《鲁棒控制》-6-线性矩阵不等式

《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生第六章线性矩阵不等式6.1线性矩阵不等式和Schur引理假设()Fx是关于实向量[]12Tnxxxx=的一仿射实函数矩阵，其具有如下性质：()()01122TnnTiiFxFxFxFxFxFFF==++++=则称()()00Fx≤为线性矩阵不等式（LMI）。当存在实向量x，使得()()00Fx≤，则称LMI()()00Fx≤可行或存在可行解。LMI的可行解全体构成一凸集。令X是一实对称矩阵，对于任意给定实数矩阵A和实对称矩阵Q，则矩阵不等式0TAXXAQ++是一线性矩阵不等式。事实上，实对称矩阵X可表示为1miiiXxH==∑，TiiHH=因此()11101mmmTTTTiiiiiiiiiimiiiAxHxHAQQxAHHAFxF====⎛⎞++=++⎜⎟⎝⎠=+∑∑∑∑其中0,TTiiiFQFAHHA==+●Schur补引理给定对称矩阵11122122SSSSS⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，如下命题等价：（1）0;S（2）当110S时，1221211120;TSSSS−−（3）当220S时，1111222120TSSSS−−。《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生证：11121121112122211111112111112112221111222211112000000TISSISSISSSSISSSISSSSSSSSSSI−−−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤−⎡⎤⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦11111212221222212211111222211112221212221212222000000TTSSISSISSSSIIISSSSSSSSSSISSS−−−−−⎡⎤⎡⎤−−⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤−−⎡⎤==⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦⎣⎦⎣⎦●S-过程(S-procedure)设()()0,1,,iFxim=是关于nx∈R的二次函数：()2,0,1,,TTiiiiFxxTxuxvim=++=其中TiiTT=。条件1S:对满足()0,1,2,,iFxim≥=的所有x，有()00Fx≥条件2S:存在标量0,1,2,,iimτ≥=，使得对所有x，有()()010miiiFxFxτ=−≥∑●S-过程是通过检验条件2S来检验条件1S。●条件1S与条件2S一般不等价。●当条件1S与条件2S等价时，称此S-过程是无损的，否则称为有损的。●当S-过程为有损时，条件2S是条件1S的充分条件。条件2S等价为存在标量0,1,2,,iimτ≥=，使得001000miiiTTiiiTuTuuvuvτ=⎡⎤⎡⎤−+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦∑条件1ˆS:对满足0,1,2,,TixTxim≥=的所有非零x，有00TxTx条件2ˆS:存在标量0,1,2,,iimτ≥=，成立010miiiTTτ=−∑●条件2ˆS是条件1ˆS的充分条件。●对于()111120TTFxxTxuxv=++≥，存在x，使得()10Fx，则如下命题等价：《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生（1）对于使得()10Fx≥的所有x，成立()000020TTFxxTxuxv=++≥（2）存在标量0τ≥，使得如下LMI可行：001100110TTTuTuuvuvτ⎡⎤⎡⎤−+≤⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦●对于()110TFxxTx=≥，存在x，使得()10Fx，则如下命题等价：（1）对于使得()10Fx≥的所有x，成立()000TFxxTx=（2）存在标量0τ，使得：010TTτ−+●如下命题等价：（1）存在对称矩阵0P，使得对于满足TTTCCππξξ≤的所有π和0ξ≠，成立：00TTTAPPAPBBPξξππ⎡⎤+⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（2）存在标量0τ≥和对称矩阵0P，使得：0TTTAPPACCPBBPIττ⎡⎤++⎢⎥−⎣⎦6.2控制问题与线性矩阵不等式（1）稳定性与LMI()()XtAXt=A为稳定矩阵iffLyapunov不等式（LMI）0,0TPAPPA+是可行的。（2）可镇定性与LMI()()()xtAxtBut=+(),AB为可镇定对iffLMI0,TTPAPPABB+是可行的。（3）无源性（正实性引理）考虑系统《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()()()xtAxtButytCxtDut=+=+假设0TDD+。令()()1HsCsIABD−=−+系统无源（passive）:当()00x=时，()()00TTutytdt≥∫●系统无源iff()()0,Re0HsHss∗+≥∀(正实条件)●iff如下代数Riccati方程有解0P()()()10TTTTTAPPAPBCDDPBC−++−+−=●iff如下代数Riccati不等式有可行解0P()()()10TTTTTAPPAPBCDDPBC−++−+−≤●iffLMI可行0,0TTTTAPPAPBCPBPCDD⎡⎤+−≤⎢⎥−−−⎣⎦（4）非膨胀性（有界实引理）考虑系统()()()xtAxtBut=+A为稳定矩阵()()()ytCxtDut=+系统为非膨胀的（nonexpansive）:当()00x=时，()()()()00TTTTytytdtututdt≤∫∫●系统为非膨胀的iff()(),Re0HsHsIs∗≤∀(有界实条件)即()1Hs∞≤●iff如下代数Riccati方程有解0P()()()10TTTTTTAPPACCPBCDIDDPBCD−++++−+=●iff如下代数Riccati不等式有可行解0P()()()10TTTTTTAPPACCPBCDIDDPBCD−++++−+≤●iffLMI可行0,0TTTTTTAPPACCPBCDPBPDCDDI⎡⎤+++≤⎢⎥+−⎣⎦《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生（5）H∞控制121111200ABBGCDDI⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦()1211112xAxBBuzCxDDuyxωω=++⎫⎪=++∗⎬⎪=⎭假设:()2,AB可镇定,12D为列满秩，且1120TCD=。