2016年高考全国Ⅰ理科数学试题及答案(word解析版)

12016年普通高等学校招生全国统一考试（全国Ⅰ）数学（理科）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．（1）【2016年全国Ⅰ，理1，5分】设集合2|430Axxx，|230Bxx，则AB（）（A）33,2（B）33,2（C）31,2（D）3,32【答案】D【解析】{|13}Axx，3{|}2Bxx，3{|3}2ABxx，故选D．【点评】考察集合运算和简单不等式解法，属于必考题型，难易程度：易．（2）【2016年全国Ⅰ，理2】设(1i)1ixy，其中x，y是实数，则i=xy（）（A）1（B）2（C）3（D）2【答案】B【解析】由题意知：1xy，i=1i2xy，故选B．【点评】察复数相等条件和复数的模，属于必考题型，难易程度：易．（3）【2016年全国Ⅰ，理3，5分】已知等差数列na前9项的和为27，108a，则100a（）（A）100（B）99（C）98（D）97【答案】C【解析】解法一：199599272aaSa，53a1051105aad100101001089098aad，选C．解法二：91989272Sad，即143ad，又10198aad，解得11,1ad，1001100119998aad，故选C．【点评】考察等差数列的基本性质、前n项和公式和通项公式，属于必考题型，难易程度：易．（4）【2016年全国Ⅰ，理4，5分】某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是（）（A）13（B）12（C）23（D）34【答案】B【解析】小明可以到达车站时长为40分钟，可以等到车的时长为20分钟，则他等车时间不超过10分钟的概率是201402P，故选B．【点评】考察几何概型的概率计算，第一次考察，难易程度：易．（5）【2016年全国Ⅰ，理5，5分】已知方程222213xymnmn表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是（）（A）1,3（B）1,3（C）0,3（D）0,3【答案】A【解析】由题意知：2234mnmn，解得21m，1030nn，解得13n，故选A．【点评】考察双曲线的简单几何性质，属于了解层次，必考题，难易程度：易．（6）【2016年全国Ⅰ，理6，5分】如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径．若该几何体的体积是283，则它的表面积是（）2（A）17（B）18（C）20（D）28【答案】A【解析】该几何体为球体，从球心挖掉整个球的18（如右图所示），故34728383r解得2r，2271431784Srr，故选A．【点评】考察三视图还原，球的体积表面积计算，经常考察，难易程度：中等．（7）【2016年全国Ⅰ，理7，5分】函数22xyxe在[2,2]的图像大致为（）（A）（B）（C）（D）【答案】D【解析】解法1（排除法）：2()2xfxxe为偶函数，且2(2)887.40.6fe，故选D．解法2：2()2xfxxe为偶函数，当0x时，'()4xfxxe，作4yx与xye（如图），故存在实数0(0,1)x，使得'0()0fx且0(0,)xx时，'0()0fx，0(,2)xx时，'0()0fx，()fx在0(0,)x上递减，在0(,2)x上递增，故选D．【点评】本题结合导数利用函数奇偶性，综合考察函数解析式与函数图像之间的关系，常规题型，属于必考题，难易程度：中等．这类题型的最佳解法应为结合函数的性质，选取特殊点进行排除．（8）【2016年全国Ⅰ，理8，5分】若101abc，，则（）（A）ccab（B）ccabba（C）loglogbaacbc（D）loglogabcc【答案】C【解析】解法1（特殊值法）：令14,22abc，，易知C正确．解法2：当0时，幂函数()fxx在(0,)上递增，故A选项错误；当1a时，a越大对数函数()logafxx的图像越靠近x轴，当01c时，loglogabcc，故D选项错误；ccabba可化为()caabb，由指数函数知，当1a时，()xfxa在(0,)上递增，故B选项错误；loglogbaacbc可化为11loglogabbacc，1111abbbba，故选C．【点评】本题综合考察幂函数、指数函数、对数函数的性质和不等式的性质，属于常考题型，难易程度：中等．结合函数性质证明不等式是比较麻烦的，最好采用特殊值法验证排除．（9）【2016年全国Ⅰ，理9，5分】执行右面的程序图，如果输入的011xyn，，，则输出x，y的值满足（）（A）2yx（B）3yx（C）4yx（D）5yx【答案】C【解析】011xyn，，时，框图运行如下：1、012xyn，，；2、1232xyn，，；3、3632xyn，，，故选C．【点评】考察算法中的循环结构，必考题型，难易程度：易．（10）【2016年全国Ⅰ，理10，5分】以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A、B两点，交C的标准线于D、E两点．已知42AB，25DE，则C的焦点到准线的距离为（）（A）2（B）4（C）6（D）83【答案】B【解析】解法1排除法：当4p时，不妨令抛物线方程为28yx，当22y时，1x，即A点坐标为1,22，所以圆的半径为3r，此时D点坐标为2,5，符合题意，故B选项正确．