中考数学九年级一轮复习课件第05讲二次根式

第5讲二次根式考点一二次根式1．形如a(a≥0)的式子叫做二次根式．2．二次根式有意义的条件：被开方数≥0.温馨提示：1.aa≥0表示a的算术平方根，它是一个非负数，即a≥0.2.在二次根式aa≥0中，a可以表示数、单项式、多项式以及符合条件的一切代数式.考点二最简二次根式最简二次根式要同时具备下列两个条件：(1)被开方数中不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．温馨提示：在二次根式的被开方数中，只要含有分数或小数就不是最简二次根式；在二次根式的被开方数中，有一个因式或因数的指数等于或大于2，也不是最简二次根式.考点三二次根式的性质1.a(a≥0)是非负数．2．(a)2＝a(a≥0)．3.a2＝|a|＝aa≥0，－aa＜0.考点四二次根式的运算1．二次根式的加减先将各二次根式化为最简二次根式，然后再将被开方数相同的二次根式进行合并．温馨提示：化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式.2．二次根式的乘除二次根式的乘法法则：a·b＝ab(a≥0，b≥0)；二次根式的除法法则：ab＝ab(a≥0，b＞0)．二次根式的运算结果一定要化成最简二次根式．考点一确定二次根式有意义的条件例1(2014·达州)二次根式－2x＋4有意义，则实数x的取值范围是()A．x≥－2B．x＞－2C．x＜2D．x≤2【点拨】由二次根式的被开方数是非负数，可得－2x＋4≥0，即x≤2.故选D.【答案】D方法总结：二次根式有意义的条件是被开方数大于或等于0.而由分式和二次根式组成的复合代数式有意义的条件是使各个部分都有意义.考点二二次根式的性质例2(2014·连云港)计算－32的结果是()A．－3B．3C．－9D．9【点拨】－32＝|－3|＝3.故选B.【答案】B方法总结：化简a2时，先将它转化为|a|，然后根据绝对值的性质进行化简.考点三二次根式的加减或乘除例3(2014·包头)计算：1220－5415＝________.【点拨】1220－5415＝5－54＝354.【答案】354方法总结：二次根式的加减运算的实质是去括号，合并被开方数相同的二次根式；二次根式的乘除运算中，要注意乘法运算律仍然可以应用.考点四二次根式的混合运算例4(2014·荆门)计算：24×13－4×18×(1－2)0.【点拨】本题考查二次根式的混合运算，按照混合运算的顺序进行计算．解：原式＝26×33－4×24×1＝22－2＝2.方法总结：二次根式的混合运算要注意运算的顺序，可应用整式的运算律改变运算的顺序，使运算简便.1．若式子x＋2x－1有意义，则x的取值范围是(D)A．x≥－2B．x＞－2且x≠1C．x≤－2D．x≥－2且x≠1解析：根据二次根式有意义的条件与分式有意义的条件，可得x＋2≥0且x－1≠0，即x≥－2且x≠1.故选D.2．下列计算正确的是(C)A．23＋42＝65B.12＝43C.27÷3＝3D.4＝±2解析：A中，两个最简二次根式，被开方数不相同，不能合并，故A错误；B中，12＝22×3＝23，故B错误；C中，27÷3＝9＝3，故C正确；D中，4＝2，故D错误．故选C.3．实数a，b在数轴上的位置如图所示，且|a|＞|b|，则化简a2－|a＋b|的结果为(C)A．2a＋bB．－2a＋bC．bD．2a－b解析：由数轴可知，a0＜b，又∵|a|＞|b|，∴a＋b0.∴a2－|a＋b|＝|a|－|a＋b|＝－a＋a＋b＝b.故选C.4．12的负的平方根介于(B)A．－5与－4之间B．－4与－3之间C．－3与－2之间D．－2与－1之间解析：∵－16＜－12＜－9，∴－4＜－12＜－3.故选B.5．计算：12－3＝3.6．计算：12×1825＝35.解析：原式＝12×1825＝925＝35.7．计算：(2＋2)(2－1)＝2.