高三数学第一轮复习《双曲线-》讲义

2013届高三数学第一轮复习《双曲线》讲义要点梳理1．双曲线的概念平面内动点P与两个定点F1、F2(|F1F2|＝2c0)的距离之差的绝对值为常数2a(2a2c)，则点P的轨迹叫__双曲线______．这两个定点叫双曲线的__焦点______，两焦点间的距离叫___焦距_____．集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a、c为常数且a0，c0；(1)当___ac_____时，P点的轨迹是__双曲线______；(2)当___a＝c_____时，P点的轨迹是_两条射线_______；(3)当___ac_____时，P点不存在．这里要注意两点：(1)距离之差的绝对值．(2)2a|F1F2|．这两点与椭圆的定义有本质的不同：①当|MF1|－|MF2|＝2a时，曲线仅表示焦点F2所对应的一支；②当|MF1|－|MF2|＝－2a时，曲线仅表示焦点F1所对应的一支；③当2a＝|F1F2|时，轨迹是一直线上以F1、F2为端点向外的两条射线；④当2a|F1F2|时，动点轨迹不存在．2．双曲线的标准方程和几何性质标准方程x2a2－y2b2＝1(a0，b0)y2a2－x2b2＝1(a0，b0)图形性质范围x≥a或x≤－a，y∈Rx∈R，y≤－a或y≥a对称性对称轴：坐标轴对称中心：原点顶点A1(－a,0)，A2(a,0)A1(0，－a)，A2(0，a)渐近线y＝±baxy＝±abx离心率e＝ca，e∈(1，＋∞)，其中c＝a2＋b2实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的半实轴长，b叫做双曲线的半虚轴长a、b、c的关系c2＝a2＋b2(ca0，cb0)1．双曲线中a，b，c的关系区分双曲线中的a，b，c大小关系与椭圆中的a，b，c大小关系，在椭圆中a2＝b2＋c2，而在双曲线中c2＝a2＋b2．双曲线中有一个重要的Rt△OAB(如右图)，它的三边长分别是a、b、c．易见c2＝a2＋b2，若记∠AOB＝θ，则e＝ca＝1cosθ．2．渐近线与离心率x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的一条渐近线的斜率为ba＝b2a2＝c2－a2a2＝e2－1．可以看出，双曲线的渐近线和离心率的实质都表示双曲线张口的大小．双曲线的离心率大于1，而椭圆的离心率e∈(0,1)．3．与渐近线有关的性质：焦点到渐近线的距离等于半虚轴长b．共用渐近线的两条双曲线可能是：共轭的双曲线或放大后共轭的双曲线．与双曲线x2a2－y2b2＝1共用渐近线的双曲线的方程可设为x2a2－y2b2＝t(t≠0)．已知双曲线的标准方程求双曲线的渐近线方程时，只要令双曲线的标准方程中的“1”为“0”就得到两渐近线方程，即方程x2a2－y2b2＝0就是双曲线x2a2－y2b2＝1的两条渐近线方程．双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±bax，y2a2－x2b2＝1(a0，b0)的渐近线方程是y＝±abx．实轴长和虚轴长相等的双曲线为___等轴双曲线_______，其渐近线方程为___y＝±x_____，离心率为__e＝2______．4．直线与双曲线的位置关系：直线与双曲线交于一点时，不一定相切，例如：当直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线相交于一点，但不是相切；反之，当直线与双曲线相切时，直线与双曲线仅有一个交点．若利用弦长公式计算，在设直线斜率时要注意说明斜率不存在的情况．基础自测1．双曲线2x2－y2＝8的实轴长是()A．2B．22C．4D．421．C[∵2x2－y2＝8，∴x24－y28＝1，∴a＝2，∴2a＝4.]2．已知双曲线x22－y2b2＝1(b0)的左、右焦点分别为F1、F2，其中一条渐近线方程为y＝x，点P(3，y0)在该双曲线上，则PF1→·PF2→等于()A．－12B．－2C．0D．43．