1.3.1-函数的单调性与导数-课件

1.3导数在研究函数中的应用1.3.1函数的单调性与导数过山车是一项富有刺激性的娱乐工具.那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷.过山车在设计过程中用到了那些数学知识呢，本节课我们就研究一下导数在实际生活中的应用吧！1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理.（重点）2.利用导数判断函数单调性.（难点）3.掌握利用导数判断函数单调性的方法.图(1)表示高台跳水运动员的高度随时间t变化的函数的图象,图(2)表示高台跳水运动员的速度随时间t变化的函数的图象.运动员从起跳到最高点,以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别?2()4.96.510httt()9.86.5vttaabbttvhOO(1)(2)探究：函数的单调性与其导函数的关系vhaabbttvhOO①运动员从起跳到最高点,离水面的高度h随时间t的增加而增加,即h(t)是增函数.相应地,()()0.vtht②从最高点到入水,运动员离水面的高度h随时间t的增加而减小,即h(t)是减函数.相应地,()()0.vtht(1)(2),.观察下面一些函数图象探讨函数的单调性与其导函数正负的关系yxyxO12yxOyx23yxOyx31yxOyx4OOOO3.33图yfxOyx00,xfx11,xfxxxxxxxxxxxxxxx000000111如图,导数表示函数f在点,f处的切线的斜率.在=处,0,切线是“左下右上”式的,这时,函数f在附近单调递增;在=处,0,切线是“左上右下”式的,这时,函数f在附近fff单调递减.,:一般地函数的单调性与其导函数的正负有如下关系在某个区间a,b内,如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递增;如果fx0,那么函数y=fx在这个区间内单调递减.''例1已知导函数的下列信息:当1x4时,当x4,或x1时,当x=4,或x=1时,()fx()0;fx()0;fx()0.fx试画出函数f（x）图象的大致形状.解:当1x4时,可知在此区间内单调递增;f(x)0,f(x)当x4,或x1时,可知在这两个区间内单调递减;f(x)0,f(x)当x=4,或x=1时,f(x)=0.综上,函数图象的大致形状如图所示.f(x)xyO14y=()fx例2判断下列函数的单调性,并求出单调区间:32(1)()3;(2)()23;fxxxfxxx(3)()sin,(0,);fxxxx32(4)()23241.fxxxx解:(1)因为,所以3f(x)=x+3x22f(x)=3x+3=3(x+1)0.因此,函数在上单调递增.如图(1)所示3f(x)=x+3xxRxyo3fx=x+3x图1为2'2因fx=x-2x-3,所以fx=2x-2=2x-1.当时数单调递'2fx0,即x1,函fx=x-2x-3增;当时数单调递减'2fx0,即x1,函fx=x-2x-3.(2)数图图2函fx=x-2x-3的象如所示.xyo2fx=x-2x-3图21.数的单调递区间为单调递减区间为2函fx=x-2x-3增1，+∞，-∞，13因为fx=sinx-x,x∈0,π,所以fx=因此,函数fx=sinx-x,x∈0,π内.xyofx=sinx-x图3cos10x单调递减（3）如图所示.324因为fx=2x+3x-24x+1,所以x=f.当x0,即时,函数fxf;当x0,即时,函数fxf.26624xx11711722xx或单调递增11711722x单调递减32fx=2x+3x-24x+1的图象如图（4）所示.3223241.函数单调递增区间为，单调递减区间为fxxxx,-1-17-1+17-∞，,+∞22-1-17-1+17,22Oxy32fx=2x+3x-24x+1图（4）根据导数确定函数的单调性步骤：1.确定函数f(x)的定义域.2.求出函数的导数.3.解不等式f´(x)0,得函数单调增区间;解不等式f´(x)0,得函数单调减区间.总结提升4.利用导数研究函数单调性时应注意的三个问题(1)定义域优先的原则：解决问题的过程只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间.