第一节--任意角和弧度制及任意角的三角函数

第一节任意角和弧度制及任意角的三角函数一、基础知识批注——理解深一点1．角的概念的推广(1)定义：角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形．(2)分类按旋转方向不同分为正角、负角、零角.按终边位置不同分为象限角和轴线角.(3)终边相同的角：所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋2kπ，k∈Z}．终边相同的角不一定相等，但相等的角其终边一定相同．2．弧度制的定义和公式(1)定义：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，弧度记作rad.(2)公式：角α的弧度数公式|α|＝lr(l表示弧长)角度与弧度的换算①1°＝π180rad；②1rad＝180π°弧长公式l＝|α|r扇形面积公式S＝12lr＝12|α|r2有关角度与弧度的两个注意点(1)角度与弧度的换算的关键是π＝180°，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．(2)利用扇形的弧长和面积公式解题时，要注意角的单位必须是弧度．3．任意角的三角函数(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么sinα＝y，cosα＝x，tanα＝yx(x≠0)．(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在x轴上，余弦线的起点都是原点，正切线的起点都是(1,0)．如图中有向线段MP，OM，AT分别叫做角α的正弦线、余弦线和正切线．二、常用结论汇总——规律多一点(1)一个口诀三角函数值在各象限的符号：一全正、二正弦、三正切、四余弦．(2)三角函数定义的推广设点P(x，y)是角α终边上任意一点且不与原点重合，r＝|OP|，则sinα＝yr，cosα＝xr，tanα＝yx(x≠0)．(3)象限角(4)轴线角三、基础小题强化——功底牢一点一判一判对的打“√”，错的打“×”(1)锐角是第一象限的角，第一象限的角也都是锐角．()(2)角α的三角函数值与其终边上点P的位置无关．()(3)不相等的角终边一定不相同．()(4)若α为第一象限角，则sinα＋cosα1.()答案：(1)×(2)√(3)×(4)√(二)选一选1．角－870°的终边所在的象限是()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选C∵－870°＝－1080°＋210°，∴角－870°的终边在第三象限．2．已知角α的终边过点P(－1,2)，则sinα＝()A.55B.255C．－55D．－255解析：选B因为|OP|＝－12＋22＝5(O为坐标原点)，所以sinα＝25＝255.3．若角θ同时满足sinθ0且tanθ0，则角θ的终边一定位于()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选D由sinθ0，可知θ的终边可能位于第三象限或第四象限，也可能与y轴的非正半轴重合．由tanθ0，可知θ的终边可能位于第二象限或第四象限，故θ的终边只能位于第四象限．(三)填一填4．已知扇形的圆心角为60°，其弧长为2π，则此扇形的面积为________．解析：设此扇形的半径为r，由题意得π3r＝2π，所以r＝6，所以此扇形的面积为12×2π×6＝6π.答案：6π5．在0到2π范围内，与角－4π3终边相同的角是________．解析：与角－4π3终边相同的角是2kπ＋－4π3，k∈Z，令k＝1，可得在0到2π范围内与角－4π3终边相同的角是2π3.答案：2π3考点一象限角及终边相同的角[典例](1)若角α是第二象限角，则α2是()A．第一象限角B．第二象限角C．第一或第三象限角D．第二或第四象限角(2)终边在直线y＝3x上，且在[－2π，2π)内的角α的集合为________．[解析](1)∵α是第二象限角，∴π2＋2kπαπ＋2kπ，k∈Z，∴π4＋kπα2π2＋kπ，k∈Z.当k为偶数时，α2是第一象限角；当k为奇数时，α2是第三象限角．故选C.(2)如图，在坐标系中画出直线y＝3x，可以发现它与x轴的夹角是π3，在[0,2π)内，终边在直线y＝3x上的角有两个：π3，4π3；在[－2π，0)内满足条件的角有两个：－2π3，－5π3，故满足条件的角α构成的集合为－5π3，－2π3，π3，4π3.[答案](1)C(2)－5π3，－2π3，π3，4π3[解题技法]1．象限角的2种判断方法图象法在平面直角坐标系中，作出已知角并根据象限角的定义直接判断已知角是第几象限角转化法先将已知角化为k·360°＋α(0°≤α360°，k∈Z)的形式，即找出与已知角终边相同的角α，再由角α终边所在的象限判断已知角是第几象限角2．求θn或nθ(n∈N*)所在象限的步骤(1)将θ的范围用不等式(含有k，且k∈Z)表示；(2)两边同除以n或乘以n；(3)对k进行讨论，得到θn或nθ(n∈N*)所在的象限．[提醒]注意“顺转减，逆转加”的应用，如角α的终边逆时针旋转180°可得角α＋180°的终边，类推可知α＋k·180°(k∈Z)表示终边落在角α的终边所在直线上的角．[题组训练]1．集合αkπ≤α≤kπ＋π4，k∈Z中的角所表示的范围(阴影部分)是()解析：选B当k＝2n(n∈Z)时，2nπ≤α≤2nπ＋π4(n∈Z)，此时α的终边和0≤α≤π4的终边一样，当k＝2n＋1(n∈Z)时，2nπ＋π≤α≤2nπ＋π＋π4(n∈Z)，此时α的终边和π≤α≤π＋π4的终边一样．2．在－720°～0°范围内所有与45°终边相同的角为________．