轮换对称式与多项式(初中竞赛)

初三数学竞赛系列讲座海南省嘉积中学海桂学校刘红军一.定义在含有多个变量的代数式f(x,y,z)中，如果变量x,y,z任意交换两个后，代数式的值不变，则称这个代数式为绝对对称式，简称对称式.例如：代数式x+y，xy，x3+y3+z3－3xyz,x5+y5+xy,都是对称式.yx11其中x+y和xy叫做含两个变量的基本对称式.如果把一个多项式的每两个字母依次互换后，多项式不变，这种多项式叫对称多项式。如是一个二元对称式．222()2abaabb(x-1)(y-1)=xy-(x+y)+1(x+1)(y+1)=xy+(x+y)+1例题求方程x+y=xy的整数解。解：∵x+y=xy∴(x-1)(y-1)=1.解之，得x-1=1,y-1=1;或x-1=-1,y-1=-1.∴x=2y=2或x=0y=0分析这是一道求不定方程解的题目，当然x与y交换位置后，原等式不变，可考虑移项分解因式。关于x、y、z三个变量的多项式，如果对式子中变量按某种次序轮换后（例如把x换成y,把y换成z,把z换成x），所得的式子仍和原式相同，则称这个多项式是关于x、y、z的轮换对称式.简称轮换式.例如：代数式a2(b－c)+b2(c－a)+c2(a－b),2x2y+2y2z+2z2x,,（xy+yz+zx），.都是轮换式.abccba1111111()xyz222222222111bacacbcba显然，对称式一定是轮换式,而轮换式不一定是对称式.二.性质1、含两个变量x和y的对称式，一定可用相同变量的基本对称式来表示.２、对称式中，如果含有某种形式的一式，则必含有该式由两个变量交换后的一切同型式，且系数相等.例如：在含x,y,z的二次对称多项式中，如果含有x2项，则必同时有y2,z2两项；如含有xy项，则必同时有yz,zx两项，且它们的系数，都分别相等.故可以表示为：m(x2+y2+z2)+n(xy+yz+zx)其中m,n是常数.３、轮换式中，如果含有某种形式的一式，则一定含有该式由变量字母循环变换后所得的一切同型式，且系数相等.例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b这一项,必有同型式b－c和c－a两项.例如：轮换式a3(b－c)+b3(c－a)+c3(a－b)中，有因式a－b这一项,必有同型式b－c和c－a两项.例如：轮换式分解因式：a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)＝－(a－b)(b－c)(c－a)∵xy+yz+zx和都是轮换式，∴＋xy+yz+z，（）（xy+yz+z）.也都是轮换式。zyx111zyx111zyx111４、两个对称式（轮换式）的和，差，积，商（除式不为零），仍然是对称式（轮换式）.例如：∵x+y,xy都是对称式∴x+y＋xy，（x+y）xy，等也都是对称式.xyyx又如：例题１：已知：a+b+c=0,abc≠0.求代数式的值222222222111bacacbcba分析：这是含a,b,c的轮换式，化简第一个分式后，其余的两个分式，可直接写出它的同型式.解：∵＝＝∴＝＝－－－＝－＝0.2221cba222)(1babaab21222222222111bacacbcbaab21bc21ca21abcbac2三：例题精讲已知：S＝（a+b+c）.求证：＝3S（S－a）(S－b)(S－c).2116)(416)(416)(4222222222222222bacacacbcbcbaba练习1:例２若abc=1，求证:1111ccacbbcbaaba111ccacbbcbaabacacabcac1ccacabcbbcb1ccacacac111ccac11ccacca证明：∵abc=1∴=+=+==1于是命题得证。评注：“1”的代换是恒等变形中常用的技巧。例３已知x=by+cz，y=cz+ax，z=ax+by，且x+y+z≠0.证明：1111ccbbaa(3)(2)(1)byaxzaxczyczbyxxzyxaxxzya212则zyxxzyaa1证明：解方程组(2)+(3)-(1)得y+z-x=2ax，所以所以zyxyzxbb1zyxzyxcc11111zyxzyxccbbaa同理可得，，所以评注：本题具有轮换对称式的特征，所以只需对其中一个式子化简，就可以得出相同规律.cbacba1111nnnnnncbacba1111例４设(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；(2)对任何奇数n，有分析：要求a、b、c三数中必有两个数之和为零，即要证(a+b)(b+c)(c+a)=0，故可对已知条件进行变形，使它出现(a+b)、(b+c)、(c+a)这些因式。，证明cbacba1111()即0bccaababcabcabcabc证明：(1)由得从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，则(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=011110，abcabc∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abccbacba1111例４设(1)a、b、c三数中必有两个数之和为零；，证明cbacba1111即0bccaababcabcabcabc证明：(1)由得从已知知a、b、c≠0，所以abc≠0，且a+b+c≠0，则(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=011110，abcabc∵(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=a(bc+ca+ab)+(b+c)(bc+ca+ab)–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+abc+a2c+a2b–abc=(b+c)(bc+ca+ab)+a2(b+c)=(b+c)(a2+bc+ca+ab)∴(a+b)(b+c)(c+a)=0，这就是说，在a+b、b+c、c+a中至少有一个为零，即a、b、c三数中必有两个数之和为零。