第七讲-三角形的有关概念与性质

春季同步课程三角形的有关概念与性质教学目标1.通过操作、观察、思考等探究活动，体会并掌握三角形任意两边之和大于第三边，并能运用三边之间的关系对三条线段是否能构成三角形作出正确判断.2.理解三角形的高、中线、角平分线的概念，会画这些特殊的线段；通过画图，探索和认识三角形的三条中线、三条角平分线、三条高所在的直线的交点问题.3.通过分别观察、比较三角形的边长、角的大小特征，理解三角形的分类；进一步体会分类的思想.4.经历对三角形内角和进行实验、猜想、说理证实的研究过程，体会直观感知与理性思考的联系和区别，懂得直观结论需要说理证实.5.掌握三角形的内角和性质，知道三角形的外角及外角的含义，掌握三角形外角的性质，能运用三角形内角与外角的性质进行简单的说理计算，初步经历和体验几何推理的过程.教学重点1.明确三角形的概念和符号表示；让学生掌握三角形三边之间的关系；理解三角形的高、中线、角平分线的含义，会画这些基本线段.2.使学生懂得三角形的分类，初步体会分类的思想和方法；认识各类三角形的中线、角平分线和高线的交点问题，提高画图能力.3.探索、归纳并证实三角形内角和的性质，学生初步会用这一性质进行说理、计算和判断.4.让学生知道三角形的外角及外角和的含义，掌握三角形外角的性质；能运用三角形外角的性质进行简单的说理计算和几何推理.5.掌握三角形内角和性质及外角性质的基本运用，并尝试说明两个角相等的几何推理过程.教学难点1.对三角形三边关系的灵活、熟练运用.2.会用三角形内角和性质及外角和性质进行说理、计算和判断.3.会用概念进行简单的计算、说理及解决实际问题.教学方法建议1.学生在小学阶段对三角形已经有了一定的直观认识，本课需要规范三角形及其边、角的表示，理解三角形的三边关系.2.可让学生分别观察三角形的中线、角平分线、高所在的直线是否交于一点；还可结合练习题讨论交点的位置.这些问题，也可不进行讨论.3.对操作实验得到的结论，可以借助多媒体任意改变三角形的形状，验证实验的结果，加深直观感知，关于交点问题，只要求知道事实，不要求知道交点的名称，有关的证明，以后再论证几何中给出.春季同步课程第一部分知识梳理一、三角形的有关概念.1、三角形的定义.三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次联结组成的平面图形.（如图（1）中，线段AB、线段AC、线段BC首尾顺次联结组成的图形）【注】三条线段必须不在同一直线上.2、三角形的基本元素.（1）边：组成三角形的三条线段成为三角形的边.如图（1）所示组成三角形ABC的三条线段AB、BC、CA即为三角形的三边.（2）顶点：点A、点B、点C称为三角形的三个顶点.如图（1）所示，顶点即为三角形两条边的公共点.（3）内角：在三角形中，每两条边所组成的角叫做三角形的内角.如图（1）所示，∠ABC、∠BCA、∠CAB是三角形的三个内角.（4）外角：三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角.如图（1）所示，∠ACD即为三角形的一个外角.（5）符号：如图（1）所示，顶点为A、B、C的三角形可用符号表示为“△ABC”，读作：“三角形ABC”，△ABC的三边也可用小写字母a、b、c表示.如图（1）所示顶点A所对的边用a表示，顶点B所对的边用b表示，顶点C所对的边用c表示.【注】①数三角形的个数时，要按照一定的规律或顺序去数，否则就会重复或遗漏.其方法有：ⅰ)按照图形的形成过程（即重新画一遍图形，按照三角形形成额额额额先后顺序去数）；ⅱ)按照三角形的大小顺序去数；ⅲ)可以从图中的某一条线段开始沿着一定的方向去数；ⅳ)还可以先固定一个顶点，变换另两个顶点去数.②三角形的外角还可定义为：三角形一个内角的邻补角.三角形的每一个内角有两个邻补角，因此一个三角形有六个外角.如图（2）所示，∠1、∠2、∠3、cbD图(1)aABC图(2)123456ABC春季同步课程∠4、∠5、∠6为△ABC的六个外角.二、三角形三边关系定理及推论1、定理及推论.三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.2、定理及推论的作用.