高中数学证明不等式的基本方法

证明不等式的基本方法比较法方法综述比较法是最原始，也是最常用的证明不等式的方法.作差比较•直接作差•平方作差•取对数作差•……作商比较(同号的时候才能用)作差后常见的处理方法：配完全平方因式分解有理化分类讨论……比较法证明不等式.,,,,.).(..)())((.][bnamnbmanmnmbabaabbbaababdacdcbabcad，证明且都是正数若，求证已知，求证已知题组134621122422422222..,,,..sinsinsinsin,...][mnnmnmnmbababanmbayxyxRyxbaaccbabcabccba求证已知，求证已知，求证若题组000061542222222.,,,33442233222abbabaabbabaabababbanm常见的不等式：取特殊值，可得到以下对.)(log)(log.,,..log)(log,..,,..)()(;)(,.][)(xxxaaaaacbacbacbaabbabababaaaaabaaccbcbababaabba111010101298217312222求证：设求证：已知是正数，求证已知是正实数，求证已知题组证明不等式的基本方法综合法、分析法方法综述常利用分析法找思路，综合法表述，或分析综合结合运用“添”、“拆”、“并”等代数变形技巧，灵活使用一些常用不等式关注“1”这个常见条件1、运用拆、并项等技巧，凑成能运用基本不等式的形式。2、熟悉一些已证过的常用不等式形式：cabcabcbaabbaababbaabbaabbaabbababaababbaabbaaa2222222222225020200244212230201)()(),(),((,)(,)(,2)(;)(;)(及其变式：）的变式：).(,,,,,,.).(,,,..,..,.).()()()(,,,..,,,..)())((,,,,,.)]([zxyzxyzcbaybacxacbRcbaRzyxcbaabccbacbannnaccbbacbabaccabcbacbaRcbaabccbaaccbbacbaaaaaaaRaaannnn2171634015011114213012211111142224442222333222222212121求证：已知求证为互不相等的实数已知求证已知求证已知求证已知求证已知求证且已知课本习题题组.:,,,,,.).()(;)(:,,,,..)(;)(;)(:,,,,.][34111203231119313323111185222222bacbacbaabccbacbaabcacbbcacbacabcabRcbacabcabcbacbacbaRcba求证满足已知实数求证且已知求证且已知题组*与“1”有关的证明证明不等式的常用技巧放缩方法综述常见类型1、添项或减项的“添舍”放缩2、函数的单调性放缩3、重要不等式放缩（包括基本不等式、真分数性质）4、利用二项式定理进行放缩5、拆项对比的分项放缩，如：122211111121121111111nnnnnkkkkkkkkkkkk!,)(!,,)(,)(1、放缩成等比数列或可裂项求和的数列2、适当调整从第几项开始放缩3、注意放缩的幅度*).()())()(().(.)()(,)(..,,,..,,,,.][NnnnnSnnnnScbacacababaRcbacaddbdccacbbdbaaRdcbann12121151131111185421211322132211122222求证：上海求证：设求证：若求证已知题组添、减项放缩.,,)()(*).(,,,,)(,,),,(),,(),,(..)(..)(.),,,(.][2321110821312111127411212519164321131211121522111122221112222nnnnnnnnnnnnnnnTSSSTSPxNnxxxPPxPxxyPnyxPyxPyxPxoynnnnnnnnn求证：的面积为设圆是等差数列；求证：数列且若又彼此外切与圆且圆轴都相切为圆心的圆与以点的图象上位于函数点对每个非零自然数平面上有一系列点在求证求证求证题组···放缩成裂项求和放缩成等比数列).(,,,)(.)().(,,)(..)(,,)(;)();(____,)(.,,,..,.][124124524511816251115545553212142102112931111111111113221nnnnnnnnnnnnkknnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnnSnnbSabbaafaaaxxxfxxxxxxxxnbaxbabbbabaxbanaaaaaaa时求证：当项和的前为记满足设数列的大小，并说明理由与比较满足设正项数列已知函数求证：；个更接近于中哪一与并说明小另一个比大中一个比与求证：表示试用，不必证明、、填时填空当满足、、已知数列证明已知题组能求和的，先求和再放缩不能求和的，先放缩再求和二项式定理放缩.:)()(.,*:....*.][24225216166114121331121241122122nnanaanananNnananaanNnnnnnnnnnnnnn时，在证明的通项公式；求数列时，有且在满足列已知各项均为正数的数，求证：的通项数列，都有求证：对一切题组用二项式定理进行放缩证明不等式的常见方法：(1)保留前面若干项或保留前后对称的若干项；(2)对通项进行放缩，再利用数列求和的知识.证明不等式的常用技巧换元方法综述三角换元的常见类型).(tan,tan,tan)(;cottan)(;sincos)(;sin,cos)()(;sin,cos)(;sin,cos)(CBACzByAxxyzzyxxxxxxxrbyraxrbyaxkrryrxkyxryrxryx，可设若或，可设对于或，可设对于，可设若，可设若，可设若6151430212222222222222•增量代换：在对称式(任意互换两个字母,代数式不变)和给定字母顺序(如a＞b＞c)的不等式,可以增量进行代换,代换的目的是减少变量的个数,使问题化难为易,化繁为简。三角换元.||,,,..||),(,,,,..:),(.][20383417200161314915522222222222222bababaRbaRrbdacRrRdcrbadcbayxyxyxM求证：已知求证：，都是实数，且已知上，求证在椭圆已知点题组增量代换.:,..:,,,,..][11naaaaaacbacbaRcbacacbbacbann11203111941118622222222求证已知求证且已知，求证：已知题组证明不等式的常用技巧构造方法综述构造函数证明不等式构造函数——探讨函数的单调性或最值——转化为不等式证明能化成同一代数结构的，抽象为一个函数的不同函数值两个变量的，考虑主元思想构造向量yxyxyxyxyx构造函数mccmbbmaamcbaABCbbaababaRba:,,,,.||||||||||||,.][求证为正数且的三边长是已知求证：、已知题组22111217构造向量).(,,..)())((.][cbaaccbbacbabdacdcbabcad22423822222222222都是非负实数，求证：已知，求证已知题组更多题型参见《导数的应用》