2014-2017高考真题-选修4-5不等式选讲

选修4-5不等式选讲考点不等式选讲1.（2017?新课标Ⅰ,23）已知函数f（x）=﹣x2+ax+4，g（x）=|x+1|+|x﹣1|．（10分）(1)当a=1时，求不等式f（x）≥g（x）的解集；(2)若不等式f（x）≥g（x）的解集包含[﹣1，1]，求a的取值范围．1.（1）解：当a=1时，f（x）=﹣x2+x+4，是开口向下，对称轴为x=的二次函数，g（x）=|x+1|+|x﹣1|=，当x∈（1，+∞）时，令﹣x2+x+4=2x，解得x=，g（x）在（1，+∞）上单调递增，f（x）在（1，+∞）上单调递减，∴此时f（x）≥g（x）的解集为（1，]；当x∈[﹣1，1]时，g（x）=2，f（x）≥f（﹣1）=2．当x∈（﹣∞，﹣1）时，g（x）单调递减，f（x）单调递增，且g（﹣1）=f（﹣1）=2．综上所述，f（x）≥g（x）的解集为[﹣1，]；（2）依题意得：﹣x2+ax+4≥2在[﹣1，1]恒成立，即x2﹣ax﹣2≤0在[﹣1，1]恒成立，则只需，解得﹣1≤a≤1，故a的取值范围是[﹣1，1]．2.（2017?新课标Ⅱ,23）已知a＞0，b＞0，a3+b3=2，证明：（Ⅰ）（a+b）（a5+b5）≥4；（Ⅱ）a+b≤2．2.证明：（Ⅰ）由柯西不等式得：（a+b）（a5+b5）≥（+）2=（a3+b3）2≥4，当且仅当=，即a=b=1时取等号，（Ⅱ）∵a3+b3=2，∴（a+b）（a2﹣ab+b2）=2，∴（a+b）[（a+b）2﹣3ab]=2，∴（a+b）3﹣3ab（a+b）=2，∴=ab，由均值不等式可得：=ab≤（）2，∴（a+b）3﹣2≤，∴（a+b）3≤2，∴a+b≤2，当且仅当a=b=1时等号成立．3.（2017?新课标Ⅲ,23）已知函数f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥1的解集；（Ⅱ）若不等式f（x）≥x2﹣x+m的解集非空，求m的取值范围．3.（Ⅰ）∵f（x）=|x+1|﹣|x﹣2|=，f（x）≥1，∴当﹣1≤x≤2时，2x﹣1≥1，解得1≤x≤2；当x＞2时，3≥1恒成立，故x＞2；综上，不等式f（x）≥1的解集为{x|x≥1}．（Ⅱ）原式等价于存在x∈R使得f（x）﹣x2+x≥m成立，即m≤[f（x）﹣x2+x]max，设g（x）=f（x）﹣x2+x．由（1）知，g（x）=，当x≤﹣1时，g（x）=﹣x2+x﹣3，其开口向下，对称轴方程为x=＞﹣1，∴g（x）≤g（﹣1）=﹣1﹣1﹣3=﹣5；当﹣1＜x＜2时，g（x）=﹣x2+3x﹣1，其开口向下，对称轴方程为x=∈（﹣1，2），∴g（x）≤g（）=﹣+﹣1=；当x≥2时，g（x）=﹣x2+x+3，其开口向下，对称轴方程为x=＜2，∴g（x）≤g（2）=﹣4+2=3=1；综上，g（x）max=，∴m的取值范围为（﹣∞，]．4.（2017?江苏,21D）已知a，b，c，d为实数，且a2+b2=4，c2+d2=16，证明ac+bd≤8．4.证明：∵a2+b2=4，c2+d2=16，令a=2cosα，b=2sinα，c=4cosβ，d=4sinβ．∴ac+bd=8（cosαcosβ+sinαsinβ）=8cos（α﹣β）≤8．当且仅当cos（α﹣β）=1时取等号．因此ac+bd≤8．5.(2016·全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－|2x－3|.(1)在图中画出y＝f(x)的图象；(2)求不等式|f(x)|1的解集.5.解(1)f(x)＝x－4，x≤－1，3x－2，－1x≤32，－x＋4，x32，y＝f(x)的图象如图所示.(2)当f(x)＝1时，可得x＝1或x＝3；当f(x)＝－1时，可得x＝13或x＝5，故f(x)1的解集为{x|1x3}；f(x)－1的解集为x|x13或x5.