结构力学第六章-力法

1第六章力法§6-1超静定结构的组成和超静定次数§6-2力法基本原理§6-3力法举例§6-5力法简化计算§6-6温度变化及有弹簧支座结构的计算§6-7超静定结构的位移计算及力法计算校核§6-4超静定结构在支座移动时的力法计算2§6-1超静定结构的组成和超静定次数一、超静定结构的组成为了认识超静定结构的特性，我们把它与静定结构作一些对比。静定结构：一个结构，当它的支座反力和各截面的内力都可以用静力平衡条件唯一地确定时，该结构就叫做静定结构。超静定结构：一个结构，当它的支座反力和各截面的内力不能完全由静力平衡条件唯一地加以确定时，就叫做超静定结构。3即：超静定结构有如下特征：1、从几何构造分析的观点来看，超静定结构是有多余约束的几何不变体系2、若只考虑静力平衡条件，超静定结构的内力和支座反力不能够由平衡方程唯一确定，还要补充位移条件。若只满足平衡条件，超静定结构的内力和支座反力可以有无穷多组解答。如下图超静定梁，若只满足平衡条件，支座B的竖向反力可以是任意值。4ABEI,lql83q超静定结构分为：外部、内部、内外部超静定。这里：(a)为静定结构，求出支反力后即可求出内力。(a)为外部超静定结构。FPFyABAFyBFxA(a)FPBA(a´)FxAFyAFyBFyC5这里：(b)为静定结构，求出支反力后即可求出内力。(b)为外部静定、内部超静定结构。AB(b)FyAFyBFxA(b´)ABFxAFyAFyB6这里：(c)为静定结构，求出支反力后即可求出内力。(c)为外部超静定结构。此外：还有的结构内外部都是超静定的。(c)ABFyAFyBFxAFxB(c´)ABFxAFyAFyBFxB7二、超静定结构的种类(a)连续梁、单跨超静定梁(b)超静定刚架8(c)超静定拱(d)超静定桁架(e)超静定组合结构9(f)排架三、超静定次数的确定1、公式法确定(通过计算自由度获得)超静定次数n=-W=结构的多余约束数2、切除多余约束法(选取基本体系)超静定次数n=把超静定结构变为静定结构时所需切除的多余约束数10即：超静定次数n=结构多余约束数目。规则：1）去掉或切断一根链杆，相当于去掉一个约束；2）去掉一个简单铰，相当于去掉两个约束；3）去掉一个固定支座或切断一根梁式杆，相当于去掉三个约束；4）在梁式杆上加一个简单铰，相当于去掉一个约束。基本体系：通过切除多余约束而得到的静定结构。通常做法：拆除原结构的所有多余约束，代之以多余力X，而得到静定结构。11例：a)1X2Xn=2n=21X2X原结构1X2Xn=22X1X1X2X1X2X1X2X1X2X静定结构静定结构有很多种，但应选取易于计算的形式。12还可以变成组合刚架b)原结构n=21X2X三铰刚架1X2Xn=2简支刚架n=21X2X悬臂刚架静定结构13c)n=31X2X3X原结构d)原结构1X2Xn=21X2X一个封闭框有三个多余约束14f)1X2Xn=33X特别注意：不要把原结构拆成几何可变体系。此外，要把超静定结构的多余约束全部拆除。原结构e)1X1Xn=1原结构15§6-2力法基本原理一、基本思路力法是计算超静定结构的最基本的方法。采用力法解超静定结构问题时，必须要把超静定问题与静定问题联系起来，加以比较，从中找到由静定过渡到超静定的途径。将超静定结构问题转化为静定结构问题；利用熟悉的静定结构的计算方法达到计算超静定结构的目的。16解超静定结构，除应满足平衡条件外，还必须满足位移协调条件。二、一次超静定结构的力法计算利用具有一个多余约束的一次超静定梁，说明力法的基本解题思路(抗弯刚度EI=常数)。1、确定基本未知量(选取基本体系)CBAqll撤除支座B的链杆，代之以多余力X1(得到基本体系)，X1即是基本未知量。当然基本体系还有很多种。17其基本结构是简支梁。2、基本体系简支梁AC在q和X1的共同作用下处于平衡状态，此时的状态与原结构等效，称为原结构的基本体系(不唯一)。CBAqll＝X1基本体系CBA+11X1CBA＝1PCBAq3、基本方程基本方程就是求解X1的方程。18由基本体系知：求出X1后，问题即获得解决。原结构：1=0(B点的竖向位移为零)。由1=1P+11，可得：1P+11=0由前面知1P、11的物理意义是非常明确的。当位移1、11、1P与X1的方向一致时取正值，但是要注意这里X1的方向是任意设的。现在提出的问题是：如何求出11和1P。1P—属静定结构的位移计算问题，可简单求出。11—由X1引起，可利用叠加原理求解。19设X1=1时在B点产生的位移为11，则：11=11X1，代入上述变形条件有：11X1+1P=0式中：11－系数；1P－自由项。此为线性变形条件下一次超静定结构的力法方程。4、求解X111、1P可用图乘法简单求出，然后X1即可获解。X1求出后，可按静力平衡方程求出支座反力和内力，它们就是原结构的反力和内力。1111PX20上述计算超静定结构的方法就是力法。基本特点：以多余力作为基本未知量，根据所去掉的多余约束处相应的位移条件，建立关于多余力的方程或方程组。特别强调：力法基本方程是位移协调方程。5、具体计算求作上例的弯矩图(M图)（1）作图计算PMM、P111、CA/22ql图PMX1=1BCA图1M2/l21111图自乘得MEIllllEIdxMEI6)232221(2132111PPMM11图互乘得和EIqlllqlEIdxMMEIPP245)165232(214211代入力法方程和，将）求（PX11112)(45)6245(341111qllEIEIqlXPX1为正，说明其方向与假设方向相同，反之则相反。