设直线l过双曲线C的一个焦点，且与C的一条对称轴垂直，l与C交于A，B两点，|AB|为C的实轴长的2倍，则C的离心率为()A.2B.3C．2D．33．B[设双曲线的标准方程为x2a2－y2b2＝1(a0，b0)，由于直线l过双曲线的焦点且与对称轴垂直，因此直线l的方程为l：x＝c或x＝－c，代入x2a2－y2b2＝1得y2＝b2(c2a2－1)＝b4a2，∴y＝±b2a，故|AB|＝2b2a，依题意2b2a＝4a，∴b2a2＝2，∴c2－a2a2＝e2－1＝2，∴e＝3.]4．已知点F1(－4,0)和F2(4,0)，一曲线上的动点P到F1，F2距离之差为6，该曲线方程是________x29－y27＝1(x≥3)_________．5．双曲线mx2＋y2＝1的虚轴长是实轴长的2倍，则m＝__－14_________________________．6．已知以双曲线C的两个焦点及虚轴的两个端点为顶点的四边形中，有一个内角为60°，则双曲线C的离心率为___62_____．7．已知双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)和椭圆x216＋y29＝1有相同的焦点，且双曲线的离心率是椭圆离心率的两倍，则双曲线的方程为__x24－y23＝1______．8．若双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为()A．5B．5C．2D．29．已知点(m，n)在双曲线8x2－3y2＝24上，则2m＋4的范围是__________________．(－∞，4－23]∪[4＋23，＋∞)10．已知A(1,4)，F是双曲线x24－y212＝1的左焦点，P是双曲线右支上的动点，求|PF|＋|PA|的最小值．解设双曲线的右焦点为F1，则由双曲线的定义可知|PF|＝2a＋|PF1|＝4＋|PF1|，∴|PF|＋|PA|＝4＋|PF1|＋|PA|.∴当满足|PF1|＋|PA|最小时，|PF|＋|PA|最小．由双曲线的图象可知当点A、P、F1共线时，满足|PF1|＋|PA|最小，易求得最小值为|AF1|＝5，故所求最小值为9.双曲线标准方程的求法：(1)定义法，根据题目的条件，判断是否满足双曲线的定义，若满足，求出相应的a、b、c，即可求得方程．(2)待定系数法，其步骤是：①定位：确定双曲线的焦点在哪个坐标轴上；②设方程：根据焦点的位置设出相应的双曲线方程；③定值：根据题目条件确定相关的系数题型一双曲线的标准方程例1(1)与双曲线x29－y216＝1有共同的渐近线，且过点(－3,23)求双曲线的标准方程；解(1)设所求双曲线方程为x29－y216＝λ(λ≠0)，将点(－3,23)代入得λ＝14，∴所求双曲线方程为x29－y216＝14，即x294－y24＝1.(2)已知双曲线与椭圆x29＋y225＝1的焦点相同，且它们的离心率之和等于145，则双曲线的方程为____________．y24－x212＝1解析由于在椭圆x29＋y225＝1中，a2＝25，b2＝9，所以c2＝16，c＝4，又椭圆的焦点在y轴上，所以其焦点坐标为(0，±4)，离心率e＝45.根据题意知，双曲线的焦点也应在y轴上，坐标为(0，±4)，且其离心率等于145－45＝2.故设双曲线的方程为y2a2－x2b2＝1(a0，b0)，且c＝4，所以a＝12c＝2，a2＝4，b2＝c2－a2＝12，于是双曲线的方程为y24－x212＝1.探究提高求双曲线的方程，关键是求a、b，在解题过程中应熟悉各元素(a、b、c、e)之间的关系，并注意方程思想的应用．若已知双曲线的渐近线方程为ax±by＝0，可设双曲线方程为a2x2－b2y2＝λ(λ≠0)．变式训练1根据下列条件，求双曲线方程：(1)若双曲线的渐近线方程为y＝±3x，它的一个焦点是(10，0)，求双曲线的方程；(1)x2－y29＝1(2)已知双曲线的渐近线方程为y＝±43x，并且焦点都在圆x2＋y2＝100上，求双曲线的方程．