=(a+b)(b+c)(c+a)nnnnnnnccaacba1111111nnnnnnnccaacba111nnnnnncbacba1111证明(2):由(1)得，不妨设a+b=0，即b=-a，因为n为奇数∴又∴评注：实质(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc是关于a、b、c的一个轮换对称式。令a=-b，代入得(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(bc-bc-b2)(-b+b+c)-(-b)bc=-b2c+b2c=0，这就是说a+b是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，由轮换对称式的性质知，b+c、a+c也是(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc的一个因式，因此有(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=k(a+b)(b+c)(c+a)再令a=b=c=1代入，求出k=1，所以(bc+ca+ab)(a+b+c)-abc=(a+b)(b+c)(c+a)例４，证明(2)对任何奇数n，有nnnnnncbacba1111cbacba1111222例5求证：()()()()()()abcbcacababbcac例如：轮换式a２(b－c)+b２(c－a)+c２(a－b)中，有因式a－b这一项,必有同型式b－c和c－a两项.例６若a+b+c=0，求222222222abcabcbaccab222()abcabcabc2()()aacabbcabac的值分析：本题是轮换对称式，所以不宜直接通分，只需对其中一个分式化简，就可以得出相同规律.解：∵a+b+c=0，∴a＝－b－c，22同理：2()(),2()();bacbabccabcacb222原式+()()()()()()abcabacbabccacb222()()()()()()abcbcacababbcca()()()1()()()abbccaabbcca例７.已知x、y、z满足关系式求证：1yxzxzyzyx0222yxzxzyzyxxyxxzxzxyzyx2yyxyzxzyzyxy2zyxzxzyzzyxz2zyxyxyzyxxzxzyzxzxyzyxzzyxyyxzxzyzyx)()()(222zyxzyxyxzxzyzyx2220222yxzxzyzyx证明：将已知等式分别乘以x、y、z得①②③所以即：由①+②+③得例８已知a+b+c=a2+b2+c2=2，求证：a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2评注：本题的证明采用了构造法，它构造了三次式(x-a)(x-b)(x-c)，然后建立它与x(1-x)2之间的关系，再通过赋值来证明。分析：求证的等式中的各式，恰好是多项式x(1-x)2中的x分别取a、b、c时的值。因此，本题可转化为证明当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值不变。由于x(1-x)2是关于x的三次多项式，且注意到题设条件，所以我们构造三次式(x-a)(x-b)(x-c)，建立它与x(1-x)2之间的某种关系。证明：∵(a+b+c)2=a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca又∵a+b+c=a2+b2+c2=2∴4=2+2ab+2bc+2ca，∴ab+bc+ca=1∴(x-a)(x-b)(x-c)=x3-(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x-abc=x3-2x2+x-abc即x(1-x)2=(x-a)(x-b)(x-c)+abc由此可见，当x分别取a、b、c时，x(1-x)2的值都是abc∴a(1-a)2=b(1-b)2=c(1-c)2１、已知a+b+c=10，，，则abc的值是()A、24B、30C、36D、42３、已知abc≠0，a+b+c=0，则的值为22238abc211111b1abacacbc４、设a、b、c都是正数，且，3abcbca求证：a=b=c333160abc2、若abc满足a2+b2+c2=9，则代数式(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2的最大值是()A、27B、18C、15D、12５、已知a、b、c、d满足a+b=c+d，a3+b3=c3+d3,求证：a2005+b2005=c2005+d2005６、已知a+b+c=abc，求证：a(1-b2)(1-c2)+b(1-a2)(1-c2)+c(1-a2)(1-b2)=4abc2227.已知abcxyzyzxzxy求证：ax+by+cz=(x+y+z)(a+b+c)８、已知22111,abba22ab求证：=1