三角形中的最值问题

三角形中的最值问题题型一。求和的范围型1.△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边长分别为𝑎，𝑏，𝑐.已知𝑎=2√3，𝐴=𝜋3．(Ⅰ)当𝑏=2时，求c；(Ⅱ)求𝑏+𝑐的取值范围．2.△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知(2𝑎+𝑏)sin𝐴+(2𝑏+𝑎)sin𝐵=2𝑐sin𝐶．(Ⅰ)求C的大小；(Ⅱ)若𝑐=√3，求△𝐴𝐵𝐶周长的最大值．3.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别似乎𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎=2，2cos2𝐵+𝐶2+sin𝐴=45．(1)若𝑏=5√33，求角B；(2)求△𝐴𝐵𝐶周长l的最大值．题型二。求积的范围型1.△𝐴𝐵𝐶中，内角𝐴，𝐵，𝐶的对边分别是𝑎，𝑏，𝑐，已知2𝑏cos𝐶=2𝑎−√3𝑐．(1)求∠𝐵的大小；(2)若𝐶𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+𝐶𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=2𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗，且|𝐶𝑀⃗⃗⃗⃗⃗⃗|=1，求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值．2..在三角形ABC中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且𝑎𝑐𝑏2−𝑎2−𝑐2=sin𝐴cos𝐴cos(𝐴+𝐶)．(1)求角A；(2)若𝑎=√2，求bc的取值范围．3.已知△𝐴𝐵𝐶的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，其中𝑐=2𝑏−2𝑎cos𝐶．(1)求A；(2)当𝑎=2时，求△𝐴𝐵𝐶面积的最大值．4.在△𝐴𝐵𝐶中，内角A、B、C的对边长分别为𝑎，𝑏，𝑐，若𝑏2+𝑐2−𝑎2=𝑏𝑐(1)求角A的大小；(2)若𝑎=√3，求BC边上的中线AM的最大值．题型三。求边长的范围型1.△𝐴𝐵𝐶中，三个内角A、B、C所对的边分别为a、b、𝑐，𝑎2+𝑐2=𝑏2+𝑎𝑐，(1)求角B的大小；(2)若𝐴=5𝜋12，𝑏=2，求边c的大小；(3)若𝑎+𝑐=4，求b的最小值．2.已知△𝐴𝐵𝐶的周长为√3+1，且sin𝐵+sin𝐶=√3sin𝐴．(1)求边BC的长；(2)若△𝐴𝐵𝐶的面积为13sin𝐴，求角A的度数．3.在△𝐴𝐵𝐶中，角𝐴，𝐵，𝐶所对的边分别为𝑎，𝑏，𝑐，且满足2√3𝑎𝑏sin𝐶=𝑎2+𝑏2−𝑐2．(1)求C；(2)若𝑎sin𝐵=𝑏cos𝐴，且𝑎=2，求△𝐴𝐵𝐶的面积．数列复习1.设数列{𝑎𝑛}的前n项和为𝑆𝑛，且满足𝑎1=1，2𝑆𝑛=(𝑛+1)𝑎𝑛．(Ⅰ)求{𝑎𝑛}的通项公式；(Ⅱ)设𝑇𝑛=12𝑎1+13𝑎2+⋯+1(𝑛+1)𝑎𝑛，求𝑇𝑛．2.已知数列{𝑎𝑛}满足𝑎1=6，𝑎𝑛+1=4−4𝑎𝑛(𝑛为正整数)．(Ⅰ)求证：数列{𝑎𝑛+2𝑎𝑛−2}为等差数列；(Ⅱ)若𝑏𝑛=𝑎𝑛(2𝑛+1)2，求数列{𝑏𝑛}的前n项和𝑆𝑛．