（1）判断以a、b、c为边是否能组成三角形.判断方法有三种：①当a+b＞c，b+c＞a，c+a＞b都成立时，能组成三角形；②当|a-b|＜c＜a+b时，可以构成三角形.③如果a≤b≤c，则只要a+b＞c（用较短边之和与较长边比较）,就可以组成三角形，这也是一种比较简便的方法.（2）当已知两边时，可确定第三边长度的范围.即：|两边之差|＜第三边＜两边之和.例如：如图3在△ABC中，a=2，b=5,则第三边的范围是|2-5|＜c＜2+5，即3＜c＜7.（3）证明线段不等关系.三、三角形的三条重要线段.1、三角形的中线.联结三角形一个顶点与对边中点的线段，叫做三角形的中线.如图（4），在△ABC中，点D、E、F分别为边AC、AB、BC的中点.即：线段BD、CE、AF分别为边AC、AB、BC的中线.【注】①一个三角形有三条中线，并且都在三角形内部，它们相交于一点.②三角形的中线是一条线段.③三角形一条中线将三角形分成两个三角形，由于这两个三角形等底同高，所以分成的两个三角形面积相等.如图（4）△ABF与ACF、△ABD与△CBD、△ACE与△BCE这三对三角形为等底同高面积相等的三角形.2、三角形的角平分线.三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段，叫做三角abc图(3)CBA图(4)DEFABC春季同步课程形的角平分线.如图（5），线段AF、BD、CE为△ABC的角平分线.【注】①一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形内部，它们相交于一点.②三角形的角平分线是一条线段，而角的平分线是一条射线，注意二者的区别.3、三角形的高.从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足间的线段，叫做三角形的高.如图（6），线段AF、BD、CE为△ABC的高.【注】①如图（7）锐角三角形、钝角三角形、直角三角形都有三条高.锐角三角形的高在三角形的内部，相交于一点；钝角三角形的两条高在三角形的外部，一条高在内部，三条高所在的直线交于三角形外一点；直角三角形的两条高与直角边重合，另一条高在三角形的内部，它们交于直角顶点.根据高与三角形的位置关系，可以判断三角形的形状.②三角形边上的高是线段，而该边的垂线是直线.四、三角形的分类.1、按角分类.三角形{锐角三角形直角三角形钝角三角形【注】锐角三角形指所有内角都是锐角的三角形；直角三角形指有一个内角是直角的三角形；钝角三角形指有一个内角是钝角的三角形.2、按边分类.三角形{不等边三角形等腰三角形{底边和腰不相等的等腰三角形等边三角形图(5)FDABCE图(6)FEABDC图(7)FFCEBAABDCDECDBA春季同步课程【注】不等边三角形指三条边互不相等的三角形；等腰三角形是指至少有两条边相等；等边三角形指三条边都相等的三角形.五、三角形内角和定理及其推论.1、三角形内角和定理.（1）定理：三角形三个内角的和等于180°.如图（8），在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°.（2）作用：在三角形中已知两个内角可求出第三个内角，或已知各角之间的关系求各角.2、三角形内角和定理的推论.（1）推论：直角三角形两个锐角互余.如图（9），在直角三角形△ABC中，∠C=90°，则∠A+∠B=90°.（2）作用：①已知直角三角形的一个锐角求另一个锐角，或已知两锐角之间的关系求这两个角.②常与同角（或等角）的余角相等结合，一起证角相等.六、三角形的外角的概念及性质.1、三角形外角的概念.三角形的一边及另一边的延长线所组成的角，叫做三角形的外角.如图（10），∠ACD即为三角形的一个外角.2、三角形外角的性质.（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.如图（10），△ABC的外角∠ACD=∠A+∠B.（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.