运筹学第四章作业的参考答案

1第四章作业的参考答案151P5、判断下列函数是否为凸函数.（3）31322123222126293)(xxxxxxxxxxf解：)(xf的Hesse矩阵为1862662222)(2xf.)(2xf的各阶主子式分别为.01862662224,07218666,03418222,086222,018,06,02因而)(2xf为半正定矩阵，所以)(xf是凸函数。152P9、用0.618法求以下问题的近似解5060212)(min230ttttt已知函数的单谷区间]5.3,5.0[,要求最后区间精度8.0。解：迭代过程用下表给出：注：在获得Hesse矩阵时，要特别注意对角线上的元素。20123a0.51.6461.6461.6461t1.6462.3542.0842t2.3542.7922.3542.084b3.53.52.7922.354?ab否否否是210.961-0.783-2.6520.961-0.961-1.938-换a换b换a换b换b第三轮迭代开始时有8.0708.0646.1354.2ab。所以近似最优解为084.2*t。152P14、求以下无约束非线性规划问题的最优解.（1）2122122211620)(2)(minxxxxxxxf解：化简目标函数，得.1620223)(21212221xxxxxxxf所以，)(xf的Hesse矩阵为4226)(2xf.因为)(2xf是正定矩阵，所以)(xf是凸函数。另一方面，目标函数的梯度向量为.)1624,2026()(1221Txxxxxf令0)(xf，即01624020261221xxxx，求得目标函数的驻点为Tx)514,512(*.所以，原问题的最优解为Tx)514,512(*.注：对无约束的最优化问题，若目标函数是凸函数，则它的驻点就是它最优解。3152P16、求最速下降法求解以下问题，要求迭代进行三轮。（1）22212131minxx，取初始点.)2,3(0Tx解：由题意知.),32(),()(2121TTxxxfxfxf第一轮迭代：Txfp)2,2()(00。则Ttttpx)22,23(00。所以2200)22(21)23(31)(tttpxf。令0)22(2)23(34)(00tttpxfdtd，解得560t。所以，Tptxx)52,53(0001。第二轮迭代：Txfp)52,52()(11。则Ttttpx)522,523(11。所以2211)522(21)523(31)(tttpxf。令0)522(2)523(34)(11tttpxfdtd，解得561t。所以，Tptxx)252,253(1112。第三轮迭代：Txfp)252,252()(22。则Ttttpx)2522,2523(22。所以42222)2522(21)2523(31)(tttpxf。令0)2522(2)2523(34)(22tttpxfdtd，解得562t。所以，Tptxx)1252,1253(2223。153P23（1）、写出下列问题的K-T条件，并求出它们的K-T点.0,004205..)2()3(min212122212221xxxxxxtsxx解：将问题（1）变形为0420005..)2()3(min212122212221xxxxxxtsxx所以，其Lagrange函数为)42()()()5()2()3(),,(212312222112221xxxxxxxxxL所以有211112)3(2xxxL22)2(232122xxxL因此，问题（1）的K-T条件是注：先把问题化成要求的形式。即，把目标函数化成求最小值的形式，把所有不等式（包括非负约束）化成小于等于零的形式，把所有等式化成等于零的形式。50,,0)(0)(0)5(022)2(202)3(232123122221132122111xxxxxxxx作为K-T点还应满足可行性条件0,00420521212221xxxxxx利用互补松紧条件进行讨论（I）若01，则由互补松紧条件知052221xx再加上可行性条件中的一个方程04221xx以及0,021xx，可解得1,221xx。再由互补松紧条件知032。将这些值代入K-T条件的前两个方程有022)21(204)32(211解得32,311.经检验，32,)0,0,31(,)1,2(***TTx均满足（1）的K-T条件和可行性条件，因而Tx)1,2(*为其K-T点.（II）若,0,021则由互补松紧条件知,01x由可行性条件知22x。再由互补松紧条件知03。将这些值代入K-T条件的前两个方程有00)30(22解得.6,02与02矛盾。（III）若,0,0,0321则由互补松紧条件知,02x由可行性条件知41x。与052221xx矛盾。注：K-T点应满足可行性条件。求解时，利用互补松紧条件进行分类讨论。注：不等式约束函数的Lagrange乘子要大于等于零，而等式约束函数的Lagrange乘子为自由变量。每个不等式约束函数对应一个互补松紧条件，而等式约束函数则没有。6（IV）若,0,0,0321将这些值代入K-T条件的前两个方程有02)2(20)3(221xx再加上可行性条件中的一个方程04221xx可解得.56,54,51221xx与052221xx矛盾。综上分析，问题（1）只有一个K-T点Tx)1,2(*。注：若是寻找问题的K-T点，则需要将所有可能的分类都进行讨论；若是求问题的最优解，则找到第一个K-T点时就可以结束了。