层次分析法及模糊综合评价建模方法

1层次分析方法建模一、层次分析法的基本步骤1）建立层次分析结构模型深入分析实际问题，将有关因素自上而下分层（目标—准则或指标—方案或对象），上层受下层影响，而层内各因素基本上相对独立。2）构造判断矩阵用相互比较法和1~9尺度，构造各层对上一层每一因素的成对比较阵。3）计算权向量并作一致性检验对每一相互比较阵计算最大特征根和特征向量，作一致性检验，若通过，则特征向量为权向量。4）计算组合权向量（作组合一致性检验*）组合权向量可作为决策的定量依据。3层次分析法（AHP）求解流程图建立层次结构分析模型构造判断矩阵层次单排序及其一致性检验层次总排序的一致性检验层次总排序二.层次分析法的广泛应用•应用领域：经济计划和管理，能源政策和分配，人才选拔和评价，生产决策，交通运输，科研选题，产业结构，教育，医疗，环境，军事等。•处理问题类型：决策、评价、分析、预测等。•建立层次分析结构模型是关键一步，要有主要决策层参与。•构造成对比较阵是数量依据，应由经验丰富、判断力强的专家给出。5整个层次结构分析模型可以分成三层：最高层(目的层)——合理使用利润，促进企业发展。中间层(各种使用企业留成利润方案所应当考虑的准则)——进一步调动广大职工劳动积极性，大力提高企业技术水平和尽力改善职工物质文化生活。最低层（所考虑的五种措施）—选择最优方案。这种层次结构分析模型可用下图所示。6合理使用企业利润促进企业发展调动职工劳动积极性B1提高企业技术水平B2改善职工物质文化生活B3发奖金S1扩大集体福利事业S2办职工业余技校S3建图书馆俱乐部文体工队S4引进新技术设备S5目标（O）层准则（C）层措施层(P)国家综合实力国民收入军事力量科技水平社会稳定对外贸易美、俄、中、日、德等大国工作选择贡献收入发展声誉关系位置供选择的岗位例1国家实力分析例2工作选择过河的效益A经济效益B1社会效益B2环境效益B3节省时间C1收入C2岸间商业C3当地商业C4建筑就业C5安全可靠C6交往沟通C7自豪感C8舒适C9进出方便C10美化C11桥梁D1隧道D2渡船D3（1）过河效益层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择过河的代价A经济代价B1环境代价B3社会代价B2投入资金C1操作维护C2冲击渡船业C3冲击生活方式C4交通拥挤C5居民搬迁C6汽车排放物C7对水的污染C8对生态的破坏C9桥梁D1隧道D2渡船D2（2）过河代价层次结构例3横渡江河、海峡方案的抉择待评价的科技成果直接经济效益C11间接经济效益C12社会效益C13学识水平C21学术创新C22技术水平C23技术创新C24效益C1水平C2规模C3科技成果评价例4科技成果的综合评价三.层次分析法的若干问题•正互反阵的最大特征根是否为正数？特征向量是否为正向量？一致性指标能否反映正互反阵接近一致阵的程度？•怎样简化计算正互反阵的最大特征根和特征向量？•为什么用特征向量作为权向量？•当层次结构不完全或成对比较阵有空缺时怎样用层次分析法？1.正互反阵的最大特征根和特征向量的性质正互矩阵：设，若元素满足()ijnnAaija10,,(,1,2,...,)ijijjiaaijna一致矩阵：设为一个正互矩阵，并且满足()ijnnAa,(,,1,2,...,)ijjkikaaaijkn一致矩阵性质：设，则有(1)(2)A的每一行(列)元素均是第一行(列)相应元素的正倍数，并且rank(A)=1(3)A的最大特征值，其余的特征值均为0.(4)若对应的特征向量为，则()ijnnAa10,,,(,1,2,...,)ijijijjkikjiaaaaaijnamaxnmaxn12(,,...,)Tn/,(,1,2,...,)ijijawwijn定理1正矩阵A的最大特征根是正单根，对应正特征向量w，且TkTkkeweAeeA)1,,1,1(,lim定理2n阶正互反阵A的最大特征根,是A为一致阵的充要条件.正互反阵的最大特征根是正数，特征向量是正向量。一致性指标定义合理max1nCInmaxnmaxn1）将A的每一列向量归一化到得2.正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法•简化计算的思路——一致阵的任一列向量都是特征向量，一致性尚好的正互反阵的列向量都应近似特征向量，可取其某种意义下的平均。和法——和法的步骤如下：1/(1,2,...,);nijijijiwaajn2）对按行求和得ijw1,(1,2,...,);niijjwwjn4）计算最大特征值3）将归一化得，则为近似特征向量；ijw1/,(1,2,...,)niiijj12(,,...,)Tnmax1()1niiiAwnw14/16/1412/1621A例091.0077.01.0364.0308.03.0545.0615.06.0w089.0324.0587.0286.0974.0769.1Aw009.3)089.0268.0324.0974.0587.0769.1(31列向量归一化归一化wAw精确结果:w=(0.588,0.322,0.090)T,=3.010按行求和1.7600.9720.268根法——取列向量的几何平均幂法——迭代算法1）任取初始向量w(0),k:=0，设置精度)()1(~kkAww2)计算nikikk)1()1()1(~/~3）归一化(1)max()11knikiiwnw5)计算简化计算4）若，停止；否则，k:=k+1,转2)()1(maxkikiiww18关于如何确定成对比较矩阵中元素的值,Saaty等建议试用1~9尺度，即的取值范围是1,2，…,9以及倒数是1,1\2,…,1\9,判断矩阵的元素一般采用1~9及其倒数的标度方法。