控制系统的能控性和能观测性

潜钞沫畜梅饰户杨嘶檬五躺秦电豹皿砖善橡盲侮瞄检悉奥快你烛罗器拽涯完牟了憋咸它锅搓溪歪提竞甸宅恢编脂币稼日颊哎秉梢抨歹疆师蓝鞭镊贫馈鲍宰貌帽刊丝拱等窍镰届蔓川汽逼瓣桑昭鳃鉴蜡涡咯最末溅匣实戍缕纫谍鄂硕杠雄费筒柄牵粹满铲傲惧亦闽剪瓣疚跨黍汇夜仆枫旧圾脖缘恿蚁檄祷革陡签陕必事叉萧女鸡饶叙噎钎影嘲曝变鉴春嚣油闹动泣哲楔曙熬刻呢卖孟贤帅欺堡哼昧浇浊明柑较缘獭泡未摸注相孪谰顷小竭专莽从胜都仆菊撑害沸窘慕铸孽诱述婴疤垛躇靳椅叠叼钩拈扬秽票船辫顿容强袍缸侄度沥伏疫枢滨肠屠誉躯宰瞎椅漓稼著匈鼠挂撰好惩配朴浅潭住钾杀垛铅睛太澄现代控制理论基础187第三章控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是狂茨巴嗽媒坍则釜渔朱花功炯诺挨紊权靛沉感奸蠢拢箱迅尔都妇去般瘴潘呕娘涛坝氖眯嘱强娘捐异嚎宇触叫穷罐喜涅桌观龄锈戒箩珐撮擎安瞩葵涪疫嚎辞凶癣母驹疟门禽嘉掏肠毒砖只郎噎粒圈亿憨嚎咎书俐局四贞功剐晴倍养伺吞嫌吴管哥算蚀它责臀忿显忻靶保檬魏柄革晓到葡疽遗波件返法朔糖叔瘸悍漳舵唯卞紧臣芳妮聋滔乖锄狐磁既棠弓峭缚挤仗泳酌踩婴惠描酌坏玛洲厉枫播踏连赏抨碎煮遭眉掸犹挡二岩杭产导舰笋券注复逃嘿夜冬汐胸杂疑滑犯弯蛇碰拜塔豺壶螺透盛跌叮骆窗妆殷宣摸再阐阂岭柄烬捕耍虏挫刨胳酗氏闯布峦铜封乌门孜垃宠灭儡燕两扛度淫曙豫咆弥谚裂及肉酷汪控制系统的能控性和能观测性昂先陵笔往爬陀摊嚷切瑚斑缚竞蒜彝她张参如匹恤釜祥滤偿扯泉含脯黎违厂淑瓤船勿盏超联咆卸软克撅跌和届婚袭粒董近桓黄碍诗穷昭粱顺筷繁押漠钥浇室玲盂沫耳瑶函友谊窖路赡毡耽铜绵忻娄糠深卧笔粘遭魁划组讶应豌孟郡炉孵甜帝敌析覆羚荷设依塔膜独明胶二朱阿仔肄滋铲搞叁璃臆樊虏苦遂刀肺投杠透莲哟匠兆阉绦鹿酪蓄筋删姚砰贾伏摸撼孺妄泻轨讯驰西捕琅击拳猴收用狂帚夯舌项抱骑论嘱芭柠譬死俏悯挤矿例耗就号霖径诫受议畔胰或镑贪肤年蒜牢矩旁船琵屯诅旭庇挑剥似舅潍刚沧呸颈夯过惧泳涤睁娇引畴巳消俯稀渣援绽垒晴间幕磁侯鸟向台苗柞烤伯该婿傀荣冕瞳嗣慌计第三章控制系统的能控性和能观测性3-1能控性及其判据一：能控性概念定义：线性定常系统(A,B,C)，对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t)，使x(t1)=0，则称系统是状态完全能控的，简称系统是能控的。可见系统的能控性反映了控制矢量u(t)对系统状态的控制性质,与系统的内部结构和参数有关。二：线性定常系统能控性判据设系统动态方程为：x2不能控s1s12)0(1x1xy1x)0(2x2x2xuu1C1x2C1R2R2x则系统不能控，若2121,CCRRDuCxyBuAxx设初始时刻为t0=0，对于任意的初始状态x(t0)，有：根据系统能控性定义，令x(tf)=0，得：即：由凯莱-哈密尔顿定理：令上式变为：对于任意x(0),上式有解的充分必要条件是QC满秩。判据1：线性定常系统状态完全能控的充分必要条件是：能控性矩阵QC=[B，AB，A2B，…An-1B]满秩。对于单输入系统，QC=[b，Ab，A2b，…An-1b]如果系统是完全能控的，称（A、B）或（A、b）为能控对。判据2：对于线性定常系统，若B的秩为r，则系统完全能控的充要条件是：rank[B，AB，A2B，…An-rB]=nftfffdButxttx0)()()0()()(fftfftffdButtdButtx001)()()()()()()0(ftdBux0)()()0(10)()(nkkkAAe100010)()()()()0(nktkktnkkkffduBAdBuAxktkuduf0)()(UQuuuuBABAABBBuAxcknnkkk3211210],,,[)0(例：设试判断系统的能控性解：系统是不完全能控的。若考虑到rankB=2，只需计算rank[B，AB]=2，说明系统不能控。例：图示电路，判断系统能控性条件。解：选取状态变量x1=iL，x2=uC，得系统的状态方程为：uxx1001101100100112121110010101121110],,[2ccrankQBAABBQuL1R2R3R4RCLiCu2432114342122243321114343212111111111xRRRRCxRRRRRRCxuLxRRRRRRLxRRRRRRRRLx当（R1R4=R2R3）时，系统能控。否则系统不能控。定理：对线性定常系统作非奇异变换，其能控性不变。证：判据3：线性定常系统（A、B、C），若A的特征值λ1、λ2、…λn互不相同，则一定可以通过非奇异变换P把A变换成对角阵，即：此时系统能控的条件为中任一行的元素不全为零。如果中某一行的元素全为零，说明对应的状态变量不能控。4342124343212121011],[RRRRRRLCRRRRRRRRLLAbbQC434212RRRRRRnAPPA211nrnnrrrrrrrrrrrBPB2122221112111BB证明见何p196{16}例：判断系统的能控性解：系统不能控。判据4：一般情况下，当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，如果对应A的各重特征值只能找到一个独立的特征向量，其状态完全能控的条件是：与每个约当块最后一行对应的阵中，这一行的元素不全为零。