连续信号的复频域分析

·96·第4章连续信号的复频域分析【内容提要】若信号因不满足绝对可积条件而难以求其傅里叶变换，则无法对此类信号进行频域分析，如2()e()tftut。本章引入复频率js，以复指数信号est为基本信号，将任意信号分解为不同复频率的复指数分量之和，并以此对信号进行分析。这里用于信号分析的独立变量是复频率s，故称之为复频域分析或s域分析，所采用的数学工具为拉普拉斯变换。本章主要介绍拉普拉斯变换的定义和收敛域、拉普拉斯变换的性质以及拉普拉斯逆变换的求解方法。读者应重点掌握拉普拉斯变换的定义和性质，并熟练掌握利用部分分式展开法求解拉普拉斯逆变换的方法。【重点难点】★拉普拉斯变换的定义和收敛域★拉普拉斯变换的性质★部分分式展开法求拉普拉斯逆变换4.1拉普拉斯变换4.1.1双边拉普拉斯变换某些信号求解傅里叶变换困难的原因是：当t→∞时，信号的幅度不衰减，甚至增长，即信号不满足绝对可积条件。为此，可用一衰减因子et（为实常数）乘以此类信号()ft，如果适当选取的值，有可能使乘积信号()etft当t→∞时幅度趋近于0，即满足绝对可积条件，从而使信号()etft的傅里叶变换容易求得。由式（3.3-2）可知信号()etft的傅里叶变换b(j)F为：j(j)b(j)()eed()edtttFfttftt∞∞∞∞由式（3.3-4）可知b(j)F的傅里叶逆变换为：jb1()e(j)ed2ttftF∞∞将上式两边同乘以et，有：(j)b1()(j)ed2tftF∞∞令js，则有：b()()edstFsftt∞∞（4.1-1）jbj1()()ed2jstftFss∞∞（4.1-2）上述两式称为双边拉普拉斯变换对。其中，b()Fs称为f(t)的双边拉普拉斯变换或象函数，f(t)称为b()Fs的双边拉普拉斯逆变换或原函数。·97·也可简记为：b()[()]FsftL1b()[()]ftFsL或：b()()ftFs由上述求解双边拉普拉斯变换的过程可知，只有选择适当的值才能使信号()etft当t→∞时幅度趋近于0，即满足绝对可积条件，从而使其双边拉普拉斯变换存在。因此，规定使信号()ft的双边拉普拉斯变换存在的的取值范围称为双边拉普拉斯变换b()Fs的收敛域，简记为ROC（RegionofConvergence）。下面举例说明b()Fs的收敛域问题。例4.1-1求因果信号1()e()tftut的双边拉普拉斯变换。解：由式（4.1-1）得：()1b00()je()e()edeed()1Re[]11lim[ee]Re[]()Re[]sttsttsttttFsutttssssss，不定，无界，∞∞∞∞→∞可见，对于因果信号，仅当Re[]s时积分收敛（称为收敛坐标），其双边拉普拉斯变换存在。即因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域为s平面上Re[]s的区域，如图4.1-1（a）阴影部分所示。图4.1-1双边拉普拉斯变换的收敛域例4.1-2求反因果信号2()e()tftut的双边拉普拉斯变换。解：由式（4.1-1）得：0()02b()je()e()edeed()Re[]1Re[]1lim[ee]()1Re[]()sttsttsttttFsutttssssss无界，不定，，∞∞∞∞→∞可见，对于反因果信号，仅当Re[]s时积分收敛（称为收敛坐标），其双边拉普拉斯变换存在。即反因果信号双边拉普拉斯变换的收敛域为s平面上Re[]s的区域，如图4.1-1（b）阴影部分所示。例4.1-3求双边信号312()()()e()e()ttftftftutut的双边拉普拉斯变换。解：由式（4.1-1）得：·98·0()()03b300()j()jee()()edeedeed()()111lim[ee]1lim[ee]()()stststtsttstttttttFsfttttssss∞∞∞∞∞∞→∞→∞由例4.1-1和4.1-2可知：当≤时，1b()Fs和2b()Fs没有共同的收敛域，因此3b()Fs不存在。当时，其收敛域为Re[]s的一个带状区域（、称为收敛坐标），如图4.1-1（c）阴影部分所示。此时，其双边拉普拉斯变换为：3b1b2b11()()()FsFsFsss例4.1-4求下列信号的双边拉普拉斯变换。1）321()e()e()ttftutut2）322()e()e()ttftutut3）323()e()e()ttftutut解：由于前面已经求过该类信号的双边拉普拉斯变换，故可利用前述例题的结论求解以简化求解过程。1）由式（4.1-1）得：32321b11()[e()e()]ede()ede()ed32ttsttsttstFsututtuttuttss∞∞∞∞∞∞由于因果信号1()ft由两部分信号求和而成，故其双边拉普拉斯变换的收敛域应为此两个象函数收敛域的交集，即Re[]2s。2）由式（4.1-1）得：322b32()[e()e()]ed11e()ede()ed32ttsttsttstFsututtuttuttss∞∞∞∞∞∞由于反因果信号2()ft由两部分信号求和而成，故其双边拉普拉斯变换的收敛域应为此两个象函数收敛域的交集，即Re[]3s。3）由式（4.1-1）得：32323b11()[e()e()]ede()ede()ed32ttsttsttstFsututtuttuttss∞∞∞∞∞∞由于双边信号3()ft由两部分信号求和而成，故其双边拉普拉斯变换的收敛域应为此两个象函数收敛域的交集，即3Re[]2s。