所以|f(x)|1的解集为x|x13或1x3或x5.6.(2016·全国Ⅲ，24)已知函数f(x)＝|2x－a|＋a.(1)当a＝2时，求不等式f(x)≤6的解集；(2)设函数g(x)＝|2x－1|.当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3，求a的取值范围.6.解(1)当a＝2时，f(x)＝|2x－2|＋2.解不等式|2x－2|＋2≤6得－1≤x≤3.因此f(x)≤6的解集为{x|－1≤x≤3}.(2)当x∈R时，f(x)＋g(x)＝|2x－a|＋a＋|1－2x|≥|2x－a＋1－2x|＋a＝|1－a|＋a，所以当x∈R时，f(x)＋g(x)≥3等价于|1－a|＋a≥3.①当a≤1时，①等价于1－a＋a≥3，无解.当a＞1时，①等价于a－1＋a≥3，解得a≥2.所以a的取值范围是[2，＋∞).7.(2016·全国Ⅱ，24)已知函数f(x)＝x－12＋x＋12，M为不等式f(x)2的解集.(1)求M；(2)证明：当a，b∈M时，|a＋b||1＋ab|.7.(1)解f(x)＝－2x，x≤－12，1，－12x12，2x，x≥12.当x≤－12时,由f(x)2得－2x2，解得x－1,所以,-1x≤-12；当-12x12时，f(x)2；当x≥12时，由f(x)2得2x2，解得x1，所以，-12x1.所以f(x)2的解集M＝{x|－1x1}.(2)证明由(1)知，当a,b∈M时,-1a1,-1b1,从而(a＋b)2-(1＋ab)2＝a2＋b2-a2b2-1＝(a2-1)(1-b2)0，即(a＋b)2(1＋ab)2，因此|a＋b||1＋ab|.8.(2015·重庆，16)若函数f(x)＝|x＋1|＋2|x－a|的最小值为5，则实数a＝________.或－6[由绝对值的性质知f(x)的最小值在x＝-1或x＝a时取得,若f(-1)＝2|－1-a|＝5,a＝32或a＝－72，经检验均不合适；若f(a)＝5，则|x＋1|＝5，a＝4或a＝－6，经检验合题意，因此a＝4或a＝－6.]9.(2015·陕西，24)已知关于x的不等式|x＋a|＜b的解集为{x|2＜x＜4}.(1)求实数a，b的值；(2)求at＋12＋bt的最大值.9.解(1)由|x＋a|＜b，得－b－a＜x＜b－a，则－b－a＝2，b－a＝4，解得a＝－3，b＝1.(2)－3t＋12＋t＝34－t＋t≤[（3）2＋12][（4－t）2＋（t）2]＝24－t＋t＝4，当且仅当4－t3＝t1，即t＝1时等号成立，故(－3t＋12＋t)max＝4.10.(2015·新课标全国Ⅰ，24)已知函数f(x)＝|x＋1|－2|x－a|，a0.(1)当a＝1时，求不等式f(x)1的解集；(2)若f(x)的图象与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围.10.解(1)当a＝1时，f(x)1化为|x＋1|－2|x－1|－10.当x≤－1时，不等式化为x－40，无解；当－1x1时，不等式化为3x－20，解得23x1；当x≥1时，不等式化为－x＋20，解得1≤x2.所以f(x)1的解集为x23x2.(2)由题设可得，f(x)＝x－1－2a，x－1，3x＋1－2a，－1≤x≤a，－x＋1＋2a，xa.所以函数f(x)的图象与x轴围成的三角形的三个顶点分别为A2a－13，0,B(2a＋1,0),C(a,a+1)，△ABC的面积为23(a＋1)2.由题设得23(a＋1)26，故a2.所以a的取值范围为(2，＋∞).11.(2015·新课标全国Ⅱ，24)设a、b、c、d均为正数，且a＋b＝c＋d，证明：(1)若ab＞cd，则a＋b＞c＋d；(2)a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.11.