9第九章 风险资产定价

2006-12-111第九章风险资产定价贾怀京北京邮电大学经济管理学院2第九章风险资产定价9.1有效集与最优投资组合9.2无风险借贷对有效集的影响9.3资本资产定价模型9.4资本资产定价模型的进一步讨论9.5套利定价模型39.1有效集与最优投资组合问题：市场上有N种风险资产，还有无风险资产，投资者如何投资才能实现最优决策？问题：无风险资产收益率为Rf，市场上有N种风险资产（如股票），第i种风险资产的预期收益率与方差为和，第i、j风险资产的协方差为（i、j=1，2，3…N）。若记投资者的效用函数为F（，），则使投资者效用函数最大化的投资组合是什么？iRiijPRP49.1有效集与最优投资组合根据马柯维茨（Markowitz）证券组合理论，投资者必须根据自己的风险—收益偏好和各种证券组合的风险、收益特征来选择最优的投资组合。9.1.1可行集可行集（Feasibleset）指的是由N种证券所形成的所有组合的集合，它包括了现实生活中所有可能的组合。图9-1中，ANBHCD边线所构成的区域为可性集。59.1.1、可行集标准差σP图9-1：可行集和有效集无差异曲线可行集ANBHDCPR有效集曲线最优投资组合69.1有效集与最优投资组合9.1.2、有效集（一）、有效集的定义对于一个理性的投资者，其是厌恶风险、偏好收益的。可行集中：（1）对于同样的风险水平，投资者将会选择提供最大预期收益率的组合；（2）对于同样的预期收益率，他们将会选择风险最小的组合。满足这两个条件的投资组合的集合就是有效集（EfficientSet）。图9-1中，N和B之间的上方边界（蓝线）为有效集。79.1有效集与最优投资组合9.1.2、有效集（二）、有效集的位置有效集是可行集的一个子集。1、给定风险看最大预期收益率，能提供最大收益率的组合集是可行集中介于N和H之间的上方边界上的集合。2、给定预期收益率看最小风险，能提供最小风险水平的组合是可行集介于A、B之间的左边边界上的组合集。同时满足上面两个条件的为有效集的位置。故有效集的位置位于N、B两点之间上方边界上的可行集。89.1有效集与最优投资组合9.1.2、有效集（三）、有效集的形状1、向右上方倾斜的曲线2、向上凸的曲线3、有效集曲线上不可能有凹陷的地方99.1有效集与最优投资组合9.1.3、最优投资组合的选择最优投资组合：在给定的投资条件下，使投资者的效用最大的投资组合。若记效用函数为U（预期投资收益率，标准差）＝U（，），则在给定的约束条件下，使投资者效用函数最大化的投资组合为最优投资组合。PRPmax,.最优投资组合tsPPRU109.1有效集与最优投资组合9.1.3、最优投资组合的选择在图9-1中，投资的约束条件为：投资者的投资处在有效集中，即NB两点之间的弧线上（蓝线部分）。当效用函数与有效集曲线相切时，切点处的投资组合便是在约束条件下投资者的投资效用最大的投资组合。有效集向上凸的特征和无差异曲线向下凸的特征决定了有效集和无差异曲线的相切点是唯一的，即最优投资组合是唯一的。图9-1中的红点为最优投资组合。119.1有效集与最优投资组合9.1.3、最优投资组合的选择对于投资者来说，有效集是客观存在，而无差异曲线是主观的。无差异曲线是由投资者自己的风险—收益偏好所决定的。厌恶风险程度越高的投资者，其无差异曲线的斜率越大，因此最优投资组合越接近N点；厌恶风险程度越低的投资者，其无差异曲线的斜率越小，因此最优投资组合越接近B点；129.1有效集与最优投资组合9.1.3、最优投资组合的选择求最优投资组合的步骤：找出可行集。根据可行集，找出有效集。给出投资者的无差异曲线。投资者的无差异曲线与有效集的交点就是投资的最优投资组合。139.2无风险借贷对有效集的影响9.2.1、无风险贷款对有效集的影响（一）、无风险贷款或无风险资产的定义在未来的收益是确定的贷款(这里指的是投资者将钱贷给别人)，或者说预期收益率的标准差为零的贷款为无风险贷款。在现实生活中，无风险资产首先应没有任何违约的可能，其次没有市场风险。实际上，严格意义上，只有到期日与投资期相等的国债才是无风险资产。149.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形问题：有无风险资产A和风险资产B，如何投资是最优投资？A),(BBRB)0,(AARσPPR159.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形问题：投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形下的可行集和有效集分别是什么？投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形下的预期收益率与风险的关系式是什么？169.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合1、投资于一种无风险资产和一种风险资产的情形假设风险资产和无风险资产在投资中的比例分别为X1和X2，它们的预期收益率分别为和,它们的标准差分别等于σ1和σ2，它们之间的协方差为σ12。根据X1和X2的定义，我们有（X1+X2）=1，且X1、X2≥0。根据无风险资产的定义，我们有σ2和σ12都等于0。这样，该投资组合的预期收益率和标准差分别为：1R2R112121XXXijijjiP221121RXRXRXRiiiP（9-1）（9-2）179.2.1、无风险贷款对有效集的影响（9-3）（9-4）由上式得12111,PPXX将（9-3）代入（9-1）式得：PPRRRR1212189.2.1、无风险贷款对有效集的影响1R由于、和σ1已知，式（9-4）是线性函数，其中为单位风险的收益率(也称为Sharpe比率)。图9－２中，Ａ点表示无风险资产，Ｂ点表示风险资产，由这两种资产组合的预期收益率和风险落在Ａ、Ｂ这条线段上。