高中数学人教A版选修1-1课件：3.3.1《函数的单调性与导数》

函数的单调性与导数内容：利用导数研究函数的单调性应用利用导函数判断原函数大致图象利用导数求函数的单调区间从导数的角度解释增减及增减快慢的情况有关含参数的函数单调性问题本课主要学习利用导数研究函数的单调性.利用动画剪纸之对称性引入新课,接着复习了函数单调性的相关问题，通过探究跳水运动中高度h随时间t变化的函数的图象,讨论运动员的速度v随时间t变化的函数关系，再结合具体函数，探究函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性问题。结合具体例子探索函数的单调性与导数的关系、利用导数判断函数的单调性或求函数的单调区间、从导数的角度解释增减及增减快慢的情况及含参数的函数单调性问题．重点是利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间．采用例题与变式练习相结合的方法，通过4个例题探讨利用导数研究函数的单调性问题。随后是5道课堂检测，通过设置难易不同的必做和选做试题，对不同的学生进行因材施教。动画剪纸之对称性函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型,研究函数时,了解函数的增与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质,我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解.函数的单调性与函数的导数一样都是反映函数变化情况的,那么函数的单调性与函数的导数是否有着某种内在的联系呢?创设情景:复习引入：一般地，对于给定区间D上的函数f(x)，若对于属于区间D的任意两个自变量的值x1，x2，当x1x2时，有问题1：函数单调性的定义怎样描述的?(1)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是增函数.(2)若f(x1)f(x2)，那么f(x)在这个区间上是减函数.(2)作差f(x1)－f(x2)(作商)2．用定义证明函数的单调性的一般步骤：(1)任取x1、x2∈D，且x1x2.(4)定号(判断差f(x1)－f(x2)的正负)(与０比较)(3)变形(因式分解、配方、通分、提取公因式)(5)结论3.研究函数的单调区间你有哪些方法?（1）观察法:观察图象的变化趋势;（2）定义法:4.讨论函数y=x2－4x＋3的单调性.定义法单增区间：(２，+∞).单减区间：(－∞，２).图象法5.确定函数f(x)=xlnx在哪个区间内是增函数?哪个区间内是减函数?提出问题:(1)你能画出函数的图象吗?(2)能用单调性的定义吗?试一试,提问一个学生:解决了吗?到哪一步解决不了?（产生认知冲突）发现问题:定义是解决单调性最根本的工具,但有时很麻烦,甚至解决不了.尤其是在不知道函数的图象的时候,如该例,这就需要我们寻求一个新的方法来解决．（1）（2）引导：随着时间的变化,运动员离水面的高度的变化有什么趋势?是逐渐增大还是逐步减小?如图（1）,它表示跳水运动中高度h随时间t变化的函数h(t)=-4.9t2+6.5t+10的图象,图（2）表示高台跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?()()9.86.5vthtt通过观察图象,我们可以发现：（1）运动员从起点到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,．()()0vtht()()0vtht（2）从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减少,即h(t)是减函数.相应地,．函数的单调性可简单的认为是：2121()()0,()fxfxfxxx若则函数为增函数21212121()()()()fxfxfxfxyxxxxx可把看作说明函数的变化率可以反映函数的单调性，即函数的导数与函数的单调性有着密切的联系.上述情况是否具有一般性呢?导数的几何意义是函数在该点处的切线的斜率,函数图象上每个点处的切线的斜率都是变化的,那么函数的单调性与导数有什么关系呢?观察下面函数的图象,探讨函数的单调性与其导数正负的关系(1)R,yx函数的定义域为其导数10y2(2)R,(,0),(0,)yx函数的定义域为并且在上单调递减在上单调递增,其导数2yx0,0;0,0;0,0.xyxyxy当时当时当时并且在定义域上是增函数,3(3)R,yx函数的定义域为并且在定义域上是增函数,其导数23yx220,30;0,30.xxxx若则其导数当则其导数1(4)(,0)(0,),(,0),(0,)yx函数的定义域为并且在上单调递减在上单调递减.21,0,0.yxyx而因为所以2yx0.......再观察函数y=x2－4x＋3的图象：该函数在区间（－∞，2）上单减,切线斜率小于0,即其导数为负;而当x=2时其切线斜率为0,即导数为0.函数在该点单调性发生改变.在区间（2，+∞）上单增,切线斜率大于0,即其导数为正.如果,那么函数在这个区间内单调递增;如果,那么函数在这个区间内单调递减.如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.结论：在某个区间(a,b)内,函数在某个点处的导数值与函数在该点处的单调性的关系是：11(,())xfx00(,())xfx()yfx000,()0,,()在处切线是左下右上函数在附近单调递增xxfxfxx111,()0,,()在处切线是左上右下函数在附近单调递减xxfxfxx一般地,设函数y=f(x)在某个区间(a,b)内可导,则函数在该区间如果在某个区间内恒有f´(x)=0,则f(x)为常数函数.如果f´(x)0,则f(x)在这个区间为增函数;则f(x)在这个区间为减函数.