【新课标通用】2014届高考数学(文科)二轮复习方案专题课件：第8讲-三角恒等变换与解三角形

第8讲三角恒等变换与解三角形返回目录核心知识聚焦命题考向探究命题立意追溯第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦1．[2013·江西卷改编]若sinα2＝33，则cosα＝①________．[答案]13[解析]cosα＝1－2sin2α2＝1－2×13＝13.⇒三角恒等变换关键词：倍角公式、sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)公式的逆用，如①②.——主干知识——第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦2．[2013·辽宁卷改编]在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.，且ab，则B＝________．[答案]π6[解析]由sinAcosC＋sinCcosA＝12，得sin(A＋C)＝sinB＝12，又ab，所以B＝π6.——主干知识——⇒三角恒等变换关键词：倍角公式、sin(α±β)，cos(α±β)，tan(α±β)公式的逆用，如①②.第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦3．[2013·北京卷改编]在△ABC中，a＝3，b＝5，sinA＝13③，则sinB＝________．[答案]59⇒正弦定理关键词：正弦定理的变形形式，如③④.——主干知识——[解析]由正弦定理得asinA＝bsinB，即313＝5sinB，解得sinB＝59.第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦4．[2013·安徽卷改编]设△ABC的内角A，B，C所的对边分别为a，b，c，若b＋c＝2a，3sinA＝5sinB④，则C＝________．[答案]2π3[解析]由3sinA＝5sinB，根据正弦定理得3a＝5b，因为b＋c＝2a，所以c＝75a.又因为cosC＝a2＋b2－c22ab＝－12，所以C＝2π3.——主干知识——⇒正弦定理关键词：正弦定理的变形形式，如③④.第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦5．[2013·新课标全国卷Ⅰ改编]已知锐角△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，23cos2A＋cos2A＝0⑤，a＝7，c＝6，则b＝________．⇒余弦定理关键词：变形及逆用，如⑤.——主干知识——[答案]5[解析]23cos2A＋cos2A＝0，即25cos2A＝1.因为△ABC为锐角三角形，所以cosA＝15.在△ABC中，根据余弦定理得49＝b2＋36－12b×15，即b2－125b－13＝0，解得b＝5.第8讲三角恒等变换与解三角形——体验高考——返回目录核心知识聚焦6．[2013·新课标全国卷Ⅱ改编]△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知b＝2，B＝π6，C＝π4，则△ABC的面积⑥为________．⇒三角形中的常用结论关键词：三角形面积公式间的关系、三角形的边角关系，如⑥.——主干知识——[答案]3＋1[解析]由bsinB＝csinC⇒c＝22，∵A＝105°，∴△ABC的面积为12×2×22×sin105°＝22×6＋24＝3＋1.第8讲三角恒等变换与解三角形——基础知识必备——返回目录返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形►考向一高考中三角恒等变换的常见问题考向：利用和(差)角公式和倍角公式求三角函数值．例1(1)已知cosα＝35，则cos2α＋sin2α的值为()A．925B．1825C．2325D．3425(2)已知cosθ＝－725，θ∈－π，－π2，则sinθ2＋cosθ2＝()A．－125B.125C．－15D．15命题考向探究返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形[解析](1)cos2α＋sin2α＝2cos2α－1＋1－cos2α＝cos2α＝925.(2)因为θ∈－π，－π2，所以sinθ＝－1－cos2θ＝－2425，sinθ20，cosθ20，且sinθ2cosθ2，因此sinθ2＋cosθ20.由sinθ2＋cosθ22＝1＋2sinθ2cosθ2＝1＋sinθ得sinθ2＋cosθ2＝－15.命题考向探究[答案](1)A(2)C返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形小结：给出角的某一个三角函数值求其他三角函数值时，需要关注两个方面，一是运用公式进行变形与已知条件取得联系，进而直接代入求值；二是通过已知条件挖掘隐含条件，判断角的位置和相应三角函数值的符号．命题考向探究返回目录命题考向探究变式题(1)若tanθ＝13，则cos2θ＝________．(2)已知sin2α＝65sinα，α∈0，π2，则tanα＝________．[答案](1)45(2)43第8讲三角恒等变换与解三角形返回目录命题考向探究[解析](1)cos2θ＝cos2θ－sin2θcos2θ＋sin2θ＝1－tan2θ1＋tan2θ＝1－191＋19＝45.(2)由sin2α＝65sinα得2sinαcosα＝65sinα，cosα＝35，sinα＝45，tanα＝43.第8讲三角恒等变换与解三角形返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形►考向二正(余)弦定理在解三角形中的应用考向：利用正弦定理和余弦定理研究三角形的边角关系．例2在三角形ABC中，sin2C·cosC＋3cosC＝cos2C·sinC＋3.(1)求角C的大小；(2)若AB＝2，且sinB·cosA＝sin2A，求△ABC的面积．命题考向探究返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题考向探究规范解答3.正(余)弦定理在解三角形中的应用解：(1)由sin2CcosC－cos2CsinC＝3－3cosC，(1分)化简得sinC＝3－3cosC，即sinC＋3cosC＝3，(3分)得2sinC＋π3＝3，则sinC＋π3＝32，(4分)故C＋π3＝2π3或π3(舍去)，(5分)则C＝π3.(6分)返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题考向探究(2)因为sinBcosA＝2sinAcosA，所以cosA＝0或sinB＝2sinA．