解析：原式＝2(2＋1)(2－1)＝2[(2)2－1]＝2.8．若y＝2－x＋x－2－2成立，则yx＝4.解析：∵2－x≥0，x－2≥0，∴2－x≥0，x－2≥0，∴2≤x≤2.∴x＝2，y＝－2.∴yx＝(－2)2＝4.9．计算：48÷3－12×12＋24.解：原式＝16－6＋24＝4－6＋26＝4＋6.10．计算：(23－32)2＋(2＋3)(2－3)．解：原式＝12＋18－126＋4－3＝31－126.考点训练一、选择题(每小题3分，共42分)1．(2014·南通)若12x－1在实数范围内有意义，则x的取值范围是(C)A．x≥12B．x≥－12C．x12D．x≠12解析：由题意，得2x－10，解得x12.故选C.2．下列式子中，属于最简二次根式的是(B)A.9B.7C.20D.133．(2014·滨州)估计5在(C)A．0～1之间B．1～2之间C．2～3之间D．3～4之间解析：∵459，∴253.故选C.4．(2014·孝感)下列二次根式中，不能与2合并的是(C)A.12B.8C.12D.18解析：12＝22，8＝22，12＝23，18＝32，12化简后与2的被开方数不同，不能与2合并．故选C.5．(2014·临夏州)下列计算错误的是(B)A.2·3＝6B.2＋3＝5C.12÷3＝2D.8＝22解析：A中，2·3＝2×3＝6，故A正确；B中，两项被开方数不同，不能合并，故B错误；C中，12÷3＝12÷3＝4＝2，故C正确；D中，8＝22×2＝22，故D正确．故选B.6．(2014·连云港)计算－32的结果是(B)A．－3B．3C．－9D．9解析：原式＝|－3|＝3.故选B.7．若y＝x－5＋15－3x＋3，则xy＝(D)A．－15B．－9C．9D．15解析：∵x－5≥0且15－3x≥0，∴x＝5，∴y＝3.∴xy＝5×3＝15.故选D.8．化简3a24(a0)的结果是(B)A．23aB.3a2C.3a2D.3a4解析：3a24＝3·a24，∵a＞0，∴原式＝3a2.故选B.9．下列各数中，与3的积为有理数的是(C)A.2B．32C．23D．2－3解析：A中，2×3＝6，积是无理数；B中，32×3＝36，积是无理数；C中，23×3＝6，积是有理数；D中，(2－3)×3＝23－3，积是无理数．故选C.10．(2013·临沂)计算48－913的结果是(B)A．－3B.3C．－1133D.113311．(2014·内江)按如图所示的程序计算，若开始输入的n值为2，则最后输出的结果是()A．14B．16C．8＋52D．14＋2解析：将n＝2代入n(n＋1)＝2＋2，这个结果比15小，再将n＝2＋2代入n(n＋1)＝8＋52，因为2的值约等于1.414，所以这个结果大于15，可以直接输出结果．故选C.答案：C12．如果2a－12＝1－2a，则(B)A．a＜12B．a≤12C．a＞12D．a≥1213．已知实数m，n在数轴上的对应点的位置如图，则|m－n|＋n－12的值是(D)A．m－1B．m＋1C．2n－m＋1D．2n－m－1解析：由数轴上点的位置，可得m＜0＜1＜n，∴m－n＜0，n－1＞0，∴|m－n|＋n－12＝n－m＋n－1＝2n－m－1.故选D.14．(2014·济宁)如果ab＞0，a＋b＜0，那么下面各式：①ab＝ab；②ab·ba＝1；③ab÷ab＝－b.其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．①②③解析：∵ab＞0，a＋b＜0，∴a，b同号，且a＜0，b＜0，∴ab＞0，ba＞0.ab＝ab等号右边被开方数小于零，无意义，∴①不正确；ab·ba＝ab·ba＝1，∴②正确；ab÷ab＝ab·ba＝b2＝－b，∴③正确．故选B.答案：B二、填空题(每小题3分，共24分)15．(2014·云南)计算：8－2＝2.解析：8－2＝22－2＝2.16．计算：32－12的结果是2.17．