如果f´(x)0,函数的单调性与导数的关系:若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为在(a,b)上恒成立;'()0fx若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为在(a,b)上恒成立.'()0fx例1、已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。利用导函数判断原函数大致图象41解:大体图象为ABxyo23已知导函数的下列信息：试画出函数f(x)图象的大致形状。利用导数求函数的单调区间例2.判断下列函数的单调性,并求出单调区间．3232(1)()3(2)()23(3)()sin(0,)(4)()23241fxxxfxxxfxxxxfxxxx322:(1)()3()333(1)0fxxxfxxx解3,()3.fxxxR因此在上单调递增如图1所示.2:(2)()23()2221fxxxfxxx解2()0,1,()23fxxfxxx当即时函数单调递增2()0,1,()23fxxfxxx当即时函数单调递减2()23fxxx函数的图象如图所示1（2）:(3)()sin(0,)()cos10fxxxxfxx解,()sin(0,)fxxx因此函数在单调递减,如图32:(4)()23241fxxxx解32()0,,()23241fxfxxxx当即时函数32()0,,()23241fxfxxxx当即时函数32()23241fxxxx函数的图象如图所示根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数f´(x)3.解不等式f´(x)0,得函数单增区间;解不等式f´(x)0,得函数单减区间.利用导数判断函数单调性及求单调区间应注意的问题：（1）在利用导数讨论函数的单调区间时,首先要确定函数的定义域,解决问题的过程中,只能在定义域内,通过讨论导数的符号,来判断函数的单调区间．（2）在对函数划分单调区间时,除了必须确定使导数等于零的点外,还有注意在定义域内不连续点和不可导点．（3）如果一个函数具有相同单调性的单调区间不止一个,这些单调区间中间不能用“”连接,而只能用“逗号”或“和”字隔开．1,yxx已知函数试讨论出此函数的单调区间2222111(1)(1):()1xxxyxxxxx解2(1)(1)0,11xxxxx令解得或1(,-1)(1,)yxx的单调区间是和2(1)(1)01001xxxxx令解得或1(1,0)(0,1).yxx的单调区间是和例3如图,水以常速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同的容器中,请分别找出与各容器对应的水的高度h与时间t的函数关系图象.(A)(B)(C)(D)htOhtOhtOhtO从导数的角度解释增减及增减快慢的情况解:(1)→(B),(2)→(A),(3)→(D),(4)→(C)一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较“陡峭”(向上或向下);反之,函数的图象就“平缓”一些.如图,函数在或内的图象“陡峭”,在或内的图象平缓.有关含参数的函数单调性问题34.()1,().fxxaxfx例已知函数讨论的单调性2:()3fxxa解(1)0,()0,()(,)当时所以在上为增函数afxfx23(2)0,303aaxax当时令得3333,()0;,()0;3333aaaaaafxafx当或时当-时33()()()33aafx因此在，，，上位增函数33()33在，上为减函数aa0,()0,()(,)综上可知,当时在上为增函数afxfx330()()()3333(,)33aaafxaa当时,在，，，上为增函数,在上为减函数.1.(),(),.fxfxa不变若为增函数求实数的取值范围2.(),()(1,),.fxfxa不变若在区间上为增函数求实数的取值范围3.(),()(1,1),.fxfxa不变若在区间上为减函数求实数的取值范围4.(),()(1,1),.fxfxa不变若在减区间为求实数的值5.(),()(1,1),.fxfxa不变若在区间上不单调求实数的取值范围(0]，(3]，[3+)，3a(03)，max()()mfxmfx恒成立min()()mfxmfx恒成立(1)函数的单调性与导数的关系;如何从导数的角度解释增减及增减快慢的情况;数学知识：(2)求解函数y=f(x)单调区间的步骤:①确定函数y=f(x)的定义域（养成研究函数的性质从定义域出发的习惯）;②求导数f´(x);③得结论:f´(x)且在定义域内的为增区间;f´(x)0且在定义域内的为减区间．数学思想：数形结合和转化思想．(3)由函数在(a,b)上的单调性,求参数的取值范围:若f(x)在区间(a,b)上是增函数,则转化为f´(x)≥0在(a,b)上恒成立;若f(x)在区间(a,b)上是减函数,则转化为f´(x)≤0在(a,b)上恒成立.然后检验参数的取值能否使f´(x)恒等于0.必做题1.求下列函数的单调区间：2(1)24yxx(2)xyex3(3)3yxx32(4)yxxx2:(1)24(1,),(,1)yxx解的增区间是减区间是(2)(0,),(,0)xyex的增区间是减区间是3(3)3(1,1),(,1)(1,)yxx的增区间是减区间是和321(4)(1,)(,),31(,1)3yxxx的增区间是和减区间是322.:()267(0,2)fxxx求证函数在内是减函数3.()(0).bfxxbx求函数的单调区间2(0,2)()3210fxxx只需证明在内()(0)(,)(,),(,0)(0,)bfxxbbbxbb的增区间是和减区间是和3211.()1(0).3fxaxxa求函数的单调区间322.()331210(1,11)(1),.(2)()fxxaxbxxyabyfx已知的图象与直线相切于点求的值讨论函数的单调性.选做题3212()1(0)(,)(0,),