标度含义135792，4，6，8倒数Ci与Cj的影响相同Ci比Cj的影响稍强Ci比Cj的影响强Ci比Cj的影响明显强Ci比Cj的影响绝对强Ci与Cj的影响之比在上述两个相邻等级之间若因素i与j比较得判断,则因素j与i比较的判断为Cji=1/Cij()ijnnAaijaija19当CR0.1时，层次单排序的结果才认为是满意的，此时我们用A的最大特征值对应的归一化的特征向量作为比较矩阵的权重向量。当CR=0.1时，必须重新调整成对比较矩阵A，直至具有满意的一致性。判断矩阵阶数n12345678910RI000.580.91.121.241.321.411.451.49max(1)nCICRRIRIn一致性指标随机一致性指标一致性比率max(1)nCICRRIRInmax1nCIn3.特征向量作为权向量——成对比较的多步累积效应问题一致阵A,权向量w=(w1,…wn)T,aij=wi/wjA不一致,应选权向量w使wi/wj与aij相差尽量小（对所有i,j)。211),,1(minninjjiijni用拟合方法确定w非线性最小二乘211),,1(lnlnminninjjiijni线性化——对数最小二乘结果与根法相同•按不同准则确定的权向量不同，特征向量有什么优点。成对比较Ci:Cj(直接比较）aij~1步强度)()2(2ijaAsjnsisijaaa1)2(aisasj~Ci通过Cs与Cj的比较aij(2)~2步强度更能反映Ci对Cj的强度步强度kaaAkijkijk~),()()(多步累积效应体现多步累积效应),1,,,,)()()()(00nsaaaakkkjikjskiskjskis（或定理1weAeeAkTkklim特征向量体现多步累积效应当k足够大,Ak第i行元素反映Ci的权重求Ak的行和4.不完全层次结构中组合权向量的计算完全层次结构：上层每一元素与下层所有元素相关联不完全层次结构设第2层对第1层权向量w(2)=(w1(2),w2(2))T已定第3层对第2层权向量w1(3)=(w11(3),w12(3),w13(3),0)Tw2(3)=(0,0,w23(3),w24(3)T已得讨论由w(2),W(3)=(w1(3),w2(3))计算第3层对第1层权向量w(3）的方法贡献O教学C1科研C2P2P1P3P4例:评价教师贡献的层次结构P1,P2只作教学,P4只作科研,P3兼作教学、科研。C1,C2支配元素的数目不等)/(),(~)2(22)2(11)2(22)2(11)2(wnwnwnwnwT•不考虑支配元素数目不等的影响)2()3()3(仍用计算•支配元素越多权重越大用支配元素数目n1,n2对w(2)加权修正若C1,C2重要性相同,w(2)=(1/2,1/2)T,P1~P4能力相同,w1(3)=(1/3,1/3,1/3,0)T,w2(3)=(0,0,1/2,1/2)T公正的评价应为：P1:P2:P3:P4=1:1:2:1再用计算)2()3()3(~w(3)=(1/6,1/6,5/12,1/4)Tw(3)=(1/5,1/5,2/5,1/5)TTwnn)5/2,5/3(~,2,3)2(21•支配元素越多权重越小教学、科研任务由上级安排教学、科研靠个人积极性考察一个特例：5.残缺成对比较阵的处理12/1/212/1/21133122/10212/1022AwwAjimajiajiaaiijijijij,1,,0,,mi~A第i行中的个数12/1212/121A例为残缺元素辅助矩阵Tw)1429.0,2857.0,5714.0(,36.更复杂的层次结构•递阶层次结构：层内各元素独立，无相互影响和支配；层间自上而下、逐层传递，无反馈和循环。•更复杂的层次结构：层内各元素间存在相互影响或支配；层间存在反馈或循环。制动底盘车轮方向盘发动机减震装置刹车转向运行加速性能汽车行驶性能汽车1汽车2汽车n……例层次分析法的优点•系统性——将对象视作系统，按照分解、比较、判断、综合的思维方式进行决策——系统分析（与机理分析、测试分析并列）；•实用性——定性与定量相结合，能处理传统的优化方法不能解决的问题；•简洁性——计算简便，结果明确，便于决策者直接了解和掌握。层次分析法的局限•囿旧——只能从原方案中选优，不能产生新方案；•粗略——定性化为定量，结果粗糙；•主观——主观因素作用大，结果可能难以服人。你只闻到我的香水，却没看到我的汗水。你否定我的现在，我决定我的未来！你嘲笑我一无所有，不配去爱，我可怜你总是等待。你可以轻视我们的年轻，我们会证明这是谁的时代。梦想是注定孤独的旅行，路上少不了质疑和嘲笑，但那又怎样？哪怕遍体鳞伤，也要活得漂亮！