(2)x236－y264＝1或y264－x236＝1题型二双曲线的定义及应用例2已知定点A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C为一个焦点作过A，B的椭圆，求另一焦点F的轨迹方程．解题导引求曲线的轨迹方程时，应尽量地利用几何条件探求轨迹的曲线类型，从而再用待定系数法求出轨迹的方程，这样可以减少运算量，提高解题速度与质量．在运用双曲线的定义时，应特别注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是整条双曲线，还是双曲线的一支，若是一支，是哪一支，以确保轨迹的纯粹性和完备性．解设F(x，y)为轨迹上的任意一点，因为A，B两点在以C，F为焦点的椭圆上，所以|FA|＋|CA|＝2a，|FB|＋|CB|＝2a(其中a表示椭圆的长半轴)．所以|FA|＋|CA|＝|FB|＋|CB|.所以|FA|－|FB|＝|CB|－|CA|＝122＋92－122＋52＝2.所以|FA|－|FB|＝2.由双曲线的定义知，F点在以A，B为焦点，2为实轴长的双曲线的下半支上．所以点F的轨迹方程是y2－x248＝1(y≤－1)．探究提高双曲线的定义理解到位是解题的关键．应注意定义中的条件“差的绝对值”，弄清所求轨迹是双曲线的两支，还是双曲线的一支．若是一支，是哪一支，以确保解答的正确性．变式训练2①已知动圆M与圆C1：(x＋4)2＋y2＝2外切，与圆C2：(x－4)2＋y2＝2内切，求动圆圆心M的轨迹方程．解设动圆M的半径为r，则由已知得，|MC1|＝r＋2，|MC2|＝r－2，∴|MC1|－|MC2|＝22，又C1(－4,0)，C2(4,0)，∴|C1C2|＝8.∴22|C1C2|.根据双曲线定义知，点M的轨迹是以C1(－4,0)、C2(4,0)为焦点的双曲线的右支．∵a＝2，c＝4，∴b2＝c2－a2＝14.∴点M的轨迹方程是x22－y214＝1(x≥2)．②在平面直角坐标系xOy中，已知△ABC的顶点A(－6，0)和C(6,0)，若顶点B在双曲线x225－y211＝1的左支上，则sinA－sinCsinB＝________．56题型三双曲线的几何性质例3中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|＝213，椭圆的长半轴与双曲线半实轴之差为4，离心率之比为3∶7．(1)求这两曲线方程；(2)若P为这两曲线的一个交点，求cos∠F1PF2的值．探究提高在研究双曲线的性质时，半实轴、半虚轴所构成的直角三角形是值得关注的一个重要内容；双曲线的离心率涉及的也比较多．由于e＝ca是一个比值，故只需根据条件得到关于a、b、c的一个关系式，利用b2＝c2－a2消去b，然后变形求e，并且需注意e1．解(1)由已知：c＝13，设椭圆长、短半轴长分别为a、b，双曲线半实、虚轴长分别为m、n，则a－m＝47·13a＝3·13m，解得a＝7，m＝3.∴b＝6，n＝2.∴椭圆方程为x249＋y236＝1，双曲线方程为x29－y24＝1.(2)不妨设F1、F2分别为左、右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|＋|PF2|＝14，|PF1|－|PF2|＝6，所以|PF1|＝10，|PF2|＝4.又|F1F2|＝213，∴cos∠F1PF2＝|PF1|2＋|PF2|2－|F1F2|22|PF1||PF2|＝102＋42－(213)22×10×4＝45.变式训练3(1)如图，已知F1、F2为双曲线x2a2－y2b2＝1(a0，b0)的焦点，过F2作垂直于x轴的直线交双曲线于点P，且∠PF1F2＝30°，求：(1)双曲线的离心率；(2)双曲线的渐近线方程．(1)3(2)y＝±2x(2)已知点P是双曲线222222221(0,0)xyabxyabab和圆的一个交点，F1，F2是该双曲线的两个焦点，∠PF2F1=2∠PF1F2，则该双曲线的离心率为A．12B．312C．2D．31题型四直线与双曲线的位置关系例4过双曲线x23－y26＝1的右焦点F2，倾斜角为30°的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点