2019版高考数学一轮复习-第四单元-导数及其应用-教材复习课“导数”相关基础知识一课过

导数及其应用元单四第教材复习课“导数”相关基础知识一课过030201知识点一导数的基本运算知识点三利用导数研究函数的单调性知识点二导数的几何意义目录04知识点四利用导数研究函数的极值与最值05双基过关检测[过双基]导数的基本运算1．基本初等函数的导数公式原函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝___f(x)＝xn(n∈Q*)f′(x)＝______f(x)＝sinxf′(x)＝______f(x)＝cosxf′(x)＝______0nxn－1cosx－sinx原函数导函数f(x)＝axf′(x)＝______f(x)＝exf′(x)＝___f(x)＝logax(a0，且a≠1)f′(x)＝_______f(x)＝lnxf′(x)＝_____axlnaex1xlna1x2．导数的运算法则(1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；(2)[f(x)·g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；(3)fxgx′＝f′xgx－fxg′x[gx]2(g(x)≠0)．[小题速通]1．下列求导运算正确的是()A.x＋1x′＝1＋1x2B．(log2x)′＝1xln2C．(3x)′＝3xlog3eD．(x2cosx)′＝－2sinx解析：x＋1x′＝1－1x2；(log2x)′＝1xln2；(3x)′＝3xln3；(x2cosx)′＝2xcosx－x2sinx，故选B.答案：B2．函数f(x)＝(x＋2a)(x－a)2的导数为()A．2(x2－a2)B．2(x2＋a2)C．3(x2－a2)D．3(x2＋a2)解析：∵f(x)＝(x＋2a)(x－a)2＝x3－3a2x＋2a3，∴f′(x)＝3(x2－a2)．答案：C3．函数f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，则a的值是()A.193B.163C.133D.103解析：因为f′(x)＝3ax2＋6x，所以f′(－1)＝3a－6＝4，所以a＝103.答案：D4．(2016·天津高考)已知函数f(x)＝(2x＋1)ex，f′(x)为f(x)的导函数，则f′(0)的值为________．解析：因为f(x)＝(2x＋1)ex，所以f′(x)＝2ex＋(2x＋1)ex＝(2x＋3)ex，所以f′(0)＝3e0＝3.答案：3[清易错]1．利用公式求导时，一定要注意公式的适用范围及符号，如(xn)′＝nxn－1中n≠0且n∈Q*，(cosx)′＝－sinx.2．注意公式不要用混，如(ax)′＝axlna，而不是(ax)′＝xax－1.1．已知函数f(x)＝sinx－cosx，若f′(x)＝12f(x)，则tanx的值为()A．1B．－3C．－1D．2解析：∵f′(x)＝(sinx－cosx)′＝cosx＋sinx，又f′(x)＝12f(x)，∴cosx＋sinx＝12sinx－12cosx，∴tanx＝－3.答案：B2．若函数f(x)＝2x＋lnx且f′(a)＝0，则2aln2a＝()A．－1B．1C．－ln2D．ln2解析：f′(x)＝2xln2＋1x，由f′(a)＝2aln2＋1a＝0，得2aln2＝－1a，则a·2a·ln2＝－1，即2aln2a＝－1.答案：A导数的几何意义[过双基]函数f(x)在点x0处的导数f′(x0)的几何意义是在曲线y＝f(x)上点处的(瞬时速度就是位移函数s(t)对时间t的导数)．相应地，切线方程为．P(x0，y0)切线的斜率y－y0＝f′(x0)·(x－x0)[小题速通]1.(2018·郑州质检)已知y＝f(x)是可导函数，如图，直线y＝kx＋2是曲线y＝f(x)在x＝3处的切线，令g(x)＝xf(x)，g′(x)是g(x)的导函数，则g′(3)＝()A．－1B．0C．2D．4解析：由题图可知曲线y＝f(x)在x＝3处切线的斜率等于－13，∴f′(3)＝－13，∵g(x)＝xf(x)，∴g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，∴g′(3)＝f(3)＋3f′(3)，又由题图可知f(3)＝1，∴g′(3)＝1＋3×－13＝0.答案：B2．设函数f(x)＝xlnx，则点(1,0)处的切线方程是________．解析：因为f′(x)＝lnx＋1，所以f′(1)＝1，所以切线方程为x－y－1＝0.答案：x－y－1＝03．已知曲线y＝2x2的一条切线的斜率为2，则切点的坐标为_____．解析：因为y′＝4x，设切点为(m，n)，则4m＝2，所以m＝12，则n＝2×122＝12，则切点的坐标为12，12.答案：12，124．函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，则f(1)＋f′(1)＝________.解析：因为函数y＝f(x)的图象在点M(1，f(1))处的切线方程是y＝3x－2，所以f′(1)＝3，且f(1)＝3×1－2＝1，所以f(1)＋f′(1)＝1＋3＝4.答案：4[清易错]1．求曲线切线时，要分清在点P处的切线与过P点的切线的区别，前者只有一条，而后者包括了前者．2．曲线的切线与曲线的交点个数不一定只有一个，这和研究直线与二次曲线相切时有差别．1．若存在过点(1,0)的直线与曲线y＝x3和y＝ax2＋154x－9都相切，则a等于()A．－1或－2564B．－1或214C．－74或－2564D．－74或7解析：因为y＝x3，所以y′＝3x2，设过点(1,0)的直线与y＝x3相切于点(x0，x30)，则在该点处的切线斜率为k＝3x20，所以切线方程为y－x30＝3x20(x－x0)，即y＝3x20x－2x30，又(1,0)在切线上，则x0＝0或x0＝32，当x0＝0时，由y＝0与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－2564，当x0＝32时，由y＝274x－274与y＝ax2＋154x－9相切，可得a＝－1，所以选A.答案：A2.(2017·兰州一模)已知直线y＝2x＋1与曲线y＝x3＋ax＋b相切于点(1,3)，则实数b的值为________．