计算问题系列教程--繁分数的化简(第一课)

风子编辑知识点备注：在一个繁分数里，最长的分数线叫做繁分数的主分数线，主分数线上下不管有多少个数或运算，都把它们分别看作是繁分数的分子和分母。概念一个有意义的除法算式应包括定义范围内的被除数、除数和除号，它是一种运算表达形式。只有通过运算后，才能得出一个商数来，所以除法算式和一个数是两回事。繁分数是数，而不是除法式子繁分数定义根据繁分数的特点和内涵，考虑到既有分数的“形”，又有分子部分或分母部分含有分数的特殊情况，它的定义可以这样表述：如分数形式，分子或分母含有分数，或分子与分母都含有分数的数，叫做繁分数。运算的基本法则一、繁分数的运算必须注意多级分数的处理718×412+161313-334÷516视为分母视为分子二、将带分数化为假分数（乘除运算使用真分数或假分数）最长分数线一般，先算短分数线的，后算长分数线的三、常将分数线看作除号，可使繁分数运算更加直观化简方法1457676145=÷一、利用分数与除法的关系观察右边这个繁分数，找到最长的那条分数线。这个繁分数的分母和分子都是一个分数，我们可以把最长的那条分数线看作是“÷”，并把繁分数写成一个除式。对分数的除法，我们应该是熟悉的。先把“÷”变为“×”，把除数变为倒数。=14576×最后，对分子分母进行约分，并把分子分母分别相乘=512找出主分数线，确定分子与分母部分分别计算约分改写成“分子部分”÷“分母部分”76145=二、利用分数的基本性质观察右边这个繁分数，找到最长的那条分数线。这个繁分数的分母和分子都是一个分数，计算出分子部分与分母部分的两个分数的分母的最小公倍数，[7，14]=14繁分数的分子与分母都乘以这个最小公倍数对分子分母分别计算后，进行化简75614×14×14=512找出主分数线，确定分子与分母部分分子分母部分都乘以最小公倍数去掉分子分母部分的分母约分并最简成分数或整数三、化带分数为假分数观察右边这个繁分数，找到最长的那条分数线。这个繁分数的分子分母含有带分数。−115223先把带分数化为假分数=−6583按照上面介绍的方法，我们选择一种方法来做。（做适当的变化，中间两数相乘为分母，上下两数相乘作分子）=-3×65×8最后，进行约分，并化简=-920四、化小数为分数观察右边这个繁分数，找到最长的那条分数线。这个繁分数与上一例不同之处是分子为小数。0.15−34先把小数化为分数=-32034接下来，和上面一例完全一样了=-3×420×3=-15注意符号的处理五、化分数为小数当繁分数中的分子或分母部分所含有的分数可化为有限小数时，也可把分子或分母中的分数化为小数再化简。这种方法，不利于分数的简化，所以仅对非常熟悉的小数进行使用。案例如下:0.1534=0.150.75当分子分母都是小数时，我们可以通过同时扩大的方法，把小数转化为整数。=1575最后，找出分子分母的最大公约数，进行约分处理。(15,75)=15=15六、化复杂为简单繁分数的分子或分母部分若含有加减运算，则先加减运算再按繁分数化简方法进行化简。繁分数的分子、分母都是连乘运算可以分子、分母直接约分化简。连加减繁分数案例：12+2314−15=36+46520−420=76120=7×206×1=703连乘除繁分数案例：112×334×0.260.52×1.5×712=1.5×3.75×0.260.52×1.5×7.5=1×1×12×1×2=14七、化多层为单层有一类繁分数，就像一层层的楼房一样，对于这样的繁分数，要学会分层化简。在化简过程，要根据繁分数的结构，从下往上，一步一步仔细的做，不可马虎。12+12+12+12观察上面的繁分数，我们可以发现总共有五层，所以我们先处理2+12这一层。=12+12+152我们可以把152看作是52的倒数，所以很容易处理=12+12+25接着，再逐层往上处理。=12+1125=12+512=12912=1229阶梯型繁分数的书写时，要注意等号必须对齐主分数线。拓展案例例1、计算：1.75÷112+1.5÷334×212+117−2349÷221472÷315+314÷13÷23−2518−1736×1865154×23+32×415×52+87−2349×147222×516+134×113×32−4118−1736×1865原式=分子分母统一为真分数或假分数，把“÷”转化为“×”按四则运算分别处理分子分母，注意按“项”处理。=52+1+3349×1472258+38−6536×1865继续按四则运算处理分子分母=52+1+921−12=812=16例2、计算：1143+177+1910.07+0.1+0.13先把分母中的循环小数化为分数原式=1143+177+191799+19+1399接着，对分子分母进行四则运算。因为143=11×13，77=7×11，91=7×13，所以最小公倍数是7×11×13=1143+177+1913199=7+13+117×11×133199=317×11×13×9931=991对繁分数的化简，过程中，有时不需要把积算出来例3、计算：已知11+12+1x+14=811，则x等于多少？【分析】观察这个方程，等号的左边是分子为1的阶梯式繁分数。通常的方法，我们先对繁分数从下往上化简，但这样会比较麻烦（有兴趣的小朋友可以自己试试）。