证明(1)因为(a＋b)2＝a＋b＋2ab，(c＋d)2＝c＋d＋2cd，由题设a＋b＝c＋d，ab＞cd得(a＋b)2＞(c＋d)2.因此a＋b＞c＋d.(2)①若|a－b|＜|c－d|，则(a－b)2＜(c－d)2，即(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd.由(1)得a＋b＞c＋d.②若a＋b＞c＋d，则(a＋b)2＞(c＋d)2，即a＋b＋2ab＞c＋d＋2cd.因为a＋b＝c＋d，所以ab＞cd，于是(a－b)2＝(a＋b)2－4ab＜(c＋d)2－4cd＝(c－d)2.因此|a－b|＜|c－d|.综上，a＋b＞c＋d是|a－b|＜|c－d|的充要条件.12.(2014·广东，9)不等式|x－1|＋|x＋2|≥5的解集为________.12.{x|x≤－3或x≥2}[原不等式等价于x≥1，（x－1）＋（x＋2）≥5或－2x1，－（x－1）＋（x＋2）≥5或x≤－2，－（x－1）－（x＋2）≥5，解得x≥2或x≤－3.故原不等式的解集为{x|x≤－3或x≥2}.]13.(2014·湖南，13)若关于x的不等式|ax－2|3的解集为x|－53x13，则a＝________.13.－3[依题意，知a≠0.|ax－2|3?－3ax－23?－1ax5，当a0时，不等式的解集为－1a，5a，从而有5a＝13，－1a＝－53，此方程组无解.当a0时，不等式的解集为5a，－1a，从而有5a＝－53，－1a＝13，解得a＝－3.]14.(2014·重庆，16)若不等式|2x－1|＋|x＋2|≥a2＋12a＋2对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围是________.[令f(x)＝|2x-1|＋|x+2|,易求得f(x)min＝52,依题意得a2+12a+2≤52?-1≤a≤12.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，24)设函数f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|(a0).(1)证明：f(x)≥2；(2)若f(3)5，求a的取值范围.15.(1)证明由a0，有f(x)＝|x＋1a|＋|x－a|≥|x＋1a－(x－a)|＝1a＋a≥2.所以f(x)≥2.(2)解f(3)＝|3＋1a|＋|3－a|.当a3时，f(3)＝a＋1a，由f(3)5得3a5＋212.当0a≤3时，f(3)＝6－a＋1a，由f(3)5得1＋52＜a≤3.综上，a的取值范围是1＋52，5＋21216.(2014·天津，19)已知q和n均为给定的大于1的自然数.设集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}.(1)当q＝2，n＝3时，用列举法表示集合A；(2)设s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.证明：若anbn，则st.16.(1)解当q＝2,n＝3时,M＝{0,1},A＝{x|x＝x1＋x2·2＋x3·22,xi∈M,i＝1,2,3}.可得,A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}.(2)证明由s,t∈A,s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1，2，…，n及anbn,可得s-t＝(a1－b1)＋(a2－b2)q＋…＋(an－1－bn－1)qn－2＋(an－bn)qn－1≤(q-1)＋(q-1)q+…+(q-1)·qn－2－qn－1＝（q－1）（1－qn－1）1－q－qn－1＝-10.所以，st.