解析：因为函数y＝x3＋ax＋b的导函数为y′＝3x2＋a，所以此函数的图象在点(1,3)处的切线斜率为3＋a，所以3＋a＝2，3＝1＋a＋b，解得a＝－1，b＝3.答案：3利用导数研究函数的单调性[过双基]1．函数f(x)在某个区间(a，b)内的单调性与f′(x)的关系(1)若，则f(x)在这个区间上是增加的．(2)若，则f(x)在这个区间上是减少的．(3)若，则f(x)在这个区间内是常数．2．利用导数判断函数单调性的一般步骤(1)求．(2)在定义域内解不等式.(3)根据结果确定f(x)的单调性及单调区间．f′(x)0f′(x)0f′(x)＝0f′(x)f′(x)0或f′(x)0[小题速通]1．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是()A．(1,2)B．(2，＋∞)C．(－∞，1)D．(－∞，1)和(2，＋∞)解析：解f′(x)＝6x2－18x＋120可得1x2，所以单调减区间是(1,2)．答案：A2．已知函数f(x)的导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则f(x)的图象可能是()解析：当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c0，知相应的函数f(x)在该区间内单调递减；当x0时，由导函数f′(x)＝ax2＋bx＋c的图象可知，导函数在区间(0，x1)内的值是大于0的，则在此区间内函数f(x)单调递增．只有D选项符合题意．答案：D3．已知f(x)＝x2＋ax＋3lnx在(1，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围为()A．(－∞，－26]B.－∞，62C．[－26，＋∞)D．[－5，＋∞)解析：由题意得f′(x)＝2x＋a＋3x＝2x2＋ax＋3x≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔g(x)＝2x2＋ax＋3≥0在(1，＋∞)上恒成立⇔Δ＝a2－24≤0或Δ＝a2－240，－a4≤1，g1＝5＋a≥0⇔－26≤a≤26或a26⇔a≥－26，故选C.答案：C[清易错]若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递增，则f′(x)≥0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上单调递减，则f′(x)≤0，且在(a，b)的任意子区间，等号不恒成立．若函数f(x)＝x3＋x2＋mx＋1是R上的单调增函数，则m的取值范围是________．解析：∵f(x)＝x3＋x2＋mx＋1，∴f′(x)＝3x2＋2x＋m.又∵f(x)在R上是单调增函数，∴f′(x)≥0恒成立，∴Δ＝4－12m≤0，即m≥13.答案：13，＋∞利用导数研究函数的极值与最值[过双基]1．函数的极大值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极大值点，其函数值f(x0)为函数的极大值．2．函数的极小值在包含x0的一个区间(a，b)内，函数y＝f(x)在任何一点的函数值都x0点的函数值，称点x0为函数y＝f(x)的极小值点，其函数值f(x0)为函数的极小值．极大值与极小值统称为，极大值点与极小值点统称为极值点．小于大于极值3．函数的最值(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值．(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值．f(a)f(b)f(a)f(b)[小题速通]1．如图是f(x)的导函数f′(x)的图象，则f(x)的极小值点的个数为()A．1B．2C．3D．4解析：由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点．答案：A2．若函数f(x)＝x3＋ax2＋3x－9在x＝－3时取得极值，则a的值为()A．2B．3C．4D．5解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋3，由题意知f′(－3)＝0，即3×(－3)2＋2a×(－3)＋3＝0，解得a＝5.答案：D3．(2017·济宁一模)函数f(x)＝12x2－lnx的最小值为()A.12B．1C．0D．不存在解析：f′(x)＝x－1x＝x2－1x，且x0.令f′(x)0，得x1；令f′(x)0，得0x1.∴f(x)在x＝1处取得极小值也是最小值，且f(1)＝12－ln1＝12.答案：A4．若函数f(x)＝12x2－ax＋lnx有极值，则a的取值范围为________．解析：f′(x)＝x－a＋1x＝x2－ax＋1x(x0)，因为函数f(x)＝12x2－ax＋lnx有极值，令g(x)＝x2－ax＋1，且g(0)＝10，所以a20，ga2＝－a24＋10，解得a2.答案：(2，＋∞)5．设x1，x2是函数f(x)＝x3－2ax2＋a2x的两个极值点，若x12x2，则实数a的取值范围是________．解析：由题意，f′(x)＝3x2－4ax＋a2＝0，得x＝a3或a.又∵x12x2，∴x1＝a3，x2＝a，∴a2，a32，∴2a6.答案：(2,6)[清易错]1．f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的既不充分也不必要条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点；又如f(x)＝|x|，x＝0是它的极小值点，但f′(0)不存在．2．求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论．1．(2017·岳阳一模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是()A．y＝x3B．y＝ln(－x)C．y＝xe－xD．y＝x＋2x解析：因为A、B为单调函数，所以不存在极值，C不是奇函数，故选D.答案：D2．设函数f(x)＝x3－3x＋1，x∈[－2,2]的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝________.解析：f′(x)＝3x2－3，由f′(x)0可得x1或x－1，由f′(x)0可得－1x1，所以函数