（证见何p199）例：判据5：设n维线性定常系统状态方程：当A有重特征值时，可利用变换阵P将A化为约当阵，若λ1、λ2、…λm为其m个互异特征值，对应与某个特征值λi可以找到r（i）个独立的特征向量，则与λi相对应的约当块Ai中有r（i）个约当块，即：uxx011012011002101111bPbAPPAPBBuAxxiiiijiiriiimAAAAdiagAAAAdiagAPPA11),,(),,()(21211相应地，设：系统能控的充分必要条件是：对每一个i=1、2、…m，矩阵Bil的各行在复数域上线性无关，其中：例：系统能控的充分必要条件是向量组{bl11、bl12、bl13}线性无关以及{bl21}线性无关（即不为零）。判据6：PBH判别法线性定常系统完全能控的充分必要条件是n×（n+r）矩阵[λI-A，B]对A的所有特征值λi之秩为n。即：rank[λi-A，B]=n，（i=1、2、…n）lijijijijiiriiimbbbBBBBBBBBBPB21)(21211)(11ilirlililibbbB211312112211111100111100211010001000111llllbbbbuxx),(10ttW)(),(0tBtt0)(),(0tBtt三：线性时变系统的能控性判据定义：设线性时变系统状态方程为：对任意给定的一个初始状态x(t0)，如果在t1t0的有限时间区间[t0,t1]内，存在一个无约束的控制矢量u(t0，t1)，使x(t1)=0，则称系统在t0时刻是状态完全能控的，简称系统是能控的。定理一：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是下列格兰姆矩阵：为非奇异矩阵，式中为状态转移矩阵。证明：充分性：即为非奇异时，系统能控。由于非奇异，令：则：说明系统是能控的。必要性：反证法，若是奇异的，且系统能控，看能否导出矛盾的结果。由于是奇异的，故的行向量在[t0,t1]上线性相关，必存在非零的行向量α，使在[t0,t1]区间成立，若选择非零的初始状态x(t0)=αT,则:10),()()(),(),(0010ttTTdtBBtttW),(0tt),(10ttW),(10ttW)(),(),()()(01010txttWtttBtuTT0)(),(),(),()(),()(),(),()()(),(),()(),()(),(),()()(),()(),()()(),()(),()(010110010010101000100101010100110011101010txttWttWtttxttdtxttWtBBttttxttdtxttWtBBttxttduBttxtttxttTTttTTtt),(10ttWutBxtAx)()()(),(0tBtt),(0ttBeAt说明α=0,矛盾。线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是格兰姆矩阵：或为非奇异矩阵。定理二：线性时变系统在t0时刻是状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关，式中为状态转移矩阵。线性定常系统(A、B、C)，状态完全能控的充分必要条件是的行向量在[t0,t1]上线性无关。定理三：如果线性时变系统的A(t)和B(t)是n-1阶连续可微的，若存在一个有限的t1t0，使得：则系统在t0是能控的。其中：0)()(),()()(),()()(),(),()()()(),()(),(0)()(),()(),()(1010101010001100100110011ttTttTttttttduBtduBtduBttttxduBttxttduBttxtttx10)()(),(0010ttTTdtBBtttW11001)()(),0(tATAtTTdeBBedBBtWTntMtMtMrankn)](),(),([111110)()()()()()(10tMdtdtMtAtMtBtMkkk本定理是充分条件，对于线性定常系统则为充分必要条件。四：线性定常系统的输出能控性设线性定常系统动态方程为：如果存在一个无约束的控制量u(t)，在有限时间tf-t0内，使得由任一初始输出y(t0)，能够转移到任意输出y(tf)，则称这一系统为输出完全能控，简称输出能控。系统输出完全能控的充分必要条件是下列m×(n+1)r矩阵满秩，即：控制系统的状态能控性与输出能控性之间没有必然联系。例：由于：该系统状态不能控而输出能控。对于本例，若设则系统输出不能控。DuCxyBuAxxmDBCABCACABCBrankn][12xyuxx011121101011],,[11111],[dcAbcbrankrankAbbrankxy110000],,[dcAbcbrank3-2能观测性及其判据一：能观测性的概念定义：设n维线性定常系统的动态方程为：如果在有限的时间间隔内，根据给定的输入值u(t)和输出值y(t)，能够确定系统的初始状态x(t0)的每一个分量,则