由例4.1-4可见，三个原函数拥有一个相同的象函数！仔细观察，能够发现其收敛域不同。由此可见，双边拉普拉斯变换的象函数与收敛域一起与原函数才是一一对应的关系。因此，不同的信号如果有相同的象函数，则它们的收敛域必然不同；不同的信号如果有相同的收敛域，则它们的象函数必然不同。所以，双边拉普拉斯变换必须标出收敛域。4.1.2单边拉普拉斯变换通常遇到的信号是单边信号，即都是有初始时刻的信号。如果设其初始时刻为0t，则对于此类信号f(t)有：(),0()()()0,0fttftftutt≥（4.1-3）·99·对于式（4.1-3）所示信号，由式（4.1-1）和式（4.1-2）有：0()()()ed()edststFsftuttftt∞∞∞（4.1-4）jj1()()ed()2jstftFssut∞∞（4.1-5）上述两式称为单边拉普拉斯变换对，简称拉普拉斯变换对，本书主要讨论单边拉普拉斯变换，在后续内容中若没有特别说明，均指单边拉普拉斯变换。其中，()Fs称为f(t)的单边拉普拉斯变换或象函数，f(t)称为()Fs的单边拉普拉斯逆变换或原函数。也可简记为：()[()]FsftL1()[()]ftFsL或()()ftFs需要特别注意的是：①式（4.1-4）积分下限取0-是考虑到信号f(t)中可能包含冲激函数及其各阶导数，今后未注明的t=0，均指0-；②因单边拉普拉斯变换的积分区间是由0到∞，故信号f(t)u(t)与f(t)的单边拉普拉斯变换相同，简便起见，时间函数中的u(t)常省略不写；③单边拉普拉斯变换只适用于研究因果信号。为了保证单边拉普拉斯变换存在，有如下定理：若因果信号f(t)满足：（1）在有限区间atb（0ab∞≤）内可积；（2）对于某个0有0lim|()|e0,ttft→∞。则对于0Re[]s，拉普拉斯积分式，即式（4.1-4）绝对且一致收敛。条件（1）说明f(t)可以包含有限个间断点，只要求它在有限区间内可积，即f(t)曲线下面的面积为有限值。条件（2）说明f(t)可以是随t增大而增大的，即f(t)可以是自变量t的递增函数，只是要求它比某些指数函数增长得慢即可。定理表明，满足条件（1）和（2）的因果信号f(t)存在拉普拉斯变换，其收敛域为s平面上收敛坐标0的右半平面，即0Re[]s，而且积分是一致收敛的，因而多重积分可以改变积分顺序，微分、积分也可以交换次序。由式（4.1-1）和式（4.1-4）可知：①对于因果信号f(t)，若其拉普拉斯变换存在，则双边拉普拉斯变换和单边拉普拉斯变换具有相同的表达式：b0()()ed()ed()ststFsfttfttFs∞∞∞，且收敛域相同，均为s平面上收敛坐标01的右半平面：01Re[]s；②对于反因果信号f(t)，若其双边拉普拉斯变换Fb(s)存在，则其收敛域为s平面上收敛坐标02的左半平面：02Re[]s。任何反因果信号的单边拉普拉斯变换均为0，没有研究意义；③对于双边信号f(t)，若其单、双边拉普拉斯变换均存在，则单、双边拉普拉斯变换表达式不相同：Fb(s)≠F(s)，收敛域也不同。双边拉普拉斯变换的收敛域为s平面上两收敛坐标0102,（0102）所包围的带状区域：0102Re[]s，单边拉普拉斯变换的收敛域为s平面上收敛坐标01的右半平面：01Re[]s。存在双边拉普拉斯变换的双边信号一定存在单边拉普拉·100·斯变换，但存在单边拉普拉斯变换的双边信号不一定存在双边拉普拉斯变换；④单边拉普拉斯变换的收敛域只是双边拉普拉斯变换收敛域的一种特殊情况，而且单边拉普拉斯变换的象函数F(s)与原函数f(t)总是一对一的变换，故在以后各节的讨论中，经常不标注单边拉普拉斯变换的收敛域。由以上讨论可知，与傅里叶变换相比，拉普拉斯变换对信号f(t)的限制要宽松的多。单边拉普拉斯变换的象函数F(s)是复变函数，它存在于s平面上收敛坐标的右半平面内，而傅里叶变换F(j)仅是F(s)收敛域中虚轴（s=j）上的函数。因此，在信号的复频域分析中就能用复变函数理论研究线性系统问题，从而扩大了人们的“视野”，使过去不易解决或不能解决的问题得到较为满意的结果。作为本节的总结，表4.1-1列出了常用信号的拉普拉斯变换对。表4.1-1常用信号的拉普拉斯变换对f(t)F(s)f(t)F(s)f(t)F(s)()t1()ntut1!nnssh()()tut22s()ut1se()tntut1!()nnsch()()tut22sse()tut1s0cos()()tut220ss()Tt11esT0sin()()tut0220s练习题4.1-1求下列信号的单边拉普拉斯变换。1）21()e[()(2)]tftutut2）2()()(2)fttt4.1-2求下列信号的双边拉普拉斯变换，并注明收敛域。1）2||1()||etftt2）2||2()etftt4.2拉普拉斯变换的性质本节介绍拉普拉斯变换的相关性质，利用常用信号的拉普拉斯变换对和拉普拉斯变换的性质，可以简化拉普拉斯变换及其逆变换的求解过程。读者在学习本节内容时，应与傅里叶变换的性质进行对比，从而加深对两类变换性质的理解。4.2.1线性性质若：111()(),Re[]ftFss222()(),Re[]ftFss则对任意常数a和b，有：121212()()()(),Re[]m