角的概念的推广PPT

§2角的概念的推广1.角的概念平面内一条_____绕着_____从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形.射线端点终边始边顶点2.角的分类(1)任意角:逆时针顺时针不作任何(2)象限角:①前提条件:(ⅰ)角的顶点与_____重合.(ⅱ)角的始边与____的非负半轴重合.原点x轴②分类:(ⅰ)象限角:角的终边(除端点外)在第几象限,就是___________.(ⅱ)终边落在坐标轴上的角.第几象限角3.终边相同的角的表示所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合S={β|β=_________________},即任何一个与角α终边相同的角,都可以表示成角α与周角的_______的和.α+k·360°,k∈Z整数倍【点拨】(1)角的概念的四个关注点①三个要素:顶点、始边、终边.②运动观点下的定义:抓住“旋转”两个字,它有正负之分,与初中学习的静止观点下的角是有区别的.③角的大小:不仅与旋转的大小有关,还与旋转的方向有关,正角大于负角.④角的加减法运算:角的范围推广到任意角后,类似于实数的加减法运算.(2)角定义的前提条件①研究象限角、终边相同的角时,必须注意前提条件:角的顶点与坐标原点重合,始边与x轴的非负半轴重合.②如果角的顶点不与坐标原点重合,或者角的始边不与x轴的非负半轴重合,则没有象限角、终边相同的角的概念.(3)象限角的集合表示象限角集合表示第一象限角{α|k·360°α90°+k·360°,k∈Z}第二象限角{α|90°+k·360°α180°+k·360°,k∈Z}第三象限角{α|180°+k·360°α270°+k·360°,k∈Z}第四象限角{α|270°+k·360°α360°+k·360°,k∈Z}提醒:在运用α+k·360°,k∈Z时需注意以下两点:(1)k是整数,这个条件不能漏掉.(2)α是任意角.【自我检测】1.下列说法错误的是()A.按逆时针方向旋转所成的角是正角B.按顺时针方向旋转所成的角是负角C.没有作任何旋转所成的角是零角D.终边和始边相同的角是零角【解析】选D.选项A,B,C分别是正角、负角、零角的概念;若射线旋转后,终边与始边重合所形成的角不是零角.2.-1448°是()A.第一象限的角B.第二象限的角C.第三象限的角D.第四象限的角【解析】选D.-1448°=-4×360°-8°,所以-1448°是第四象限的角.3.给出下列四种说法,其中正确的有()①-75°是第四象限角;②225°是第三象限角;③475°是第二象限角;④-315°是第一象限角.A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】选D.因为-90°-75°0°,180°225°270°,360°+90°475°360°+180°,-360°-315°-270°,所以①②③④都是正确的.4.角α=k·180°(k∈Z)的终边在()A.直线x=0上B.直线y=0上C.直线y=x上D.直线y=-x上【解析】选B.令k=-3,-2,-1,0,1,2,3,…可以验证角α=k·180°(k∈Z)的终边在直线y=0上.类型一角的概念的推广【典例】1.时钟的时针走过了1小时20分钟,则分针转过的角为.2.射线OA绕端点O顺时针旋转80°到OB位置,接着逆时针旋转250°到OC位置,然后再顺时针旋转270°到OD位置,则∠AOD=.世纪金榜导学号70034003【审题路线图】1.确定所求的角是正角还是负角⇒确定分针,时针所转过的角度⇒确定所求角.2.固定OA⇒根据方向画出OB,OC,OD⇒确定所求角.【解析】1.时针走过了1小时20分钟,则分针转了圈,又因为按顺时针方向旋转的角为负角,所以分针转过的角为-×360°=-480°.答案:-480°43432.如图∠AOD=∠AOB+∠BOC+∠COD=(-80°)+250°+(-270°)=-100°.答案:-100°【延伸探究】本例1中时针转过了多少度?【解析】时针1小时旋转-30°,20分钟旋转-10°,共旋转-40°.【方法技巧】1.理解角的概念的三个“明确”2.表示角时的两个注意点(1)字母表示时:可以用希腊字母α,β等表示,“角α”或“∠α”可以简化为“α”.(2)用图示表示角时:箭头不可以丢掉,因为箭头代表了旋转的方向,也即箭头代表着角的正负.【变式训练】写出下图中的角α,β,γ的度数.【解析】要正确识图,确定好旋转的方向和旋转的大小.由角的概念可知α=330°,β=-150°,γ=570°.类型二终边相同的角【典例】在0°～360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判定它们是第几象限角.世纪金榜导学号70034004(1)-150°.(2)650°.(3)-950°15′.【审题路线图】终边相同的角的关系:β=α+k·360°,k∈Z⇒把所给的角化归到0°～360°范围内⇒利用0°～360°范围内的角分析该角是第几象限角.【解析】(1)因为-150°=-360°+210°,所以在0°～360°范围内,与-150°角终边相同的角是210°角,它是第三象限角.(2)因为650°=360°+290°,所以在0°～360°范围内,与650°角终边相同的角是290°角,它是第四象限角.(3)因为-950°15′=-3×360°+129°45′,所以在0°～360°范围内,与-950°15′角终边相同的角是129°45′角,它是第二象限角.【方法技巧】1.在0°到360°范围内找与给定角终边相同的角的方法(1)一般地,可以将所给的角α化成k·360°+β的形式(其中0°≤β360°,k∈Z),其中的β就是所求的角.(2)如果所给的角的绝对值不是很大,可以通过如下方法完成:当所给角是负角时,采用连续加360°的方式;当所给角是正角时,采用连续减360°的方式,直到所得结果达到要求为止.2.