高一数学不等式知识点

不等式1、不等式的性质是证明不等式和解不等式的基础。不等式的基本性质有：（1）对称性：abba；（2）传递性：若ab，bc，则ac；（3）可加性：aba+cb+c；（4）可乘性：ab，当c0时，acbc；当c0时，acbc。不等式运算性质：（1）同向相加：若ab，cd，则a+cb+d；（2）异向相减：ba，dcdbca.（3）正数同向相乘：若ab0，cd0，则acbd。（4）乘方法则：若ab0，n∈N+，则nnba；（5）开方法则：若ab0，n∈N+，则nnba；（6）倒数法则：若ab0，ab，则b1a1。2、基本不等式定理：如果Rba,，那么abba222（当且仅当a=b时取“=”号）推论：如果0,ba，那么abba2（当且仅当a=b时取“=”号）算术平均数2ba；几何平均数ab；推广：若0,ba，则baabbaba1122222当且仅当a=b时取“=”号；3、绝对值不等式（1）｜x｜＜a（a＞0）的解集为：{x｜－a＜x＜a}；｜x｜＞a（a＞0）的解集为：{x｜x＞a或x＜－a}。（2）|b||a||ba|||b||a||4、不等式的证明：(1)常用方法：比较法，公式法，分析法，反证法，换元法，放缩法；(2)在不等式证明过程中，应注重与不等式的运算性质联合使用；(3)证明不等式的过程中，放大或缩小应适度。5、不等式的解法：（1）一元二次型不等式的恒成立问题常用结论：ax2+bx+c0对于任意的x恒成立20040aabac或检验；ax2+bx+c0对于任意的x恒成立20040aabac或检验（2）解不等式是寻找使不等式成立的充要条件，因此在解不等式过程中应使每一步的变形都要恒等。一元二次不等式（组）是解不等式的基础，一元二次不等式是解不等式的基本题型。一元二次不等式与相应的函数，方程的联系①求一般的一元二次不等式20axbxc或20axbxc(0)a的解集，要结合20axbxc的根及二次函数2yaxbxc图象确定解集．②对于一元二次方程20(0)axbxca，设24bac，它的解按照000，，可分为三种情况．相应地，二次函数2(0)yaxbxca的图象与x轴的位置关系也分为三种情况．因此，我们分三种情况讨论对应的一元二次不等式20axbxc(0)a的解集，列表如下：含参数的不等式应适当分类讨论。6、线性规划问题的解题方法和步骤解决简单线性规划问题的方法是图解法，即借助直线（线性目标函数看作斜率确定的一族平行直线）与平面区域（可行域）有交点时，直线在y轴上的截距的最大值或最小值求解。它的步骤如下：（1）设出未知数，确定目标函数。（2）确定线性约束条件，并在直角坐标系中画出对应的平面区域，即可行域。（3）由目标函数z＝ax＋by变形为y＝－bax＋bz，所以，求z的最值可看成是求直线y＝－bax＋bz在y轴上截距的最值（其中a、b是常数，z随x，y的变化而变化）。（4）作平行线：将直线ax＋by＝0平移（即作ax＋by＝0的平行线），使直线与可行域有交点，且观察在可行域中使bz最大（或最小）时所经过的点，求出该点的坐标。（5）求出最优解：将（4）中求出的坐标代入目标函数，从而求出z的最大（或最小）值。7、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC，坐标平面内的点00,xy．①若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的上方．②若0，000xyC，则点00,xy在直线0xyC的下方．8、在平面直角坐标系中，已知直线0xyC．①若0，则0xyC表示直线0xyC上方的区域；0xyC表示直线0xyC下方的区域．②若0，则0xyC表示直线0xyC下方的区域；0xyC表示直线0xyC上方的区域．9、最值定理设x、y都为正数，则有⑴若xys（和为定值），则当xy时，积xy取得最大值24s．⑵若xyp（积为定值），则当xy时，和xy取得最小值2p．即：“积定，和有最小值；和定，积有最大值”注意：一正、二定、三相等