根据倒数的特点，可以让解方程的过程变得简单。先把等号两边的数或算式写成倒数，则方程变为1+12+1x+14=118方程两边都减1，得到一个新的带阶梯型繁分数的方程12+1x+14=38重复上面的步骤，直至得到x的值。2+1x+14=831x+14=23x+14=32x=54例4、请举一个例子，说明“两个真分数的和可以是一个真分数，而且这三个分数的分母谁也不是说的约数”。【分析】因为1a×b+1b×c=c+aa×b×c，所以，当a+c=b时，有1a×b+1b×c=1a×c当a，b，c两两互质时，满足题目要求。显然，a、b、c为质数时，一定满足。使两个质数的和等于另一个质数，则其中一个质数必定是2。当a=2时，c=b-2。所以必定有满足要求的真分数如下：12×5+13×5=12×3，12×13+113×11=12×11例5、已知a=11×66+12×67+13×68+14×69+15×7011×65+12×66+13×67+14×68+15×69×100，问a的整数部分是多少？【分析】通过a的繁分数部分分子分母的分析，我们可以对这个繁分数进行化简a=11×(65+1)+12×(66+1)+13×(67+1)+14×(68+1)+15×(69+1)11×65+12×66+13×67+14×68+15×69×100=100+11+12+13+14+1511×65+12×66+13×67+14×68+15×69×100因为题目只要求得到整数部分，所以可以根据化简后的繁分数找到取值范围。设b=11+12+13+14+1511×65+12×66+13×67+14×68+15×69≤11+12+13+14+15(11+12+13+14+15)×65=165又b≥11+12+13+14+15(11+12+13+14+15)×69=169∴1013169≤a≤1013569∴a的整数部分是101.例6、计算：（1-12×2）×（1-13×3）×……×（1-110×10）【分析】当对多个相同结构的算式进行计算时，我们首先应该找出通项。本题的同项为1-1n×n=n2−1n2=(𝑛+1)(𝑛−1)n2∴原式=3×122×4×232×……×11×9102=1×3×2×4×3×5×⋯×8×10×9×112×2×3×3×4×4×⋯×9×9×10×10=1×112×10=1120对相同结构的数或算式进行运算，根据规律找出通项，可以高效的得到结果。例7、S=1191+192+193+⋯+1100，求式中S的整数部分。【分析】之前的学习中，我们已经分析过类似的案例。求一个式子的整数部分，可以从这个式子的取值范围出发。设A=191+192+193+……+1100＜10×191=1091，且A＞10×1100=110∴110＜A＜1091∴9110＜S=1𝐴＜10∴式中S的整数部分为9.例8、若a+1b+1c=3716，其中a，b，c是不为零的自然数，则a+b+c=【分析】因为a、b、c是不为零的自然数，所以1b+1𝑐和1c都小于1。据此，我们可以采用两种方法来求解：一是利用分数与除法的关系，辗转相除；二是把等号两边化为同样的形式。方法一：37÷16=2……5；16÷5=3……1∴a=2，b=3，c=5∴a+b+c=10方法二：3716=2+516=2+1165=2+13+15∴a=2，b=3，c=5∴a+b+c=10把一个分数转化为规定格式的阶梯式繁分数，往往可以方便地找出繁分数中某一位置地数值。例9、计算：11+12011+12012+11−12013+12012【分析】动手前对题目的观察和分析，找出题目的特点，往往可以使计算事半功倍。对这个题目的计算，我们会用到整体思想，而不是毫无目的的计算。原式=11+12011×2012+12012+11−12013×2012+12012=11+20122011×2012+1+11−20122013×2012+1=12011×2012+1+20122011×2012+1+12013×2012+1−20122013×2012+1=2011×2012+12012×2012+1+2013×2012+12012×2012+1=（2013+2011）×2012+22012×2012+1=2×2012×2012+22012×2012+1=2在这个题目的运算中，我们始终没有把两个数的积计算出来。课堂练习1、1997÷1997199719982、199719971998÷19973、2016×334×1.3+3÷2231+3+5+7+9×20+44、1+12−131−12+135、718×412+161313−334÷5166、258−23×2514(3112+4.375)÷19897、718×412+161313−334÷516÷2788、求1120+121+122+⋯+129化简后的整数部分。9、123+234+345+⋯+979899+9899100313+524+735+⋯+1959799+19798100（提示：313=103，123=53）10、求2003+2004+2005+2006+20072002+2003+2004+2005+2006+2007+2008的值。（提示：奇数个连续自然数求和方法）11、在等式235−8.5−𝑎÷3.51÷(3.05+4920)=2中，a所表示的数是多少。