信号与系统第三章：傅里叶变换

LOGO1傅里叶变换上海大学机自学院2上一章（线性时不变系统的时域分析）回顾上一章其实质是在时域中进行系统分析的任务，也就是说解决在给定的时域输入信号激励作用下，系统在时域中将产生什么样响应的问题。之所以称为时域分析，是由于在系统分析的过程中，所涉及的函数变量均为时间t，故这一方法称之为“时域分析法”。该方法比较直观，物理概念清楚，是学习各种变换域分析法的基础。主要内容，可概括为如下几个方面：1、时域分析的基本概念系统时域响应的概念和四种主要响应形式。2、离散系统的时域分析差分和差分方程的含义和建立；差分方程的经典解法，以及各种响应的具体求解。3、单位冲击响应与单位样值响应单位冲击响应和单位样值响应的概念和实质；通过微分方程或差分方程的求解方法。4、卷积积分卷积积分的基本概念和意义；采用定义法和图解法进行求解的方法和步骤；卷积积分的重要性质。5、卷积和卷积和的基本概念和意义；通过定义、性质以及图解法和不进位乘法熟练进行求解的方法和步骤。3第三章主要内容3.1信号分解为正交函数(一般了解）3.2傅里叶级数3.3周期信号的频谱3.4非周期信号的频谱（傅里叶变换）3.5傅里叶变换的性质3.6卷积定理3.7周期信号的傅里叶变换3.8.抽样信号的傅里叶变换与取样定理4时域分析时域分析的要点是，以冲激信号或单位信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数或单位函数；且，对于连续时间系统对于离散时间系统在本章的分析中，所指的信号和系统均为连续时间信号和连续时间系统。)()()(tfthtyf)()()(kfkhkyf5变换域变换域一般指：频域、S域和Z域；也就是通过各种数学变换，将时域的信号与系统变换到频域、S域和Z域中进行分析和观察，这样不仅能够简化信号与系统在时域分析中的复杂计算，更主要的是：可以观察到信号与系统在时域分析中所无法看到的一些奇妙的现象和特性，从而可以多角度地对信号与系统有更深刻的认识和更全面的把握。采用变换域分析的目的：主要是简化分析。这章傅里叶变换主要从信号分量的组成情况去考察信号的特性。从而便于研究信号的传输和处理问题。6由于这里用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。111sin(),cos(),0,1,2jntntnten任意周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数之和。本章以正弦函数或(虚指数函数)为基本信号任意非周期信号可以表示为一系列不同频率的正弦或虚指数函数积分。7信号分解为正交函数的原理与矢量分解为正交矢量的概念相似。yxyvC2xvC1AyxvCvCA21yxvv,为各相应方向的正交单位矢量。它们组成一个二维正交矢量集。矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。3.1信号分解为正交函数8矢量正交集矢量正交的定义矢量和内积为零，即矢量正交集：指由两两正交的矢量组成的矢量集合。如三维空间中，所组成的集合就是矢量正交集，且完备。矢量表示为1,2,3()yyyyVVVV1,2,3()xxxxVVVV310TxyxiyiiVVVV(1,0,0)xV(0,1,0)yV(0,0,1)zV(1,2.5,4)A2.54xyzAVVV矢量正交分解的概念可以推广到信号空间，在信号空间找到若干个相互正交的信号作为基本信号，使得信号空间中的任意信号均可表示成它们的线性组合。9（2）正交函数集在区间上的n个函数（非零）……,其中任意两个均满足为常数，则称函数集为区间内的正交函数集。],[21tt)(1t)(2t210)()(21ttdttt)(1t],[21tt（1）正交函数在区间上定义的非零实函数和若满足条件则函数与为在区间的正交函数。正交函数集)(2t)(1t],[21tt)(tn21)()(ttjidttt,0,0jikjiiik)().........(1ttn],[21tt10完备正交函数集之外不存在函数如果在正交函数集)().........(1ttn)(t满足等式210)()(ttidtttni,.......,2,1，则称该函数集为完备正交函数集。三角函数集：在区间内组成完备正交函数集。1111111,cos,cos2,cos,,sin,sin2,sin,ttntttnt00(,)ttT12/T11111,cos,sinntnt是一个完备的正交函数集t在一个周期内，n=1,...2112cossin0TTntmdt2112,coscos20,TTTmnntmtdtmn2112,sinsin20,TTTmnntmtdtmn由积分可知三角函数集1210,1,2)jnten复指数函数集：（其中111111110tTjntjntttTjntjntteedtmneedtT12T为指数函数的公共周期1n,jnte当为一完备的正交函数集复指数函数集13信号分解为正交函数设有n个函数)(,....,)(,)(21tttn在区间),(21tt构成一个正交函数空间。将任一函数用这个正交函数的线性组合来近似，可表示为：)(tfnnjjjnntCtCtCtCtf12211)()(......)()()(14根据最小均方误差原则，可推出：dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212式中：dttKttii21)(2如果分解的项数越多则误差愈小。