(7分)当cosA＝0时，A＝90°，则b＝23，S△ABC＝12·b·c＝12·23·2＝233；(8分)当sinB＝2sinA时，由正弦定理得b＝2a.由cosC＝a2＋b2－c22ab＝a2＋4a2－42·a·2a＝12，可知a2＝43.(10分)所以S△ABC＝12·b·a·sinC＝12·2a·a·32＝32a2＝233.(11分)综上可知S△ABC＝233.(12分)返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题考向探究【答题步骤】第一步：根据所给条件中式子的结构选用两角差的正弦公式等价转化为sinC＋π3＝32；第二步：依据特殊角的三角函数值确定角C；第三步：由sinBcosA＝2sinAcosA进行分类研究；第四步：分别计算cosA＝0和sinB＝2sinA时的面积并综合解答．返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题考向探究方法指导9.含有asinα＋bcosα＝c的三角函数问题的处理策略(1)使用辅助角公式化为a2＋b2sin(α＋φ)＝c的形式，其中cosφ＝aa2＋b2，sinφ＝ba2＋b2；(2)两端平方后使用降幂公式、二倍角的正弦公式把其化为关于2α的关系式；(3)与sin2α＋cos2α＝1联立，求出sinα，cosα.返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形小结：解三角形的主要方法有：①已知两角和一边，可求得第三角，并利用正弦定理把其他两边分别求出；②已知两边及其夹角，可用余弦定理求出第三边，再用正弦定理求较小边所对的角，根据三角形内角和定理确定第三角；③已知两边和其中一边的对角，先用正弦定理和内角和定理求出两角，再利用正弦定理或余弦定理求第三边，要注意多种情形的可能性；④已知三边，只能通过余弦定理先求出两个角，再由内角和定理求得第三角．命题考向探究返回目录命题考向探究变式题已知△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且2(a2＋b2－c2)＝3ab.(1)求sin2A＋B2；(2)若c＝2，求△ABC面积的最大值．第8讲三角恒等变换与解三角形返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题考向探究解：(1)∵a2＋b2－c2＝32ab，∴cosC＝a2＋b2－c22ab＝34.∵A＋B＝π－C，∴sin2A＋B2＝1－cos（A＋B）2＝1＋cosC2＝78.(2)∵a2＋b2－c2＝32ab，且c＝2，∴a2＋b2－4＝32ab.又∵a2＋b2≥2ab，∴32ab≥2ab－4，∴ab≤8.∵cosC＝34，∴sinC＝1－cos2C＝1－342＝74.∴S△ABC＝12absinC≤7，当且仅当a＝b＝22时，△ABC的面积最大，最大值为7.返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形►考向三正(余)弦定理的实际问题考向：两点间距离的测量，物体高度的测量．命题考向探究返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形例3某校运动会开幕式上举行升旗仪式，旗杆正好处在坡度为15°的看台的某一列的正前方，从这一列的第一排和最后一排测得旗杆顶部的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为106m(如图3－8－1所示)，旗杆底部与第一排在一个水平面上．若国歌的播放时间约为50s，升旗手应以________m/s的速度匀速升旗．图3－8－1命题考向探究返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形[解析]如图所示，设旗杆的高度为h，AC＝x，根据图形可得106sin30°＝xsin45°，x＝hsin60°，所以h＝30，因此升旗手应以3050＝0.6(m/s)的速度升旗．命题考向探究[答案]0.6返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形小结：解三角形是测距和测高问题的常见数学模型，通常情况下把实际问题中的长度和角度转化为三角形的边长和内角，进而转化为三角形元素的确定，利用正弦定理和余弦定理进行求解．命题考向探究返回目录命题考向探究变式题风景秀美的凤凰湖畔有四棵高大的银杏树，记作A，B，P，Q，欲测量P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离，但湖岸部分地方围有铁丝网不能靠近，现在可以方便地测得A，B两点间的距离为AB＝100m，如图3－8－2所示，同时也能测量出∠PAB＝75°，∠QAB＝45°，∠PBA＝60°，∠QBA＝90°，则P，Q两棵树和A，P两棵树之间的距离各为多少？图3－8－2第8讲三角恒等变换与解三角形返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形解：如图所示，在△PAB中，∠APB＝180°－(75°＋60°)＝45°，由正弦定理APsin60°＝100sin45°⇒AP＝506m.在△QAB中，∵∠ABQ＝90°，∴AQ＝1002m，∠PAQ＝75°－45°＝30°，由余弦定理得PQ2＝(506)2＋(1002)2－2·506·1002cos30°＝5000，则PQ＝5000＝502m，答：P，Q两棵树之间的距离为502m，A，P两棵树之间的距离为506m.命题考向探究返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题立意追溯——运算求解能力——[正、余弦定理的合理运用]运算的合理性是提高运算能力的核心，运算错误往往是由运算不合理带来的．在运算中由于选择和运用的概念、公式、定理不同，运算往往简繁各异．学会运算并不困难，困难的是怎样进行灵活、简捷的运算，使运算不会走入误区．返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题立意追溯示例△ABC的三个内角A，B，C对应的三条边分别是a，b，c，且满足csinA－3acosC＝0.(1)求角C的大小；(2)若cosA＝277，c＝14，求sinB和b的值．返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题立意追溯解：(1)由csinA－3acosC＝0得sinCsinA－3sinAcosC＝0.∵A为△ABC的内角，∴sinA≠0.∴sinC－3cosC＝0，即tanC＝3，则C＝π3.(2)由cosA＝277得sinA＝217，sinB＝sin(A＋C)＝32114.在△ABC中，由正弦定理bsinB＝csinC得b＝32.返回目录第8讲三角恒等变换与解三角形命题立意追溯小结：本题在选择定理