结构力学李廉锟版-静定平面桁架全解

第五章静定平面桁架第一节平面桁架的计算简图第二节结点法第三节截面法第四节截面法与结点法的联合应用第五节各式桁架比较第六节组合结构的计算桁架是由杆件相互连接组成的格构状体系，它的结点均为完全铰结的结点，它受力合理用料省，在建筑工程中得到广泛的应用。1、桁架的计算简图(trussstructure)128m64m16m武汉长江大桥所采用的桁架型式屋架计算简图第一节平面桁架的计算简图纵梁主桁架横梁空间桁架荷载传递途径：荷载传递:轨枕-纵梁-结点横梁-主桁架第一节平面桁架的计算简图上弦杆Topchard下弦杆Bottomchard竖杆Verticalchard斜杆Diagonalchard跨度桁高弦杆腹杆节间d经抽象简化后，杆轴交于一点，且“只受结点荷载作用的直杆、铰结体系”的工程结构—桁架桁架各部分名称：第一节平面桁架的计算简图桁架计算简图假定：(1)各杆在两端用绝对光滑而无摩擦的铰（理想铰）相互联结。(2)各杆的轴线都是直线,而且处在同一平面内，并且通过铰的几何中心。(3)荷载和支座反力都作用在结点上,其作用线都在桁架平面内。思考:实际桁架是否完全符合上述假定?主内力:按理想桁架算出的内力，各杆只有轴力。实际桁架不完全符合上述假定,但次内力的影响是次要的。第一节平面桁架的计算简图次内力：实际桁架与理想桁架之间的差异引起的杆件弯曲，由此引起的内力。2、桁架的分类一、根据维数分类1）.平面（二维）桁架（planetruss）——所有组成桁架的杆件以及荷载的作用线都在同一平面内第一节平面桁架的计算简图2）.空间（三维）桁架（spacetruss）——组成桁架的杆件不都在同一平面内第一节平面桁架的计算简图二、按外型分类1.平行弦桁架2.三角形桁架3.抛物线桁架第一节平面桁架的计算简图三、按几何组成分类2.联合桁架（combinedtruss）3.复杂桁架（complicatedtruss）第一节平面桁架的计算简图1.简单桁架（simpletruss）四、按受力特点分类2.拱式桁架竖向荷载下将产生水平反力1.梁式桁架第一节平面桁架的计算简图二、桁架的内力计算1.结点法和截面法结点法—最适用于计算简单桁架。取结点为隔离体，建立（汇交力系）平衡方程求解。原则上应使每一结点只有两根未知内力的杆件。通常假定未知的轴力为拉力，计算结果得负值表示轴力为压力。第二节结点法ABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN例5-1试用结点法求三角形桁架各杆轴力。解:(1)求支座反力。0xAFkN02yAFkN02yBF(↑)(↑)(2)依次截取结点A，G，E，C，画出受力图，由平衡条件求其未知轴力。第二节结点法取A点为隔离体，由0X0cosNNAGAEFF0Y0coskN5kN20NAEF（拉）kN305233.5cosNNAEAGFF所以5kNAFFNNAEAG20kNABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN（压）kN33.545kN15NAEF有第二节结点法取G点为隔离体0XkN30NNGAGDFF0Y0NGEFFFFGNGEGAGDNNABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN第二节结点法ABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN取E点为隔离体，由0X0coscoscosNNNEAEDECFFFkN.5433NNEDECFF0Y0kN10sinsin-sinNNNEAEDECFFF5.33510NNEDECFFE10kNFFFNEANECNED联立解出kN22.36NECFkN.1811NEDF，第二节结点法ABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN取C点为隔离体，由FCFFCDFNCCENN10kNkN1022.36kN)(512kN10NCDFkN63.22NNCECHFF得0X0NNCHCEFF，0Y0sin210kNNNCDCEFF，第二节结点法可以看出，桁架在对称轴右边各杆的内力与左边是对称相等的。