角平分线练习课

角平分线练习课1.如图所示，OP是∠AOB的角平分线，在OA上取一点C,在OB上取一点D，使OC＝OD,连接CD，交OP与E,求证：OP⊥CD.证明：∵OP是∠AOB的角平分线∴∠AOE=∠BOE在△OEC和△OED中∵OC=OD∠AOE=∠BOEOE=OE∴△OEC≌△OED（SAS）∴∠COE=∠DOE=900∴OP⊥CDABOPCDE2.如图所示，OP是∠AOC和∠BOD的角平分线，OA=OC,OB=OD.求证：AB=CD.证明：∵OP是∠AOC和∠BOD的角平分线∴∠AOP=∠COP∠BOP=∠DOP∴∠AOP-∠BOP=∠COP-∠DOP∴∠AOB=∠COD在△AOB和△COD中∵OA=OC∠AOB=∠CODOB=OD∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CDFEDCBA4.如图，BD＝CD，BF⊥AC，CE⊥AB．求证：D在∠BAC的角平分线上．证明：∵BF⊥AC，CE⊥AB∴∠CFD=∠BED=900在△BED和△CFD中∵∠BED=∠CFD∠BDE=∠CDF(对顶角)BD=CD∴△BED≌△CFD（AAS）∴DE=DF∴D在∠BAC的角平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）FEDCBA5.如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，E，F为垂足，求证：D在∠BAC的角平分线上．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，点D是BC的中点∴∠DEB=∠DFCBD=CD在△DEB和△DFC中∵∠DEB=∠DFC∠B=∠CBD=CD∴△DEB≌△DFC（AAS）∴DE=DF∴D在∠BAC的角平分线上（到角两边距离相等的点在角平分线上）ABCDE6.已知：如图，Rt△ABC中，∠C＝90o，AC＝BC,AD为∠BAC的平分线，AE＝BC，DE⊥AB垂足为E，求证△DBE的周长等于AB．证明：∵AD为∠BAC的平分线∠C＝90oDE⊥AB∴DE=CD∵C△DBE=BD+DE+BE∴C△DBE=BD+CD+BE=BC+BE又∵AE=BC∴C△DBE=BC+BE=AE+BE=AB即△DBE的周长等于ABNMEDCBA7.如图，AE平分∠BAC，BD＝DC，DE⊥BC，EM⊥AB，EN⊥AC．求证：BM＝CN．证明：连接BE，CE∵AE平分∠BAC，EM⊥AB，EN⊥AC∴EM=EN∵BD＝DC，DE⊥BC∴ED垂直平分BC∴BE=CERt△BEM和Rt△CEN中∵BE=CEEM=EN∴△BEM≌△CEN（HL）∴BM=CNABCDFNPM9.已知：如图，PA、PC分别是△ABC外角∠MAC与∠NCA的平分线，它们交于P，PD⊥BM于M，PF⊥BN于F．求证：BP为∠MBN的平分线证明：作PQ⊥AC于Q∵PA平分∠MAC，PC平分∠NCA∴PD=PQ，PF=PQ∴PD=PF∵PD⊥BM，PF⊥BN∴点P在∠MBN的平分线上即BP为∠MBN的平分线Q