22(3)作M图(如下页图)先计算主控截面的弯矩，然后按静定结构作M图的方法作原结构的弯矩图。PMXMM11)(8452222上部受拉qlqllqlMBCBAM图/82ql/82ql236、讨论若取基本体系为右图(a)，去掉B点的转动约束，代之以一对大小相等、方向相反的力偶X1，可得：ACBX1q基本体系(a)此即为B点的弯矩。需注意的是：两种基本体系，计算工作量相差很大。)(821上部受拉qlX(b)X1=11CBA图M82qlACBq(c)82ql图PM24下面用一简例总结力法求解过程：如下图示超静定梁，去掉支座B的链杆，用相应的未知力X1代替，X1称为力法基本未知量。去掉B支座的多余约束后得到的静定结构称为力法基本结构。EIFPABl/2l/2AB基本结构FPAB基本体系1X25+EIFP（ΔBV=0）ABl/2l/2原结构AB1XΔ11AB11Xδ11）(Δ1PFPABAB基本结构FPAB基本体系1X001111111PBVPX26因为：11111X方程可写为：11110PX即：力法方程为：1110PBV基本结构的位移=原结构的位移BV——原结构B截面竖向位移11——基本结构在X1=1作用下沿X1方向的位移。1P——基本结构在FP作用下沿X1方向的位移。系数和自由项的物理意义：27特别注意：1）力法方程是位移方程（变形协调方程）。2）力法方程的物理意义：基本结构在荷载FP和未知量X1共同作用下沿X1方向的位移等于原结构B支座竖向位移。力法计算：1)求系数及自由项lAB11Xl/2M图FPAMP图2lFP28EIllllEI3322113111231121()2223325158648PPPPFllllEIFlFllEIEI31111353/485()16PPPFlEIXEIlF2)求未知力X1293)作内力图1PMMXMM图FQ图ABlFP163lFP325PF1611PF16530三、多次超静定结构的力法计算下面给出多次超静定结构的基本结构在荷载和未知力X分别作用下的位移图。原结构ABFPqCDΔBH=0ΔBV=0θB=0基本体系ABFPqCDX1X3X2=31FPABqCDΔ2PΔ1PΔ3PABCDδ22δ12δ32X2=1ABCDδ21δ11δ31X1=1ABCDδ23δ13δ33X3=1=+++1X2X3X32力法方程为根据前面给出的位移图讨论力法方程和系数的物理意义。01313212111BHPXXX02323222121BVPXXX03333232131BPXXX)321(0332211、、或写成：iXXXiPiii此即为求解多余力X1、X2、X3的力法方程组，称为力法基本方程。33i表示位移的方位；j表示产生位移的原因。自由项：可能大于、等于或小于零。iP主系数：δ11、δ22、δ33恒大于零。副系数：δij(i≠j)可能大于、等于或小于零。计算系数和自由项：用静定结构的位移计算公式计算。iPijii、、dxMMEIdxMMEIdxMEIPiiPjiijiii1112由互等定理：ijii34符号说明：图；作用下基本结构的弯矩1iiXM的方向产生的位移；的作用点沿在iijiXXX1j的方向产生的位移。的作用点沿外荷载作用下在iiiPXX注意：当选取不同的基本体系时，力法的基本方程形式相同，只是多余力的含义不同。求解基本未知量Xi将ii、ij、iP代入力法方程，求解X1、X2、X3。作弯矩图PMXMXMXMM33221135四、n次超静定结构的力法典型方程符号意义同前。求解内力(作内力图)的公式：作内力图可以延用第三章的作法：由M→FQ→FN。)21(02211niXXXiPninii、、、PnnMXMXMXMM2211QPnQnQQQFXFXFXFF2211NPnNnNNNFXFXFXFF221136五、力法求解超静定结构的步骤1、确定基本未知量(选取基本体系)；2、列力法方程：注意：对于不同的结构，在计算ij、iP时考虑的因素不同，如梁和刚架，一般只考虑弯矩的影响，与第八章位移计算时基本相同。)21(02211niXXXiPninii、、、3、计算系数和自由项：iPijii、、4、求解基本未知量Xi；5、作内力图。计算公式同前。37§6-3力法举例一、连续梁例6-3-1作图示连续梁的弯矩图和剪力图。1、选取基本体系。用力法解连续梁时，其基本体系是将杆件在中间支座处变为铰，如下图所示。ABqCDlllEIEIEIABqCD基本体系X1X2原结构ΔφB=0ΔφC=038ABqCDΔ1PABCDX1=1δ11δ21ABCDX2=1δ12δ222、列力法方程）（）（000022221211212111CPBPXXXX讨论方程和系数的物理意义。393、求系数和自由项作图、图及MP图如图示。1M2MΔφB=0——B左右截面相对转角等于零。ΔφC=0——C左右截面相对转角等于零。位移方程(力法方程)ABCDX1=111M图ABCDX2=112M图4002PEIqlqllEIP242181321321EIllEI3232121211EIl3222122111111236llEIEIABqCD82qlMP图上述弯矩图的一个特征是：弯矩图局部化。图乘计算求系数和自由项：41312122036242063llqlXXEIEIEIllXXEIEI2121240440qlXXXX解方程得：5、作内力图PMXMXMM22111)根据下式求各截面M值，然后画M图。211()15Xql221()60Xql4、求基本未知量422)根据M图求各杆剪力并画FQ图。AB2151qlq