几何的五大模型

几何问题--五大模型风子编辑概念1、等积变换模型1）等底等高的两个三角形面积相等2）两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比如图1S1：S2=a：b3）夹在一组平行线之间的等积变形，如图2SΔACD=SΔBCD反之，如果SΔACD=SΔBCD，则有直线AB//CDS1S2abABCD图1图2概念2、鸟头定理（共角定理）模型1）两个三角形中有一个角相等或互补，这两个三角形叫做共角三角形2）共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比ABCDEABCDE如图，在ΔABC中，D、E分别是AB、AC上的点，或D是BA延长线上，E在AC上，则有SΔABC：SΔADE=(AB×AC)：(AD×AE)思考：怎样用等积变换模型来证明这个模型ABCDE概念3、蝴蝶定理模型（任意四边形中的比例关系）1）不规则四边形S1S2S4S3OABCDabS1：S2=S4：S3AO：OC=(S1+S2)：(S3+S4)1）梯形S1S2S4S3OABCDabS1：S3=a2：b2S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：abS梯形的对应份数为（a+b）2概念4、相似模型ABCDE金字塔模型沙漏模型FGEFDABGC1）相似三角形线段关系AD:AB=AE:AC=DE:BC=AF:AG2）相似三角形面积关系SΔADE：SΔABC=AF2：AG2概念：ABCGDEFSΔABG：SΔACG=SΔBGE：SΔCGE=BE:CESΔBGA：SΔBGC=SΔGAF：SΔGCF=AF:CFSΔAGC：SΔBGC=SΔAGD：SΔBGD=AD:BD5、燕尾定理模型1）翅膀之比等于尾巴之比2）翅膀面积之和：尾巴面积=翅骨：尾骨（SΔABG+SΔACG）：SΔBGC=AG:GE3）1BDADAFCFCEBE例题：等积变换例题1：一个长方形分成4个不同的三角形，绿色三角形面积占长方形面积的15%，黄色三角形面积是21cm2。问：长方形的面积是多少平方厘米？红黄绿红分析：SΔ黄+SΔ绿=S长方形÷2（=宽×长÷2）黄色三角形面积21cm2，占长方形面积比例50%-15%=35%因此，长方形面积=21÷35%=60cm2例题：等积变换例题2：图中ABCD是个直角梯形，以AD为一边向外作长方形ADEF，其面积为6.36平方厘米，连接BE交AD于P，再连接PC，则图中阴影部分的面积是多少平方厘米？ABCDEFP分析：1、连接AE、BD，作两条平行线2、PD//BC，根据等积变换模型SΔPBD=SΔPCDAB//ED,根据等积变换模型SΔAEP=SΔPDB3、根据如此等积变换，阴影部分面积与三角形ADE相等，即：S阴影=SADEF÷2=3.18思考：几何问题经常要用到添加辅助线，这比较关键。例题：一半模型例题3：如图ABFE和CDEF都是矩形，AB的长是4厘米，BC的长是3厘米，那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米。ABCDEF分析：阴影部分是一个个三角形，矩形CDEF中阴影部分的三角形底边长度为矩形的长，高与矩形宽相等，根据面积公式可知S阴影=SEDCF÷2思考：一半模型是什么意思？例题：燕尾定理模型例题4：如图E在AD上，AD⊥BC，AD=12cm，DE=3cm，求SΔABC是SΔEBC的几倍？EABCD分析：翅膀尾巴根据燕尾定理模型，S翅膀：S尾巴=AE:EDSΔABC=S翅膀+S尾巴SΔEBC=S尾巴SΔEBC÷SΔEBC=12÷3=4例题5：如图，A、B、C都是正方形边的中点，ΔCOD比ΔAOB大15平方厘米的面积，ΔAOB的面积是多少平方厘米。AEBDCOΔABD的高是ΔCBD的一半，而底边相同SΔCOD-SΔAOB=SΔCBD-SΔABD=SΔABD=15cm2SΔAOB=SΔABD÷2=7.5cm2分析：例题：等积变换模型例题4：图中的E、F、G分别是正方形ABCD三条边的三等分点，如果正方形的边长是12，那么阴影部分的面积是多少？ABCDEFGH分析：从图可知，存在等积等高，那试试等积变换模型651234正方形的各条边边长相等，都为12，E、F、G为三等分点，想想？可采用什么模型怎么变换呢？先画几条符合该模型的辅助线想想？ΔHBE与ΔHAB、ΔHBF与ΔHBC、ΔHDG与ΔHCD之间的比例关系都存在1:3的关系所以：S阴影是S正的三分之一，即S阴影=12×12÷3=48例题：鸟头（共角）模型例题4：如图，已知三角形ABC面积为1，延长至D，使BD=AB，延长BC至E，使CE=2BC，延长至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积ABCDEF分析：1、想想？∠ACB与∠FCE、∠CAB与∠FAD、∠ABC与∠DBC是什么关系2、互补。在共角模型中，共角三角形的面积比等于对应交（相等或互补角）两夹边的乘积之比3、SΔABC：SΔFCE=BC×CA：CE×AFSΔFCE=8SΔABC=8同理可知：SΔFAD=6，SΔDBE=3所以：SΔFDE=18思考？共角模型可以用等积变换模型推导出来，请用等积变换模型试试关键点：添加辅助线例题：梯形蝴蝶定理模型例题4：如图，面积为12平方厘米的正方形ABCD中，E、F是DC边上的三等分点，求阴影部分的面积。ADBCOEFS1S2S4S31、看下图形，回忆下梯形蝴蝶定理模型分析：2、S2=S4，S1：S3=a2：b2S1：S3：S2：S4=S3=a2：b2：ab：abab3、蝴蝶定理模型，把梯形肢解模块化，我们可以假设最小的三角形面积为1份。想想？其它各部分所占的份数4、∵a：b=3:1，∴S2=S4=3份，S1=9份5、想想？正方形ABCD中，还有哪些没有包块进去，及与份数之间的关系6、SΔADE=S2+S3，SΔBCF=S4+S3想想？为什么，用了什么模型7、∴正方形ABCD被分成了24份S阴影=S2+S4=6÷24×12=3cm2例题：相似模型例题4：如图，长方形ABCD中，E为AD的中点，AF与BE、BD分别交于G、H，OE垂直AD于E，交AF于O，已知AH=5cm，HF=3cm，求AGABCDEOGHF分析：1、根据题目意思，是要找到线段间的关系，而图形中存在著多的相似三角形2、我们先来看看图中与AG、AH、HF相关的相似图形3、共找到三对相关的相似图形AB:FD=AH:HF=5：3OE:FD=1：2∴AB：OE=10：3∵AO=AF/2=4cm∴AG=4×10÷13=40/13（cm）例题：例题4：正六边形A1A2A3A4A5A6的面积是2009平方厘米，B1B2B3B4B5B6分别是正六边形个边的中点，那么图中阴影六边形的面积是多少平方厘米。A1A2A3A4A5A6B1B2B3B6B5B6O分析：1、阴影部分的面积等于正六边形A1A2A3A4A5A6面积减去空白部分面积2、找规律，空白部分由6个ΔA2OA3组成