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解斜三角形(正余弦定理灵活应用)1.正弦定理:Aasin=Bbsin=Ccsin=2R.(关键点“比”)利用正弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题.(1)已知两角和任一边,求其他两边和一角;(2)已知两边和其中一边的对角,求另一边的对角.(从而进一步求出其他的边和角)2.余弦定理:a2=b2+c2-2bccosA;①b2=c2+a2-2cacosB;②c2=a2+b2-2abcosC.③在余弦定理中,令C=90°,这时cosC=0,所以c2=a2+b2.cosA=bcacb2222;cosB=cabac2222;cosC=abcba2222.利用余弦定理,可以解决以下两类有关三角形的问题:(1)已知三边,求三个角;(2)已知两边和它们的夹角,求第三边和其他两个角.可能出现一解、两解或无解的情况,这时应结合“三角形中大边对大角定理及几何作图来理解”.判断三角形的形状:1.在△ABC中,若2cosBsinA=sinC,则△ABC的形状一定是()答案:CA.等腰直角三角形B.直角三角形C.等腰三角形D.等边三角形2.下列条件中,△ABC是锐角三角形的是()答案:CA.sinA+cosA=51B.AB·BC>0C.tanA+tanB+tanC>0D.b=3,c=33,B=30°解析:由sinA+cosA=51得2sinAcosA=-2524<0,∴A为钝角.由AB·BC>0,得BA·BC<0,∴cos〈BA,BC〉<0.∴B为钝角.由tanA+tanB+tanC>0,得tan(A+B)·(1-tanAtanB)+tanC>0.∴tanAtanBtanC>0,A、B、C都为锐角.由Bbsin=Ccsin,得sinC=23,∴C=3π或3π2.3.在△ABC中,sinA=CBCBcoscossinsin,判断这个三角形的形状.解:a=abcbacabaccb22222222,所以b(a2-b2)+c(a2-c2)=bc(b+c).所以(b+c)a2=(b3+c3)+bc(b+c).所以a2=b2-bc+c2+bc.所以a2=b2+c2.所以△ABC是直角三角形.解斜三角形(求角度和长度)4.已知(a+b+c)(b+c-a)=3bc,则∠A=_______.解析:由已知得(b+c)2-a2=3bc,∴b2+c2-a2=bc.∴bcacb2222=21.∴∠A=3π.答案:3π5.在△ABC中,“A>30°”是“sinA>21”的A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件解析:在△ABC中,A>30°0<sinA<1sinA>21;sinA>2130°<A<150°A>30°答案:B6.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别是a、b、c,若三角形的面积S=41(a2+b2-c2),则∠C的度数是_______.解析:由S=41(a2+b2-c2)得21absinC=41·2abcosC.∴tanC=1.∴C=4π.答案:45°7.△ABC的三个内角A、B、C的对边分别是a、b、c,如果a2=b(b+c),求证:A=2B.证明:用正弦定理,a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC,代入a2=b(b+c)中,得sin2A=sinB(sinB+sinC)sin2A-sin2B=sinBsinC22cos1A-22cos1B=sinBsin(A+B)21(cos2B-cos2A)=sinBsin(A+B)sin(A+B)sin(A-B)=sinBsin(A+B),因为A、B、C为三角形的三内角,所以sin(A+B)≠0.所以sin(A-B)=sinB.所以只能有A-B=B,即A=2B.该题若用余弦定理如何解决?解:利用余弦定理,由a2=b(b+c),得cosA=bcacb2222=bccbbcb222)()(=bbc2,cos2B=2cos2B-1=2(acbca2222)2-1=2222ccbbccb)()(-1=bbc2.所以cosA=cos2B.因为A、B是△ABC的内角,所以A=2B.评述:高考题中,涉及到三角形的题目,重点考查正弦、余弦定理,考查的侧重点还在于三角转换.这是命题者的初衷.8.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,如果a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为23,那么b等于()答案:BA.231B.1+3C.232D.2+3解析:2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.