2R]/)[(121RR图9-２：无风险资产和风险资产的组合σPPR2R1RPPRRRR1212AB是可行集，也是有效集199.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形问题：有无风险资产A、风险资产B和C，如何投资是最优投资？A),(BBRB)0,(AARσPPR),(CCRC209.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形问题：投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形下的可行集和有效集分别是什么？投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形下的预期收益率与风险的关系式是什么？21（二）、允许无风险贷款下的投资组合投资两个风险证券A、B，投资组合的预期收益率与风险的关系1111ABPPR__)()()(APABABAPRRRRCRC（0，）CRBABAABCRRR9.2.1、无风险贷款对有效集的影响229.2.1、无风险贷款对有效集的影响（二）、允许无风险贷款下的投资组合2、投资于一种无风险资产和一个证券组合的情形风险资产组合B是由2种风险证券C、D组成的，则B的有效集位于经过C、D两点向上凸出的弧线上[注]，如图9-3所示。如果我们仍用R1和σ1代表风险资产组合的预期收益率和标准差，用X1代表投资该风险资产组合的资金在整个投资组合资金中所占的比重，则式（9-1）到（9-4）的结论同样适合于由无风险资产和风险资产组合构成的投资组合的情形。这种投资组合的预期收益率和标准差一定落在A、B线段上。239.2.1、无风险贷款对有效集的影响图9-3：无风险资产和风险资产组合的组合CDABσP[注]：已知，风险证券C和D预期预期收益率DCRR,，标准差DC,，协方差CD，投资比重YC，YD，YC+YD=1，YC，YD≥0，)(22222112,DCCDDCDDCCDDCCYYYYRYRYR，由于YC，YD的变化，存在11,R各种组合，但有效集为图6-3中的一段弧线。PR249.2.1、无风险贷款对有效集的影响图9-3：无风险资产和风险资产组合的组合CDAσPBPR可行集为B点沿着CD弧线移动时AB直线所扫过的面积。[注]：已知，风险证券C和D预期预期收益率DCRR,，标准差DC,，协方差CD，投资比重YC，YD，YC+YD=1，YC，YD≥0，)(22222112,DCCDDCDDCCDDCCYYYYRYRYR，由于YC，YD的变化，存在11,R各种组合，但有效集为图6-3中的一段弧线。259.2.1、无风险贷款对有效集的影响（三）、无风险贷款对有效集的影响引入无风险贷款后，有效集将发生重大变化。在图9-4中，弧线CD代表马柯维茨有效集，A点表示无风险资产。我们可以在有效集中找到一点T，使AT直线与弧线相切于T点。T点所代表的组合称为切点处投资组合。引入AT线段后，CT弧线将不再是有效集。σP图9-4：允许无风险贷款时的有效集ACDTPR269.2.1、无风险贷款对有效集的影响例1：假定市场上有A、B两种证券，其预期收益率分别为8%和13%，标准差分别为12%和20%。A、B两种证券的相关系数为0.3。市场无风险利率为5%。某投资者决定用这两种证券组成最优风险组合。279.2.1、无风险贷款对有效集的影响（四）、无风险贷款对投资组合选择的影响注意，引入无风险贷款后的有效集为：（AT直线段）＋（TD弧线）。对于不同的投资者而言，无风险贷款的引入对他们的投资组合选择有不同的影响。记无差异曲线与有效集的相切点为O点（见图9-5（a）），当O点位于T点的右上方时，O点为最优投资组合。投资者将把所有的资金投资于风险资产，故而是否有无风险贷款对投资组合的选择没有影响。当O点位于T点的左下方时，记无差异曲线与AT直线的相切点为O*（见图9-5（b）），则O*点为最优投资组合。投资者将把部分资金投资于风险资产，另一部分资产投资于无风险资产（见（9-4）式）。289.2.1、无风险贷款对有效集的影响AATCDDOO*TC图9-5：无风险贷款下的投资组合选择无差异曲线无差异曲线σPσP（a）（b）PRPR299.2.2、无风险借款对有效集的影响在推导马柯维茨有效集的过程中，我们假定投资者可以购买风险资产的金额仅局限于他初期的财富。然而，在现实生活中，投资者可以借入资金并用于购买资产。由于对所借款的利息支付一定，无不确定性，因此我们把这种借款称为无风险借款。1、无风险借款并投资于一种风险资产的情形我们可以把无风险借款看成负的投资，则投资组合中风险资产和无风险的比例也可以X1和X2表示，且X1+X2＝1，X1＞1，X2＜0。这样（9-1）式到（9-4）式也完全适应于无风险借款的情况。由于X1＞1，X2＜0，因此σP＞σ1，（9-4）式在图上表现为AB线段向右边的延长线上，如图9-6所示。（一）、允许无风险借款下的投资组合309.2.2、无风险借款对有效集的影响图9-6：无风险借款和风险资产的组合112121XXXijijjiP221121RXRXRXRiiiP11212:PPPRRRR其中01,11211PPXX1、无风险借款并投资于一种风险资产的情形无风险借款(利率为)并投资于一种风险资产(预期收益率为)的情形2R1RσPσP＝σ12R1RPR319.2.2、无风险借款对有效集的影响2、无风险借款并投资于风险资产组合的情形图9-7：无风险借款和风险资产的组合σPσP＝σ1ＢADC无风险贷款的利率为,风险资产组合的有效集为CD曲线。无风险借款并投资于风险资产组合的收益与风险的关系为以B点为起点的BE射线，且（1）A、B、E三点在一条线上。（2）B点可以在CD曲线上的任意一点上。2R2REPRPPRRRR12121R32引人无风险借款后，可行集如下图所示意。（二）、无风险借款对有效集的影响图9-8(1)：允