(2)注意“临界点”和“间断点”：在对函数划分单调区间时，除了必须确定使导数等于零的点外，还要注意在定义域内的间断点.(3)单调区间的表示：如果一个函数的单调区间不止一个，这些单调区间之间不能用“∪”连接，而只能用“逗号”隔开.水的如图,水以恒速(即单位时间内注入水的体积相同)注入下面四种底面积相同例的3容器中,请分别找出与各容器对应的高度h与时间t的函数关系图象.1234AothBothCothDoth2Aoth为细时开阶来图变况况以容器2例,由于容器上下粗,所以水以恒速注入,始段高度增加得慢,以后高度增加得越越快.反映在象上,A符合上述化情.同理可知其他三种容器分的情析.1→B,2→A,3→D,解4→C.例3表明,通过函数图象,不仅可以看出函数的增与减,还可以看出其增减的快慢.结合图象,你能从导数的角度解释增减快慢的思考情况吗?一般地,如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大,那么函数在这个范围内变化得快,这时,函数的图象就比较陡峭向上或向下;反之,函数的图象就平缓一些.如图所示,函数y=fx在0,a或-a,0内图象陡峭,在a,+∞或-∞,-a内平缓.“”“”“”“”oxyaa例4（补充例）已知函数f(x)＝ax3＋3x2－x＋1在(－∞，＋∞)上是减函数，求实数a的取值范围．【解析】f′(x)＝3ax2＋6x－1，由题意得3ax2＋6x－1≤0在(－∞，＋∞)上恒成立．当a＝0时，6x－1≤0，x≤不满足题意，∴a≠0.当a≠0时，由题意得，解得a≤－3.综上可知，实数a的取值范围是a≤－3.16a0,3612a0,1.函数y=3x－x3的单调增区间是()A.(0，+∞)B.(－∞，－1)C.(－1，1)D.(1，+∞)C2.（2014·新课标全国2）若函数在区间单调递增，则k的取值范围是()A.B.C.D.--2（，]D--1]（，2+[，）1+[，）()(1,)()01()-ln()-0.11.[1,).fxfxfxkxxfxkxkkx因为在上递增，所以恒成立因为，所以即以解所()-lnfxkxx1+（，）3．函数y=xlnx在区间(0，1)上是()A.单调增函数B.单调减函数C.在(0,)上是减函数，在(,1)上是增函数D.在(,1)上是减函数，在(0,)上是增函数1eC1e1e1e4．函数y=x2(x+3)的单调递减区间是，单调递增区间是.(－2，0)(－∞，－2),(0，+∞)5．函数f(x)=cos2x的单调递减区间是.做一做(请把正确的答案写在横线上)(1)函数y=x3+x在(-∞，+∞)上的图象是________(填“上升”或“下降”)的.(2)若f(x)=ax3+bx2+cx+d(a0)在R上为增函数，则a，b，c的关系式为____________.(3)函数y=x3+x2-5x-5的单调递增区间是____________.【解析】(1)由于y′=3x2+10对于任何实数恒成立，所以函数y=x3+x在(-∞，+∞)上是增函数，则图象是上升的.答案：上升(2)因为f′(x)=3ax2+2bx+c≥0恒成立，则得a0，且b2≤3ac.答案：a0，且b2≤3ac2a04b12ac0，，(3)令y′=3x2+2x-50，得x或x1.答案：(-∞，)，(1，+∞)5353【思维拓展】(1)函数y=f(x)是定义在R上的增函数，f′(x)0是否一定成立?提示：不一定成立.例如，y=x3在R上是增函数，但其在0处的导数为零，故f′(x)0是y=f(x)在某区间上是增函数的充分不必要条件.(2)函数y=x2与y=x3在y′=0的点是函数的临界点吗?提示：因为函数y=x2的导数是y′=2x，在y′=0的点左边和右边导数符号不同，是函数单调递增与单调递减的临界点；而函数y=x3的导数是y′=3x2，在y′=0的点左边和右边导数符号相同，不是函数单调递增与单调递减的临界点.1.求可导函数f(x)单调区间的步骤：(1)求(2)解不等式0(或0)(3)确认并指出递增区间（或递减区间）2.证明可导函数f(x)在(a,b)内的单调性的方法：(1)求(2)确认在(a,b)内的符号(3)作出结论f(x)f(x)f(x)f(x)f(x)