力法

第十八章力法2结构超静定次数的判定方法（拆除约束法）一般从约束数少的约束开始拆（截断），直到使结构成为一个无多余约束的几何不变体系（静定结构）为止。１）去掉一根支座链杆或截断一根桁架杆，相当拆除１个约束；２）去掉一个固定铰支座或切开一个单铰，相当拆除２个约束；３）去掉一个固定支座或切开一根梁式杆，相当拆除３个约束；４）在一根梁式杆上加一个单铰，相当拆除１个约束。§18-1结构的超静定次数18-1结构的超静定次数318-1结构的超静定次数418-1结构的超静定次数518-1结构的超静定次数6例18-1-1判断图示结构的超静定次数。x1x2x3x5x7x4x4x6x7x7x1x2x3x5x618-1结构的超静定次数7一、力法基本思路有多余约束是超静定与静定的根本区别，因此，解决多余约束中的多余约束力是解超静定的关键。D1=0D11+D1P=0D11=d11x1d11x1+D1P=0§18-2力法基本概念18-2力法基本概念81力法基本未知量结构的多余约束中产生的多余未知力（简称多余力）。2力法基本体系力法基本结构，是原结构拆除多余约束后得到的静定结构；力法基本体系，是原结构拆除多余约束后得到的基本结构在荷载（原有各种因素）和多余力共同作用的体系。3力法基本方程力法基本体系在多余力位置及方向与原结构位移一致的条件。方程中的系数和自由项均是静定结构的位移计算问题，显然，超静定转化为静定问题。18-2力法基本概念9例18-2-1用力法计算图示梁，并作M图。解：１）确定力法基本未知量、基本体系２）力法方程d11x1+D1P=018-2力法基本概念10３）作M1、MP图，计算d11、D1Pd11=l/3EID1P=ql3/24EI４）代入力法方程，求x1x1=-D1P/d11=-ql2/8５）作M图M1图MP图x118-2力法基本概念11力法典型方程，指可用于多次（有限ｎ次）超静定结构的力法一般方程。一、两次超静定结构的力法方程两次超静定刚架在荷载及支座移动作用下原结构和力法基本体系。基本体系与原结构位移一致条件：D1=0,D2=-DB18-3力法典型方程18-3力法典型方程12D1=0D11+D12+D1P+D1D=0D2=-DBD21+D22+D2P+D2D=-DB因为：Dij=dijxj所以：d11x1+d12x2+D1P+D1D=0d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB18-3力法典型方程13d11x1+d12x2+D1P+D1D=0d21x1+d22x2+D2P+D2D=-DB该式为两次超静定结构在荷载和支座位移共同作用下的力法方程。有支座移动因素时，力法方程的右边项可能不为零。根据位移互等定理，有：d12=d2118-3力法典型方程14二、力法典型方程n次超静定结构的力法方程：d11x1+d12x2+…d1ixi+d1jxj+…d1nxn+D1P+D1D=D1d21x1+d22x2+…d2ixi+d2jxj+…d2nxn+D2P+D2D=D2……di1x1+di2x2+…diixi+dijxj+…dinxn+DiP+DiD=Didj1x1+dj2x2+…djixi+djjxj+…djnxn+DjP+DjD=Dj……dn1x1+dn2x2+…dnixi+dnjxj+…dnnxn+DnP+DnD=Dn系数、自由项的物理意义：dii—基本结构在xi=1作用下，沿xi方向的位移；dij—基本结构在xj=1作用下，沿xi方向的位移；DiP—基本结构在荷载作用下，沿xi方向的位移；DiD—基本结构在支座移动下，沿xi方向的位移；Di—基本结构沿xi方向的总位移＝原结构在xi方向上的实际位移。18-3力法典型方程15d11d12…d1id1j…d1nd21d22…d2id2j…d2n……F=di1di2…diidij…dindj1dj2…djidjj…djn……dn1dn2…dnidnj…dnn力法方程的系数矩阵是一个对称方阵。由其物理意义可知：主系数dii恒大于零，位于方阵左上角到右下角的主对角线上；副系数dij可大于、等于、小于零，位于主对角线两侧对称位置上；由于dii=dij，独立的系数为[n+(n2-n)/2]个。18-3力法典型方程16例解：１）确定力法基本未知量和基本体系力法方程：d11x1+d12x2+D1P=0d21x1+d22x2+D2P=0２）作M1、M2、MP图基本体系§18-4荷载作用下力法计算示例18-4荷载作用下力法计算示例17基本体系M1M2MP18-4荷载作用下力法计算示例18３）计算系数、自由项d11=5l/12EId22=3l/4EId12=d21=0D1P=FPl2/32EID2P=0４）代入力法方程，求多余力x1、x2（5l/12EI）x1+FPl2/32EI=0x1=-3FPl/40(3l/4EI)x2=0x2=0５）叠加作M图MAC=x1M1+x2M2+MP=(-3FPl/40)/2=-3FPl/80(右侧受拉）说明：力法计算刚架时，力法方程中系数和自由项只考虑弯曲变形的影响：dii=∑∫l(Mi2/EI)dsdij=∑∫l(MiMj/EI)dsDiP=∑∫l(MiMP/EI)ds18-4荷载作用下力法计算示例19例18-4-2计算图示桁架的内力，各杆EＡ=常数。