量为zyPdd称为Q在有向曲面上对z,x的曲面积分;yxRdd称为R在有向曲面上对x,y的曲面积分.称为P在有向曲面上对y,z的曲面积分;yxRxzQzyPdddddd若记正侧的单位法向量为令)cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS)),,(,),,(,),,((zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式3.性质(1)若之间无公共内点,则(2)用¯表示的反向曲面,则SAdiSAdyxRxzQzyPddddddSnAdSAd三、对坐标的曲面积分的计算法定理:设光滑曲面取上侧,是上的连续函数,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd证:0limni1yxiS)(yxi)(∵取上侧,),(iiiz0limni1),,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd))(,,(yxzyxRdd),,(•若则有zyzyxPdd),,(),(zy,PzyD),(zyxzydd•若则有xzzyxQdd),,(),zxQxzD,(),(xzyxzdd(前正后负)(右正左负)说明:如果积分曲面取下侧,则yxzyxRdd),,(),,(yxDyxR),(yxzyxdd例1.计算yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中是以原点为中心,边长为a的正立方体的整个表面的外侧.解:利用对称性.原式yxxzdd)(3的顶部),(:2221aaayxz取上侧的底部),(:2222aaayxz取下侧yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxDyxadd3xzyO解:把分为上下两部分2211:yxz根据对称性0ddyxxyz思考:下述解法是否正确:例2.计算曲面积分,dd