解析：所有与45°终边相同的角可表示为：β＝45°＋k×360°(k∈Z)，则令－720°≤45°＋k×360°0°(k∈Z)，得－765°≤k×360°－45°(k∈Z)，解得－765360≤k－45360(k∈Z)，从而k＝－2或k＝－1，代入得β＝－675°或β＝－315°.答案：－675°或－315°考点二三角函数的定义[典例]已知角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，则1sinα＋1tanα＝________.[解析]∵角α的终边经过点P(－x，－6)，且cosα＝－513，∴cosα＝－xx2＋36＝－513，解得x＝52或x＝－52(舍去)，∴P－52，－6，∴sinα＝－1213，∴tanα＝sinαcosα＝125，则1sinα＋1tanα＝－1312＋512＝－23.[答案]－23[解题技法]用定义法求三角函数值的2种类型及解题方法(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求解．[题组训练]1．已知角α的终边经过点(3，－4)，则sinα＋1cosα＝()A．－15B.3715C.3720D.1315解析：选D∵角α的终边经过点(3，－4)，∴sinα＝－45，cosα＝35，∴sinα＋1cosα＝－45＋53＝1315.2．已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C．35D．45解析：选B设P(t,2t)(t≠0)为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.考点三三角函数值符号的判定[典例]若sinαtanα0，且cosαtanα0，则角α是()A．第一象限角B．第二象限角C．第三象限角D．第四象限角[解析]由sinαtanα0可知sinα，tanα异号，则α为第二象限角或第三象限角．由cosαtanα0可知cosα，tanα异号，则α为第三象限角或第四象限角．综上可知，α为第三象限角．[答案]C[解题技法]三角函数值符号及角所在象限的判断三角函数在各个象限的符号与角的终边上的点的坐标密切相关．sinθ在一、二象限为正，cosθ在一、四象限为正，tanθ在一、三象限为正.学习时首先把取正值的象限记清楚，其余的象限就是负的，如sinθ在一、二象限为正，那么在三、四象限就是负的．值得一提的是：三角函数的正负有时还要考虑坐标轴上的角，如sinπ2＝10，cosπ＝－10.[口诀归纳]三角符号问象限，终边坐标紧相关；正弦余弦和正切，一二一四和一三；正值象限先记清，其余象限负数定．[题组训练]1．下列各选项中正确的是()A．sin300°0B．cos(－305°)0C．tan－22π30D．sin100解析：选D300°＝360°－60°，则300°是第四象限角，故sin300°0；－305°＝－360°＋55°，则－305°是第一象限角，故cos(－305°)0；－22π3＝－8π＋2π3，则－22π3是第二象限角，故tan－22π30；3π107π2，则10是第三象限角，故sin100，故选D.2．已知点P(cosα，tanα)在第三象限，则角α的终边在()A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：选B由题意得cosα0，tanα0⇒cosα0，sinα0，所以角α的终边在第二象限．[课时跟踪检测]A级——保大分专练1．已知扇形的面积为2，扇形圆心角的弧度数是4，则扇形的周长为()A．2B．4C．6D．8解析：选C设扇形的半径为r(r0)，弧长为l，则由扇形面积公式可得2＝12lr＝12|α|r2＝12×4×r2，解得r＝1，l＝|α|r＝4，所以所求扇形的周长为2r＋l＝6.2．(2019·石家庄模拟)已知角α(0°≤α360°)终边上一点的坐标为(sin150°，cos150°)，则α＝()A．150°B．135°C．300°D．60°解析：选C由sin150°＝120，cos150°＝－320，可知角α终边上一点的坐标为12，－32，故该点在第四象限，由三角函数的定义得sinα＝－32，因为0°≤α360°，所以角α为300°.3．(2018·长春检测)若角α的顶点为坐标原点，始边在x轴的非负半轴上，终边在直线y＝－3x上，则角α的取值集合是()A.αα＝2kπ－π3，k∈ZB.αα＝2kπ＋2π3，k∈ZC.αα＝kπ－2π3，k∈ZD.αα＝kπ－π3，k∈Z解析：选D当α的终边在射线y＝－3x(x≤0)上时，对应的角为2π3＋2kπ，k∈Z，当α的终边在射线y＝－3x(x≥0)上时，对应的角为－π3＋2kπ，k∈Z，所以角α的取值集合是αα＝kπ－π3，k∈Z.4．已知角α的终边经过点(3a－9，a＋2)，且cosα≤0，sinα＞0，则实数a的取值范围是()A．(－2,3]B．(－2,3)C．[－2,3)D．[－2,3]解析：选A由cosα≤0，sinα＞0可知，角α的终边落在第二象限或y轴的正半轴上，所以有3a－9≤0，a＋2＞0，解得－2＜a≤3.5．在平面直角坐标系xOy中，α为第二象限角，P(－3，y)为其终边上一点，且sinα＝2y4，则y的值为()A.3B．－5C.5D.3或5解析：选C由题意知|OP|＝3＋y2，则sinα＝y3＋y2＝2y4，解得y＝0(舍去)或y＝±5，因为α为第二象限角，所以y0，则y＝5.6．已知角α＝2kπ－π5(k∈Z)，若角θ与角α的终边相同，则y＝sinθ|sinθ|＋cosθ|cosθ|＋tanθ|tanθ|的值为()A．1B．－1C．3D．－3解析：选B由α＝2kπ－π5(k∈Z)及终边相同的概念知，角α的终边在第四象限，因为角θ与角α的终边相同，所以角θ是第四象限角，所以sinθ＜0，cosθ＞0，tanθ＜0.所以y＝－1＋1－1＝－1.7．已知一个扇形的圆心角为3π4，面积为3π2，则此扇形的半径为________．解析：设此扇形的半径为r(