解：１）力法基本体系，基本方程：d11x1+D1P=0２）计算Fni、FNP及d11、D1Pd11=∑FN12l/EA=4a(1+√2)/EAD1P=∑FN1FNPl/EA=2FPa(1+√2)/EA18-4荷载作用下力法计算示例203)代入力法方程中，求解x1x1=-D1P/d11=-FP/24)叠加计算个杆轴力FN21=FN1x1+FNP=-√2FP/2FN02=FP/2说明：力法计算桁架时，力法方程中系数和自由项只考虑轴向变形的影响：dii=∑FNi2l/EAdij=∑FNiFNjl/EADiP=∑FNiFNPl/EA18-4荷载作用下力法计算示例21例18-4-3计算图示排架，并作M图。解：１）力法基本体系，力法方程：d11x1+D1P=0２）作M1、MP图,计算d11、D1Pd11=144/EID1P=3240/EI3)代入力法方程，求x1x1=-D1P/d11=-22.5kN4)作M图18-4荷载作用下力法计算示例22一超静定结构的位移计算１荷载作用下的位移计算超静定结构和静定结构在荷载作用下的位移计算公式是相同的。如梁和刚架的位移计算公式：D=∑∫l(MCM/EI)ds超静定结构的位移计算要点：虚单位力设在原结构的任意一个基本结构上。例18-6-1求示梁Ｂ端的转角位移B。EI=常数,杆长为l。解：１）作MC、M图２）计算B§18-5超静定结构的位移18-5超静定结构的位移23B=[(ql2/8)l/2-(2/3)(ql2/8)/2]/EI=-ql3/48EI()或:B={[(ql2/8)l/2](1/3)1-(2/3)(ql2/8)/2}/EI=-ql3/48EI()18-5超静定结构的位移24力法计算Ｍ图18-5超静定结构的位移252支座移动时的位移计算例18-5-2求图示梁中点Ｃ处的竖向位移DCV。解：１）作超静定梁M图２）作MC图３）该基本结构支座发生位移时有刚体位移。４）计算位移DCVDCV=∫(MCM/EI)ds-∑FRc=[l2/4/2(-3EIa/l2/2)](a/2)=5a/16(↓)18-5超静定结构的位移26或：DCV=[(l/2)2/2](5/6)(3EIa/l2)]=5a/16(↓)18-5超静定结构的位移27结构具有对称性时应满足：１）结构的几何形状（由杆轴围成的图形）和支座形式正对称于某一轴线；２）结构的材料性质及截面形状特征（E、I、A）也对称于同一轴线。如果结构是对称的，利用对称性力法计算可获得简化。§18-6力法的对称性利用18-6力法的对称性利用28力法对称性利用要点：取对称的力法基本结构；并使其上的多余力具有对称性和（或）反对称性。一般荷载作用下（不考虑荷载情况）取满足上述要点的基本体系，力法方程：d11x1+d12x2+d13x3+D1P=0d21x1+d22x2+d23x3+D2P=0d31x1+d32x2+d33x3+D3P=0一般情况下，该方程是联立方程。18-6力法的对称性利用29考虑对称性后：d13=d31=d23=d32=0代入式（a），得：d11x1+d12x2+D1P=0d21x1+d22x2+D2P=0d33x3+D3P=0(b)原方程分解成两相互独立的方程。18-6力法的对称性利用30d11x1+d12x2+D1P=0D3P=0x3=0d21x1+d22x2+D2P=0d11x1+d12x2+D1P=0d33x3+D3P=0d21x1+d22x2+D2P=0荷载具有正或反对称性（考虑荷载情况）正对称荷载作用下：只有正对称的多余力18-6力法的对称性利用31反对称荷载作用下：只有反对称的多余力d11x1+d12x2+D1P=0D1P=D2P=0d21x1+d22x2+D2P=0x1=x2=0d33x3+D3P=0d33x3+D3P=018-6力法的对称性利用32３）代入力法方程，并计算多余力d11x1+d12x2+D1P=0x1=-9.375d21x1+d22x2+D2P=0x2=6.429４）叠加作弯矩图MAB=-36.963kNm(右侧受拉)MBA=19.287kNm(左侧受拉)MA`B`=104.463kNm(右侧受拉)MA`B`中=47.412kNm(左侧受拉)MAB中=8.838kNm(右侧受拉)18-6力法的对称性利用