(江苏专用)2016高考数学二轮专题复习 第二部分 考前增分指导二模板6 数列问题课件 理

模板6数列问题【例6】(满分16分)已知数列{bn}满足Sn＋bn＝n＋132，其中Sn为数列{bn}的前n项和.(1)求证{bn－12}是等比数例，并求数列{bn}的通项公式；(2)如果对任意n∈N*，不等式12k12＋n－2Sn≥2n－7恒成立，求实数k的取值范围.[规范解答](1)证明当n＝1时，2b1＝7，b1＝72.Ⅰ2′当n≥2时，Sn＋bn＝n＋132，①Sn－1＋bn－1＝（n－1）＋132，②①－②得2bn－bn－1＝12，所以bn－12＝12bn－1－12，所以数列bn－12是首项为b1－12＝3，公比为12的等比数列，Ⅱ6′所以bn－12＝b1－12·112n＝3·112n，即bn＝3·112n＋12.Ⅲ7′(2)解由题意及(1)得Sn＝n＋132－bn＝n＋132－3112n－12＝n＋122－3112nⅣ10′不等式12k12＋n－2Sn≥2n－7，化简得k≥2n－72n，对任意n∈N*恒成立．设cn＝2n－72n，则cn＋1－cn＝2n－52n＋1－2n－72n＝－2n＋92n＋1.当n≥5时，cn＋1≤cn，cn为单调递减数列，当1≤n＜5时，cn＋1＞cn，cn为单调递增数列，116＝c4＜c5＝332，所以n＝5时，cn取得最大值332，所以，要使k≥2n－72n对任意n∈N*恒成立，k≥332.Ⅴ16′[解题模板]Ⅰ求首项令n＝1，即可求出b1；Ⅱ转化为等比数列将b1＝72，bn＝12bn－1＋14类型的问题转化为等比数列求解；Ⅲ求通项公式根据等比数列通项公式求bn－12，进而求bn；Ⅳ求前n项和由已知可用bn表示Sn，即Sn＝n＋132－bn；Ⅴ转化并证明分离字母，并判断数列{cn}的增减性求数列{cn}中的最大项.【训练6】设各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，满足4Sn＝a2n＋1－4n－1，n∈N*，且a2，a5，a14构成等比数列.(1)证明：a2＝4a1＋5；(2)求数列{an}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＜12.(1)证明因为an＞0，令n＝1，有4S1＝a22－4－1，即4a1＝a22－5，所以a2＝4a1＋5.(2)解4Sn＝a2n＋1－4n－1，当n≥2时，4Sn－1＝a2n－4(n－1)－1，两式相减得4an＝a2n＋1－a2n－4，整理得a2n＋1＝(an＋2)2，即an＋1＝an＋2.所以{an}从第2项起，是公差为2的等差数列.所以a5＝a2＋3×2＝a2＋6，a14＝a2＋12×2＝a2＋24，又a2，a5，a14构成等比数列，有a25＝a2·a14，则(a2＋6)2＝a2(a2＋24)，解得a2＝3.由(1)知a1＝1，又an＋1＝an＋2(n≥2)，所以数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，即an＝1＋(n－1)×2＝2n－1.(3)证明由(2)得1a1a2＋1a2a3＋…＋1anan＋1＝11×3＋13×5＋…＋1（2n－1）（2n＋1）＝121－13＋13－15＋…＋12n－1－12n＋1＝121－12n＋1＜12.