即n，均方误差02，即在区间内分解为无穷多项)(tf),(21tt之和。15将周期信号)()(mTtftf在区间Ttt00,内展开成完备正交信号空间中的无穷级数。如果完备的正交函数集是三角函数集或指数函数集，那么，周期信号所展开的无穷级数就分别称为“三角形傅里叶级数”或“指数形傅里叶级数”，统称为傅里叶级数。3.2傅里叶级数1111111,cos,cos2,cos,,sin,sin2,sin,ttntttnt10,1,2)jnten（16设有一个周期信号它的周期是，角频率它可分解为：一、周期信号的分解01111cos()sin()2nnnnaantbnt122/FT()ftT011211121()cos()cos(2)2sin()sin(2)aftatatbtbt其中称为傅里叶系数，。nnba,12T17dttfTaTT220)(12傅里叶系数如何求得dtttfKdttdtttfCittittittii)()(1)()()(2121212式中：dttKttii21)(22122122()cos(),0,1,2,2()sin(),1,2,TTnTTnaftntdtnTbftntdtnT18由上式可见，是的偶函数，是的奇函数，nannnaanbnnnbb2122122()cos(),0,1,2,2()sin(),1,2,TTnTTnaftntdtnTbftntdtnT由于是同频率项,因此可将其合并11cossinntnt和19式中：,.....3,2,1,22nbaAnnn00aA)arctan(nnnab则有00Aa......,2,1,cosnAannnnnnAbsin......,2,1,nnAnnnAA可见，是的偶函数，即有而是nn的奇函数，即有nn0111212011()cos()cos(2)2cos()2nnnAftAtAtAAnt20一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。nnAnn1cos()nnAnt可见，任何满足狄里赫利条件的周期信号均可分解为直流分量，一次谐波或基波(它的角频率与原周期信号相同)，二次谐波，以此类推，三次，四次等谐波。20A111cos()At212cos(2)At21狄里赫利条件（1）在一周期内，间断点的数目有限；（2）在一周期内，极大、极小值的数目有限；（3）在一周期内，dttfTtt11)(电子技术中的周期信号大都满足狄里赫利条件条件，当f(t)满足狄里赫利条件时，才存在。nnncba,,22结论：周期信号可分解为各次谐波分量之和。一般而言称为次谐波，是次谐波的振幅，是其初相角。nnAnn1cos()nnAnt0111212011()cos()cos(2)2cos()2nnnAftAtAtAAnt23解：例3.2-1将下图中的方波信号展开为傅里叶级数01111212021102()cos()sin()22()cos()22(1)cos()cos()nnnnTTnTTaftantbntaftntdtTntdtntdtTT241111101221sin()sin()202200,1,2,3,nTntntTnTTnanT2521202110211112()sin()22(1)sin()sin()02121cos()[cos()]202111[1cos()][cos()]0,2,4,6,8,2[1cos()]4,1,3,5,7,TTnTTbftntdtTntdtntdtTTTntntTTnTnnnnnnnnnnn26它仅含有一、三、五、七....等奇次谐波分量。如下页图所示，是用有限项傅里叶级数来逼近的情况：,.......3,2,1,0n0na,.....7,5,3,1,4,......8,6,4,2,0nnnbn11114111()sin()sin(3)sin(5)sin()351,3,5,fttttntnn27TT/20t(a)基波0T/2Tt(b)基波+三次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波0T/2Tt(c)基波+三次谐波+五次谐波+七次谐波28（1）所取项愈多，合成波形（除间断点外）愈接近于原方波信号。（2）所取项数愈多，在间断点附近，尖峰愈靠近间断点。（3）即使，在间断点处尖峰仍不能与之吻合，有的偏差。但在均方的意义上合成波形同原方波的真值之间没有区别。(吉布斯现象）n%929若给定的有某些特点，那么，有些傅里叶系数将等于零从而使计算较为简便。)(tf（1）为偶函数)(tf则有，波形对称于纵坐标。)()(tftf二、奇偶函数的傅里叶系数30,.........2,1,022nabaAnnnn)(为整数mmabarctgnnn从而有22110221224()cos()()cos()(0,1,2,)2()sin()0(1,2,)TTTnTTnaftntdtftntdtnTTbftntdtnT31（2）为奇函数)(tf则有，波形对称于原点。)()(tftf32进而有)(2)12(为整数mmbAnnn,2,1n这时有,2,1n21004()sin()nTnabftntdtT33实际上，任意信号都可分解为奇函数和偶函数两部分。)()()()()()(tftftftftftfevodevod2)()()(2)()()(