终边相同角常用的三个结论(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍.(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍.(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍.【变式训练】在0°到360°的范围内,找出与下列各角终边相同的角,并分别判断它们是哪个象限的角.(1)1005°.(2)2583°34′.(3)-1342°15′.(4)-470°.【解析】(1)因为1005°=2×360°+285°,所以285°就是与1005°终边相同的角,它是第四象限角,所以1005°是第四象限角.(2)因为2583°34′=7×360°+63°34′,所以63°34′就是与2583°34′终边相同的角,它是第一象限角,所以2583°34′是第一象限角.(3)因为-1342°15′=-4×360°+97°45′,所以97°45′就是与-1342°15′终边相同的角,它是第二象限角,所以-1342°15′是第二象限角.(4)因为-470°=-2×360°+250°,所以250°就是与-470°终边相同的角,它是第三象限角,所以-470°是第三象限角.【补偿训练】1.与-457°角的终边相同的角的集合是()A.{α|α=475°+k·360°,k∈Z}B.{α|α=97°+k·360°,k∈Z}C.{α|α=263°+k·360°,k∈Z}D.{α|α=-263°+k·360°,k∈Z}【解析】选C.因为263°=-457°+2×360°,故与-457°角的终边相同的角的集合可表示为{α|α=263°+k·360°,k∈Z}.2.已知α,β的终边相同,那么α-β的终边在()A.x轴的非负半轴上B.y轴的非负半轴上C.x轴的非正半轴上D.y轴的非正半轴上【解析】选A.因为α,β的终边相同,所以α=k·360°+β(k∈Z),所以α-β=k·360°(k∈Z),所以α-β的终边在x轴的非负半轴上.类型三象限角【典例】1.(2017·咸阳高一检测)角-1120°是()A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角2.已知α为第三象限角,判断所在的象限.世纪金榜导学号700340052【审题路线图】1.把所给的角写成k·360°+α的形式⇒确定角所在的象限.2.由角α所在的象限写出角所满足的不等式⇒所满足的不等式⇒所在的象限.22【解析】1.选D.因为-1120°=-4×360°+320°,故-1120°与320°终边相同,故角-1120°在第四象限.2.由k·360°+180°αk·360°+270°,k∈Z,得·360°+90°·360°+135°,k∈Z.当k为偶数时,为第二象限角;当k为奇数时,为第四象限角.k2k2222【方法技巧】1.象限角的判定方法(1)根据图像判定.利用图像实际操作时,依据是终边相同的角的概念,因为0°～360°之间的角与坐标系中的射线可建立一一对应的关系.(2)将角转化到0°～360°范围内.在直角坐标平面内,0°～360°范围内没有两个角终边是相同的.2.α,2α,等角的终边位置的确定方法不等式法:(1)利用象限角的概念或已知条件,写出角α的范围.(2)利用不等式的性质,求出2α,等角的范围.22(3)利用“旋转”的观点,确定角终边的位置.例如,如果得到k×120°k×120°+30°,k∈Z,可画出0°30°所表示的区域,再将此区域依次逆时针或顺时针转动120°(如图所示).33提醒:由α的范围确定2α的范围时易忽视终边在坐标轴上的情况.【变式训练】(2017·鹤壁高一检测)判断下列角的终边落在第几象限内:(1)1400°.(2)-2017°.【解析】(1)1400°=3×360°+320°,因为320°是第四象限角,所以1400°也是第四象限角.(2)-2017°=-6×360°+143°,所以-2017°与143°终边相同.所以-2017°是第二象限角.【补偿训练】1.在四个角-20°,-400°,-2000°,600°中,第四象限的角的个数是()A.0个B.1个C.2个D.3个【解析】选C.-20°是第四象限的角;-400°=-360°-40°与-40°角的终边相同,是第四象限的角;-2000°=-6×360°+160°与160°角的终边相同,是第二象限的角;600°=360°+240°与240°角的终边相同,是第三象限的角.2.在下列说法中:①0°～90°的角是第一象限角;②钝角都是第二象限角;③小于90°的角都是锐角.其中错误说法的序号为.【解析】①0°角不属于任何象限,所以①不正确.②钝角α的范围是90°α180°,显然是第二象限角,所以②正确.③锐角α的范围是0°α90°,小于90°的角也可以是零角或负角,所以③不正确.答案:①③【核心素养培优区】【易错案例】两角终边之间的关系【典例】已知角α与x+45°有相同的终边,角β与x-45°有相同的终边,则α与β的关系是___________.α-β=90°【失误案例】因为α与x+45°有相同的终边,所以α=k·360°+x+45°,k∈Z,又因为β与x-45°有相同的终边,所以β=k·360°+x-45°,k∈Z,所以α-β=90°.【错解分析】分析解题过程,请找出错误之处.提示:错误的根本原因是误认为α=k·360°+x+45°,k∈Z与β=k·360°+x-45°,k∈Z中的k取值完全相同.【自我纠正】因为α与x+45°有相同的终边,所以α=k1·360°+x+45°,k1∈Z.①又β与x-45°有相同的终边,所以β=k2·360°+x-45°,k2∈Z.②由①②可知α-β=(k1-k2)·360°+90°,(k1-k2)∈Z,即α-β=k·360°+90°,k∈Z.答案:α-β=k·360°+90°,k∈Z.