又△ABC的面积为23,且∠B=30°,故由S△ABC=21acsinB=21acsin30°=41ac=23,得ac=6.∴a2+c2=4b2-12.由余弦定理,得cosB=acbca2222=6212422bb=442b=23,解得b2=4+23.又b为边长,∴b=1+3.9.已知锐角△ABC中,sin(A+B)=53,sin(A-B)=51.(1)求证:tanA=2tanB;(2)设AB=3,求AB边上的高.(1)证明:∵sin(A+B)=53,sin(A-B)=51,∴51sincoscossin53sincoscossinBABABABABABABAtantan51sincos52cossin=2.∴tanA=2tanB.(2)解:2π<A+B<π,∴sin(A+B)=53.∴tan(A+B)=-43,即BABAtantan1tantan=-43.将tanA=2tanB代入上式整理得2tan2B-4tanB-1=0,解得tanB=262(负值舍去).得tanB=262,∴tanA=2tanB=2+6.设AB边上的高为CD,则AB=AD+DB=ACDtan+BCDtan=623CD.由AB=3得CD=2+6,所以AB边上的高为2+6.10.在△ABC中,a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边长,已知a、b、c成等比数列,且a2-c2=ac-bc,求∠A的大小及cBbsin的值.剖析:因给出的是a、b、c之间的等量关系,要求∠A,需找∠A与三边的关系,故可用余弦定理.由b2=ac可变形为cb2=a,再用正弦定理可求cBbsin的值.解法一:∵a、b、c成等比数列,∴b2=ac.又a2-c2=ac-bc,∴b2+c2-a2=bc.在△ABC中,由余弦定理得cosA=bcacb2222=bcbc2=21,∴∠A=60°.在△ABC中,由正弦定理得sinB=aAbsin,∵b2=ac,∠A=60°,∴acbcBb60sinsin2=sin60°=23.解法二:在△ABC中,由面积公式得21bcsinA=21acsinB.∵b2=ac,∠A=60°,∴bcsinA=b2sinB.∴cBbsin=sinA=23.评述:解三角形时,找三边一角之间的关系常用余弦定理,找两边两角之间的关系常用正弦定理.11.在△ABC中,若∠C=60°,则cabcba=_______.解析:cabcba=))((cacbbcbaca22=222cbcacabbcacba.(*)∵∠C=60°,∴a2+b2-c2=2abcosC=ab.∴a2+b2=ab+c2.代入(*)式得222cbcacabbcacba=1.答案:1取值范围题目12.在△ABC中,角A、B、C所对的边分别为a、b、c,依次成等比数列,求y=BBBcossin2sin1的取值范围.解:∵b2=ac,∴cosB=acbca2222=acacca222=21(ca+ac)-21≥21.∴0<B≤3π,y=BBBcossin2sin1=BBBBcossincossin2)(=sinB+cosB=2sin(B+4π).∵4π<B+4π≤12π7,∴22<sin(B+4π)≤1.故1<y≤2.13.已知△ABC中,22(sin2A-sin2C)=(a-b)sinB,外接圆半径为2.(1)求∠C;(2)求△ABC面积的最大值.解:(1)由22(sin2A-sin2C)=(a-b)·sinB得22(224Ra-224Rc)=(a-b)Rb2.又∵R=2,∴a2-c2=ab-b2.∴a2+b2-c2=ab.∴cosC=abcba2222=21.又∵0°<C<180°,∴C=60°.(2)S=21absinC=21×23ab=23sinAsinB=23sinAsin(120°-A)=23sinA(sin120°cosA-cos120°sinA)=3sinAcosA+3sin2A=23sin2A-23sin2Acos2A+23=3sin(2A-30°)+23.∴当2A=120°,即A=60°时,Smax=233.14.在锐角△ABC中,边长a=1,b=2,则边长c的取值范围是_______.解析:若c是最大边,则cosC>0.∴abcba2222>0,∴c<5.又c>b-a=1,∴1<c<5.●思悟小结1.在△ABC中,∵A+B+C=π,∴sin2BA=cos2C,cos2BA=sin2C2.∠A、∠B、∠C成等差数列的充分必要条件是∠B=60°.3.在非直角三角形中,tanA+tanB+tanC=tanA·tanB·tanC.评述:恒等变形是学好数学的基本功,变形的方向是关键.若考虑三内角的关系,本题可以从已知条件推出cosA=0.
本文标题:正余弦定理专题
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