解法2：不妨令抛物线方程为22ypx，D点坐标为,52P，则圆的半径为254pr，22834pr，即A点坐标为23,224p，所以22(22)234pp，解得4p，故选B．【点评】考察抛物线和圆的简单性质，必考题型，难易程度：中等．（11）【2016年全国Ⅰ，理11，5分】平面a过正方体1111ABCDABCD的顶点A，//a平面11CBD，aI平面ABCDm，aI平面11ABABn，则m、n所成角的正弦值为（）（A）32（B）22（C）33（D）13【答案】A【解析】令平面a与平面11CBD重合，则11mBD，1nCD，故直线m、n所成角为60o，正弦值32，故选A．【点评】考察正方体中线面位置关系和两条直线夹角的计算，必考题型，难易程度：中等．（12）【2016年全国Ⅰ，理12，5分】已知函数()sin02fxx+，，4x为fx的零点，4x为()yfx图像的对称轴，且fx在51836，单调，则的最大值为（）（A）11（B）9（C）7（D）5【答案】B【解析】解法1（特殊值验证法）令9，则周期29T，区间[]44，刚为94T，且在53636，上递减，恰好符合题意，故选B．解法2：由题意知152()24369T，所以29T，故选B．【点评】综合考察三角函数图像的单调性、对称性、零点、周期等性质，属于必考题型，难易程度：偏难．第II卷本卷包括必考题和选考题两部分．第（13）题~第（21）题为必考题，每个试题考生都必须作答．第（22）题~第（24）题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分（13）【2016年全国Ⅰ，理13，5分】设向量,1ma，1,2b，且222abab，则m．【答案】2【解析】解法一（几何法）由向量加法的几何意义知ab，故20abm，所以2m；解法二（代数法）22(1)9114mm，解得2m．【点评】考察向量运算，必考题型，难易程度：易．（14）【2016年全国Ⅰ，理14，5分】52xx的展开式中，3x的系数是．（用数字填写答案）【答案】10【解析】555215522rrrrrrrTCxxCxQ，令532r，解得4r，454525210C．【点评】考察二项式定理展开式中指定项问题，必考题型，难易程度：中等．（15）【2016年全国Ⅰ，理15，5分】设等比数列na满足1310aa，245aa，则12naaa的最大值为．【答案】644【解析】由1310aa，245aa解得118,2aq，14118()()22nnna，27321(4)21211()()22nnnnaaa，所以当3n或4时，12naaa有最大值64．【点评】考察等比数列的通项公式、等差数列求和及二次函数最值问题，必考题型，难易程度：中等．（16）【2016年全国Ⅰ，理16，5分】某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料。生产一件产品A需要甲材料1.5kg，乙材料1kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5kg，乙材料0.3kg，用3个工时，生产一件产品A的利润为2100元，生产一件产品B的利润为900元．该企业现有甲材料150kg，乙材料90kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为元．【答案】216000【解析】将题中数据分类整理如下表：产品甲（kg）乙（kg）工时利润（元）A（件）1.5152100B（件）0.50.33900限制条件15090600设生产A类产品x件，B类产品y件，两类产品利润和为z元，则x，y的限制条件如下：1.50.51500.3905360000xyxyxyxy，目标函数为2100900zxy，可行域的顶点坐标分别为(0,200),(60,100),(90,0)，代入目标函数可得max210060900100216000z．【点评】考察线性规划的应用题，数据较为繁杂，加上平时本类题型训练不够充分，容易出错，由于数据较大本题的可行域较为难作，故采用方程联立求点代入法，注意点(75,75)不适合第二个不等式，应舍去，很少考的题型，难易程度：偏难．三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（17）【2016年全国Ⅰ，理17，12分】ABC的内角ABC，，的对边分别别为abc，，，已知2cos(coscos)CaB+bAc．（1）求C，（2）若7,cABC的面积为332，求ABC的周长．解：（1）由2cos(coscos)CaB+bAc得2cos(coscos)sinCsinAB+sinBAC，即1cos2C，又(0,)C，3C．（2）2271cos22abCab，133sin22ABCSabC，6ab，2213ab2225ababab，所以ABC的周长为57．【点评】解三角形主要考察三大定理：正弦定理、余弦定理、内角和定理，采用的策略是化统一：统一成纯边或纯角问题即可，可概括为一句话：“三大定理化一统”，与数列轮流放在第17题考察，难易程度：中等偏易．（18）【2016年全国Ⅰ，理18，12分】如图，在已ABCDEF，，，，，为顶点的五面体中，面ABEF为正方形，2AFFD，90AFD，且二面角DAFE与二面角CBEF都是60．（1）证明平面ABEFEFDC．（2）求二面角EBCA的余弦值．解：（1）,AFFEAFFD，AFFECD面，又AFABFE面，所以平面ABEFEFDC．（2）解法一（向量法）：以E为坐标原点，EF，EB分别为x轴和y轴建立空间直角坐标系（如图），设2AF，则1FD，因为