如图（10），△ABC的外角∠ACD＞∠A，∠ACD＞∠B.3、三角形外角和.（1）对于三角形的每一个内角，，从与它相邻的两个外角中取一个，这样取得的三个外角相加所得的和，叫做三角形的外角和.（2）三角形外角和等于360°.如图（11）△ABC的外角CAB图(8)ABC图(9)图(10)CABD图(11)123456ABC春季同步课程和为∠1+∠3+∠5=360°.第二部分例题精讲例1某同学手里拿着长为3和2的两个木棍，想要找一个木棍，用它们围成一个三角形，那么他所找的这根木棍长满足条件的整数解是（）A．1，3，5B．1，2，3C．2，3，4D．3，4，5出题意图：本题主要考查三角形三边关系.解析：首先根据三角形三边关系定理：①三角形两边之和大于第三边②三角形的两边差小于第三边求出第三边的取值范围，再找出范围内的整数即可．此题主要考查了三角形三边关系，掌握三角形三边关系定理是解题的关键.解：设他所找的这根木棍长为x，由题意得：3﹣2＜x＜3+2，∴1＜x＜5，∵x为整数，∴x=2，3，4，故选：C．针对训练1一个三角形的两边长是2厘米和7厘米，第三边长的数值是一个偶数，求这个三角形的周长.例2已知等腰三角形两边之长分别为a、b，且满足|a-b+2|+(2a+3b-11)2=0,求此等腰三角形的周长.出题意图：考查三角形三边关系及等腰三角形的分类讨论.解析：已知等腰三角形的两边，首先要分类讨论哪条是腰哪条是底边，最后还要考虑结果是否满足三角形三边关系.解：由题意，得{𝑎−𝑏+2=02𝑎+3𝑏−11=0解方程组，得{𝑎=1𝑏=3若腰长为a=1，则三边长分别为1、1、3.不满足两边之和大于第三边的条件，不能组成三角形，舍去.春季同步课程若腰长为b=3，则三边长分别为1、3、3.满足两边和大于第三边的条件，此等腰三角形的周长为7.针对训练2△ABC是等腰三角形，AB=12cm，AC=5cm，那么BC的长度是多少例3（1）如图（1）在三角形ABC中，BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB，联结AO，若∠BAO=30°，求∠BAC的度数.（2）如图（2），在△ABC中，边AB上的中线CE与边AC上的中线BD交于点O，AF过点O，若BC=4cm，求BF的长度.出题意图：本题考查三角形角平分线，三角形中线.解析：（1）根据三角形角平分线交于一点及角平分线的意义求解.（2）根据三角形中线交于一点及三角形中线的定义求解.解：（1）∵BO、CO分别平分∠ABC与∠ACB（已知）∴AO平分∠BAC（三角形的角平分线交于一点）∵∠BAC=2∠BAO（角平分线的定义）由∠BAO=30°（已知）∴∠BAC=60°.（等式的性质）（2）∵CE、BD是△ABC的两条中线（已知）∴AF是BC边上的中线（三角形的三条中线交于一点）∴BF=12BC（中线的定义）由BC=4cm（已知）∴BF=2cm（等式的性质）针对训练3OCAB图(1)OCABD图(2)FECABD图(3)春季同步课程如图（3），在△ABC中，已知BD、CD分别为角平分线，∠A=50°，求∠BDC的度数.例4在△ABC中：(1)∠A：∠B：∠C=3：2：1，问△ABC是什么三角形？(2)∠A－∠C=35°，∠B－∠C=10°，求∠B.出题意图：本题考查主要三角形的分类、三角形的内角和定理.解析：（1）利用设k法，将△ABC的三个内角用k表示出来，再根据三角形内角和定理列方程，解方程求解.（2）利用已知当中的两个等量关系及三角形内角和等于180°，求出各个内角.答案：解：(1)设∠C=k，则∠B=2k，∠A=3k，所以∠A+∠B+∠C=6k=180°，∴k=30°=∠A，∠B=60°，∠C=90°，所以△ABC为直角三角形(2)∵∠A－∠C=35°，∠B－∠C=10°∴∠A=35°+∠C∠B=10°+∠C，∴∠A+∠B+∠C=180°，即35°+∠C+10°+∠C+∠C=3∠C+45°=180°，∴∠C=45°，∠B=55°针对训练4已知：在△ABC中，∠A∶∠B∶∠C＝2∶3∶5，求三角形的三个内角的度数．例5如图（4），在△ABC中，已知∠A=28°，∠C=56°，BE