结论：对称结构，荷载也对称，则内力也是对称的。ABCDEFGH2m4=8m2m10kN10kN10kN5kN5kN20kN20kN第二节结点法•以结点作为平衡对象，结点承受汇交力系作用。•按与“组成顺序相反”的原则，逐次建立各结点的平衡方程，则桁架各结点未知内力数目一定不超过独立平衡方程数。•由结点平衡方程可求得桁架各杆内力。小结:第二节结点法1.对于一些特殊的结点，可以应用平衡条件直接判断该结点的某些杆件的内力为零。零杆(1)两杆交于一点，若结点无荷载，则两杆的内力都为零。0=FN1N2F=N1FN2F第二节结点法结点法计算简化的途径：(2)三杆交于一点，其中两杆共线，若结点无荷载，则第三杆是零杆，而在直线上的两杆内力大小相等，且性质相同（同为拉力或压力）。FN2FN1N3FFN3=0=FN2N1F第二节结点法(3)四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。FFF==FFFFFN1N4N2N1N2N3N4N2FFN1=FN2N1F=FN3FN3FFN3FFF==FFFFFN1N4N2N1N2N3N4N2FFN1=FN2N1F=FN3FN3FFN3推论，若将其中一杆换成外力F，则与F在同一直线上的杆的内力大小为F，性质与F相同。第二节结点法(4)四杆交于一点，其中两两共线，若结点无荷载，则在同一直线上的两杆内力大小相等，且性质相同。FFF==FFFFFN1N4N2N1N2N3N4N2FFN1=FN2N1F=FN3FN3FFN3FFF==FFFFFN1N4N2N1N2N3N4N2FFN1=FN2N1F=FN3FN3FFN3第二节结点法值得注意：若事先把零杆剔出后再进行计算，可使计算大为简化。第二节结点法FP/2FP/2FPFPFP零杆:轴力为零的杆0000PPPP练习:试指出零杆受力分析时可以去掉零杆,是否说该杆在结构中是可有可无的?第二节结点法0000P第二节结点法练习:试指出零杆PPPPPPPPP返回第二节结点法练习:试指出零杆0000P下图示对称结构在正对称荷载作用下，若A点无外荷载，则位于对称轴上的杆1、2都是零杆。FAF12P练习:试指出零杆第二节结点法为什么?FAyFBy结点法计算简化的途径：2.对称结构受对称荷载作用,内力和反力均为对称:受反对称荷载作用,内力和反力均为反对称。E点无荷载,红色杆不受力FAyFBy垂直对称轴的杆不受力对称轴处的杆不受力第二节结点法应用范围1、求指定杆件的内力；2、计算联合桁架。截面法定义:作一截面将桁架分成两部分，然后任取一部分为隔离体(隔离体包含一个以上的结点)，根据平衡条件来计算所截杆件的内力。联合桁架(联合杆件)指定杆件(如斜杆)第三节截面法截面法计算步骤2.作截面(用平截面，也可用曲截面)截断桁架，取隔离体；3.(1)选取矩心，列力矩平衡方程(力矩法)(2)列投影方程(投影法)；4.解方程。1.求反力(同静定梁)；注意事项1、尽量使所截断的杆件不超过三根(隔离体上未知力不超过三个)，可一次性求出全部内力；2、选择适宜的平衡方程，最好使每个方程中只包含一个未知力，避免求解联立方程。3、若所作截面截断了三根以上的杆件，但只要在被截各杆中，除一杆外，其余均汇交于一点(力矩法)或均平行(投影法)，则该杆内力仍可首先求得。分类力矩法和投影法第三节截面法示例1：试求图示桁架中杆EF、ED，CD，DG的内力。截面如何选择？第三节截面法解:(1)求出支座反力FA和FB。