令uKx=●存在K，使得zwTγ∞●iff如下代数Riccati不等式有可行解0P()1221212211110TTTTTAPPABDDBBBPCCPγ−−+−++≤●iffLMI可行()1212122111210,0TTTTTAPPABDDBBBCPPPCIγ−⎡⎤+−+⎢⎥≤⎢⎥⎣⎦（6）延迟系统的稳定性对于系统()()()1,0LiiiixtAxtAxtττ==+−∑考虑Krasovskii型Lyapunov函数：()()()()()01,iLTTiiVxtxtPxtxtsPxtsdsτ==+−−∑∫则()()(),TdVxtytWytdt=其中GKzuωx《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生()()()()111110,0LTiLiTLTLLAPPAPPAPAxtxtAPPytWxtAPPττ=⎡⎤++⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥−==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎢⎥⎣⎦⎢⎥−⎣⎦∑###%#●如果()0,01,,,0iPPiLW=，则系统稳定。●如下LMI有可行解时，系统稳定。()10,00iLPPFPPPW⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦%（7）延迟系统的镇定对于系统()()()()1,0LiiiixtAxtAxtButττ==+−+∑●如果存在()0,01,,iPPiL=，使得()()1111000LTiLiTTLLABKPPABKPPAPAAPPWAPP=⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦∑##%#则()()utKxt=镇定该系统。●令()1111,1,,,iiQPQPPPiLYKP−−−−====如果存在()0,01,,iQQiL=和Y，使得1111000LTTTiLiTTLLAQQABYYBQAQAQQAQTQAQ=⎡⎤++++⎢⎥⎢⎥−=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥−⎣⎦∑##%#则()()1utYQxt−=镇定该系统。●当(){},,diag,,0iiFQQYQQT=−可行时，()()1utYQxt−=镇定该系统。《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生可转换为LMI求解的控制问题•RobuststabilityofsystemswithLTIuncertainty(µ-analysis)•Robuststabilityinthefaceofsector-boundednonlinearities(Popovcriterion)•Quadraticstabilityofdifferentialinclusions•Lyapunovstabilityofparameter-dependentsystems•Input/state/outputpropertiesofLTIsystems(invariantellipsoids,decayrate,etc.)•Multi-model/multi-objectivestatefeedbackdesign•Robustpoleplacement•OptimalLQGcontrol•RobustH∞control•Multi-objectiveH∞synthesis•Designofrobustgain-scheduledcontrollers•Controlofstochasticsystems•Weightedinterpolationproblems6.3举例6.3.1时变系统鲁棒稳定性分析考虑如下时变系统()()()xtAtxt=其中(){}123conv,,AtAAA∈1231.02.00.81.51.40.9,,1.03.01.32.70.72.0AAA−−−⎡⎤⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥−−−⎣⎦⎣⎦⎣⎦即()()()()()()()()112233123++0,++1iAttAtAtAttttλλλλλλλ=≥=上述多面体时变不确定系统是鲁棒稳定，如果存在对称常数矩阵，满足1122330000TTTAPPAAPPAAPPAP+++《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生%应用LMI工具箱求解%*****************%初始化一新的LMI描述setlmis([])%“1”：对称块对角阵，“[2，1]”：维数：2x2P=lmivar(1,[2,1])A1=[-1.02;1.0–3.0];A2=[-0.81.5;1.3–2.7];A3=[-1.40.9;0.7–2.0];%第一个LMI的第[11]块（本例仅一块）的左端，1*P*A1%s：对称和，结果：P*A1+A1^T*P0lmiterm([111P],1,A1,'s')%第二个LMI的第[11]块（本例仅一块）的左端，1*P*A2%s：对称和，结果：P*A2+A2^T*P0lmiterm([211P],1,A2,'s')%第三个LMI的第[11]块（本例仅一块）的左端：1*P*A3%s：对称和，结果：P*A3+A3^T*P0lmiterm([311P],1,A3,'s')%第四个LMI的第[11]块（本例仅一块）的右端：1*P*1lmiterm([-411P],1,1)%第四个LMI的第[11]块（本例仅一块）的左端：%[***0]：常数项Ilmiterm([4110],1)%求取LMI的内部描述，以便LMI指令操作lmis=getlmis%求LMI的一可行解[tmin,x_feas]=feasp(lmis)%tmin0%提取Lyapunov矩阵PP=dec2mat(lmis,x_feas,p)《鲁棒控制》课堂笔记清华大学自动化系钟宜生6.3.2H无穷控制器设计举例考虑如下系统的H无穷控制问题。()()()()()()()()2xtwtutztxtytxtwt=+==−+%广义受控对象描述a=0;b1=1;b2=2;c1=1;c2=-1;d11=0;d12=0;d21=1;d22=0;P=ltisys(a,[b1b2],[c1;c2