(2014·威海)计算：45－25×50＝5.解析：原式＝35－25×50＝35－25＝5.18．(2014·临夏州)已知x，y为实数，且y＝x2－9－9－x2＋4，则x－y＝－1或－7.解析：∵x2－9≥0,9－x2≥0，∴x2－9＝0，∴x＝±3.∴y＝4.当x＝3，y＝4时，x－y＝3－4＝－1；当x＝－3，y＝4时，x－y＝－3－4＝－7.19．(2014·福州)计算：(2＋1)(2－1)＝1.解析：由平方差公式，可得(2＋1)(2－1)＝(2)2－12＝2－1＝1.20．计算：－36＋214＋327＝－32.解析：原式＝－6＋32＋3＝－32.21．已知a，b为实数，且ab≠0，那么a2a－b2b＝0或±2.解析：当a＞0，b＞0时，原式＝1－1＝0；当a＜0，b＜0时，原式＝－1＋1＝0；当a＜0，b＞0时，原式＝－1－1＝－2；当a＞0，b＜0时，原式＝1－(－1)＝2.综上所述，a2a－b2b的值为0或±2.22．设S1＝1＋112＋122，S2＝1＋122＋132，S3＝1＋132＋142，…，Sn＝1＋1n2＋1n＋12.设S＝S1＋S2＋…＋Sn，则S＝(用含n的代数式表示，其中n为正整数)．解析：∵S1＝1＋112＋122＝94，∴S1＝32＝1＋12＝1＋1－12；∵S2＝1＋122＋132＝4936，∴S2＝76＝1＋16＝1＋12－13；…，∴S＝1＋1－12＋1＋12－13＋1＋13－14＋…＋1＋1n－1n＋1＝1·n＋1－1n＋1＝n2＋2nn＋1.答案：n2＋2nn＋1三、解答题(共34分)23．(1)(4分)(2014·岳阳)计算：－23＋2×8＋3－1－22.解：原式＝23＋4＋13－4＝1.(2)(5分)(2014·巴中)计算：|－3|＋2sin45°＋tan60°－－13－1－12＋(π－3)0.解：原式＝3＋2×22＋3－(－3)－23＋1＝3＋1＋3＋3－23＋1＝5.(3)(5分)(2014·张家界)计算：(5－1)(5＋1)－－13－2＋|1－2|－(π－2)0＋8.解：原式＝5－1－9＋2－1－1＋22＝32－7.24．(6分)先化简下式，再求值：2x2＋y2x＋y－x2＋2y2x＋y，其中x＝2＋1，y＝22－2.解：原式＝x2－y2x＋y＝x－y.当x＝2＋1,y＝22－2时，原式＝2＋1－(22－2)＝3－2.25．(6分)(2013·孝感)先化简，再求值：1x－y÷1y－1x，其中x＝3＋2，y＝3－2.解：原式＝1x－y·xyx－y＝xyx－y2.当x＝3＋2，y＝3－2时，原式＝3＋23－23＋2－3＋22＝18.26．(8分)(2013·黔西南)阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如3＋22＝(1＋2)2.善于思考的小明进行了以下探索：设a＋b2＝(m＋n2)2(其中a，b，m，n均为整数)，则有a＋b2＝m2＋2n2＋2mn2.∴a＝m2＋2n2，b＝2mn.这样小明就找到了一种把类似a＋b2的式子化为平方式的方法．请你仿照小明的方法探索并解决下列问题：(1)当a，b，m，n均为正整数时，若a＋b3＝(m＋n3)2，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝m2＋3n2，b＝2mn；(2)利用所探索的结论，找一组正整数a，b，m，n填空：4＋23＝(1＋13)2；(3)若a＋43＝(m＋n3)2，且a，m，n均为正整数，求a的值．解：(1)∵a＋b3＝(m＋n3)2，∴a＋b3＝m2＋3n2＋2mn3，∴a＝m2＋3n2，b＝2mn.(2)设m＝1，n＝1，则a＝m2＋3n2＝4，b＝2mn＝2.(3)由题意，得a＝m2＋3n2，b＝2mn.∵4＝2mn，且m，n均为正整数，∴m＝2，n＝1或m＝1，n＝2.∴a＝22＋3×12＝7或a＝12＋3×22＝13.