(2)求下弦杆CD内力，利用I-I截面，力矩法FAd-F1d-F2×0-FNCDh=0FNCD=(FAd-F1d-F2×0)/h与等代梁比较，得出：FNCD=M0E/h（自己总结）当荷载向下时，M0E为正，FNCD为拉力，即简支桁架下弦杆受拉。取EF和ED杆的交点E为矩心，CD杆内力臂为竖杆高h，由力矩平衡方程∑ME=0，可求CD杆内力。第三节截面法(3)求上弦杆EF内力FA×2d-F1×2d-F2d+FxEFH=0FxEF=-(FA×2d-F1×2d-F2d)/H与等代梁比较，得出：FxEF=-M0D/H，再由比例关系求FNEF。当荷载向下时，M0D为正，FNEF为压力，即简支桁架上弦杆受压。取ED和CD杆的交点D为矩心，由力矩平衡方程∑MD=0，先求EF杆的水平分力FxEF，此时力臂即为桁高H。第三节截面法(4)斜杆ED-FAa+F1a+F2(a+d)+FyED(a+2d)=0FyED=(FAa-F1a-F2(a+d))/(a+2d)再由比例关系求FNED，其拉或压需视上式右端分子为正或为负而定。取EF和CD杆的延长线交点O为矩心，并将FNED在D点分解为水平和竖向分力FxED和FyED，由力矩平衡方程∑MO=0，先求ED杆的竖向分力FyED，此时力臂即为a+2d。(5)DG杆如何求？利用II-II截面，投影法第三节截面法示例2：试求图示桁架a杆的内力。解(1)求支座反力。(2)直接求出a杆的位置困难。首先作截面Ⅰ-Ⅰ，求出FNEC，然后取结点E就可求出a杆的轴力。作截面Ⅰ-Ⅰ，取截面左侧部份为隔离体，由0JM06530575NECF故kN87.5NECF30kN30kN30kN30kN30kN75kN75kN2m4m5m6=30mABDEGJMC11a30kN30kNADEGJM75kNFaECN第三节截面法(3)取结点E为隔离体，由0X0cosNNECaFFkN.24945.87592NaF思考：是否还有不同的途径可以求出FNα？EECNFNFaNFEG30kN30kNADEGJM75kNFaECN第三节截面法截面单杆:用截面切开后，通过一个方程可求出内力的杆.截面上被切断的未知轴力的杆件只有三个,三杆均为单杆.截面上被切断的未知轴力的杆件除一个外交于一点,该杆为单杆.截面上被切断的未知轴力的杆件除一个均平行,该杆为单杆.截面法技巧：第三节截面法相交情况FPFPFPFPFPFPa为截面单杆第三节截面法平行情况FPFPb为截面单杆第三节截面法练习:求图示桁架指定杆件内力(只需指出所选截面即可)PPbaPb第三节截面法PcPPb第三节截面法PaPbPcPb第三节截面法PbPb第三节截面法在桁架的计算中，结点法和截面法一般结合起来使用。尤其当（１）只求某几个杆力时；（２）联合桁架或复杂桁架的计算。例5-1试求图示K式桁架中a杆和b杆的内力。如何合理选择截面？杆件数大于3第四节截面法与结点法的联合应用截取结点K为隔离体，由K形结点的特性可知(结点法)FNa=-FNc或Fya=-Fyc由截面I-I(截面法)根据∑Fy=0有3F-F/2-F-F+Fya-Fyc=0即F/2+2Fya=0得Fya=-F/4由比例关系得FNa=-F/4×5/3=-F/12截面法不能直接求解第四节截面法与结点法的联合应用由截面I-I(截面法)根据∑MC=0即可求得FNb，FNb=-(3F×8-F/2×8-F×4)/6=-8F/3也可作截面II-II(曲截面)并取左半边为隔离体，(更简捷)由∑MD=0FNb×6+3F×8-F/2×8-F×4=0第四节截面法与结点法的联合应用例5-2试求图示桁架HC杆的内力。支座反力如图。取截面I-I以左为隔离体，由∑MF=0可得FNDE=90×5/4=112.5kN(拉)(截面法-力矩法)由结点E的平衡得FNEC=FNED=112.5kN(拉)第四节截面法与结点法的联合应用再取截面II-II以右为隔离体，由∑MG=0并将FNHC在C点分解为水平和竖向分力，可得FxHC=(30×15-112.5×6)/6=-37.5kN(拉)FyHC过铰G，不产生力矩，先求FxHC(截面法