银行投资计划

银行投资计划一、问题的提出某银行经理计划用一笔资金进行有价证券的的投资，可供购进的证券以及其信用等级、到期年限、收益、风险损失率如表一（见附录）。现需要求解如下问题：（1）若该经理有1000万元资金，应该如何投资？（2）如果能够以2.75%的利率借到不超过100万元资金，该经理应该如何操作？（3）在1000万元资金情况下，若证券A的税前收益增加为4.5%，投资应否改变？若证券C的税前收益减少为4.8%，投资应否改变？二、问题的条件与假设条件：按照规定，市政证券的收益可以免税，其它证券的收益需按50%的税率纳税，此外，还有以下限制：（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元；（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4（信用等级数字越小，信用度越高）；（3）所购证券的平均到期年限不超过5年。假设：（1）收益及风险损失率在投资期间为定值，不受意外因素影响。（2）总体风险用投资证券中最大的一个风险来度量；三、符号说明iS第i种投资证券；ir证券iS的信用等级；iy证券iS的到期年限；ip证券iS的到期税前收益；iq证券iS的风险损失；ix投资证券iS的资金（单位：万元）；0r证券收益税率，为50%。四、问题的分析在进行投资前，需要确定这个投资的目标，此次投资，需要达到的目标在风险损失最小的情况下达到最大收益。1.风险损失。我们在假设过程中是采用的总体风险用投资证券中最大的一个风险来度量，即：}5,4,3,2,1|max{ixqii2.净收益。按所给条件可知，除市政证券的收益可以免税以外，其它证券的收益需按的0r的税率纳税，即：收益=)()1(44332205511xpxpxprxpxp3.需要满足的限制条件。（1）政府及代办机构的证券总共至少要购进400万元，即：400432xxx（2）所购证券的平均信用等级不超过1.4，即：51514.1/iiiiixxr（3）所购证券的平均到期年限不超过5年，即：51515/iiiiixxy五、问题（1）的模型建立与求解1.模型的建立总的投资金额为1000万元，要使投资损失在尽可能小的情况下达到净收益尽可能大，这是一个多目标线性规划模型：目标函数：}5,4,3,2,1|max{MIN)()1(MAX44332205511ixqxpxpxprxpxpii约束条件：总投资金额条件：511000iix限制条件：400432xxx514.11000/iiixr5151000/iiixy非负条件：0ix5,4,3,2,1i双目标模型为：}5,4,3,2,1|max{min)()1(max44332205511ixqxpxpxprxpxpii5,4,3,2,1051000/4.11000/4001000..515143251ixxyxrxxxxtsiiiiiiiii2.模型的化简a.在实际的投资中，银行经理可能承受风险的程度不一样，若给定风险一个界限a，使最大的一个风险axqii1000/，则可找到相应的投资方案。这样把多目标规划变成一个目标的线性规划。模型1固定风险水平，优化收益：目标函数：)()1(ΜΑX44332205511xpxpxprxpxpQ约束条件：5,4,3,2,1051000/4.11000/40010001000/515143251ixxyxrxxxxaxqiiiiiiiiiii即模型为：)()1(max44332205511xpxpxprxpxp5,4,3,2,1051000/4.11000/40010001000/..515143251ixxyxrxxxxaxqtsiiiiiiiiiiib.若银行经理希望总盈利至少达到水平k以上，在风险最小的情况下寻找相应的投资组合。模型2固定盈利水平，极小化风险：目标函数：}}max{min{Riixq约束条件：5,4,3,2,1051000/4.11000/4001000)()1(51514325144332205511ixxyxrxxxxkxpxpxprxpxpiiiiiiiiic.银行经理在权衡资产风险和预期收益两方面时，希望选择一个令自己满意的投资组合。因此，对风险、收益赋予权重)10(ss,s称为投资偏好系数。模型3目标函数：)}}()1(){1(}max{{min44332205511xpxpxprxpxpsxqsii约束条件：5,4,3,2,1051000/4.11000/4001000515143251ixxyxrxxxxiiiiiiiii3.模型的求解利用MATLAB工具箱中的linprog函数对模型1进行求解。对于给定数据，模型1为：T54321))(5.4,2.2,5.2,7.2,3.4(minxxxxxf)5,4,3,2,1(05002.0003.0004.0015.0009.04.1005.0001.0001.0002.0002.04000039.00043.00042.00058.00038.01000..54321543214325432154321ixxxxxxxxxxxxxxaxaxaxaxaxxxxxxtsi由于a是任意给定的风险度，到底怎样给定没有一个准则，不同的投资者有不同的风险度。我们从a=3开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序见附录，计算结果如下：a1x2x3x4x5xQ3.04220.19050.0000723.809511.047744.95242.9829e+0033.06219.42860.0000728.57136.857345.14292.9832e+0033.086218.43810.0000734.76191.409545.39052.9835e+0033.087218.40000.0000735.00001.200045.40002.9836e+0033.10218.18180.0000736.36360.000045.45452.9836e+0034.结果分析（1）风险越大，收益越大。（2）上图曲线上的任意一点都表示该风险水平的最大可能收益和该收益下要求的最小风险。对于不同风险的承受能力，选择该水平下的最优投资组合。（3）在087.3a附近有一个转折点，在这一点左边，风险增加很少，利润增长很长；在这一点右边，风险增加很大，利润增长缓慢，所以对于风险和收益没有特殊偏好的投资者来说，应该选择曲线的拐点作为最优投资组合，所对应投资方案为：风险度a收益Q(万元/100)1x2x3x4x5x3.0872983.6218.40735.01.245.4六、问题（2）的模型建立与求解假设借款资金为0x，则1000x。需要支付利息075.2x。目标函数：}5,4,3,2,1|max{MIN75.2))(1(MAX044332205511ixqxxpxpxprxpxpii约束条件：总投资金额条件：10010000510xxxii限制条件：400432xxx51514.1iiiiixxr51515iiiiixxy非负条件：5,4,3,2,1,00ixi采用问题（1）中的模型1对问题进行化简求解，模型化简为：04433220551175.2))(1(maxxxpxpxprxpxp5,4,3,2,1,0054.14001001000)1000/(..5151515143205100ixxxyxxrxxxxxxaxxqtsiiiiiiiiiiiiiii代入数据，模型为：T543210))(5.4,2.2,5.2,7.2,3.4,75.2(minxxxxxxf)5,4,3,2,1,0(003210406.34.04.06.06.040010009.310003.410002.410008.510008.31001000..543215432143250403020100543210ixxxxxxxxxxxxxxaxaxaxaxaxaxaxaxaxaxxxxxxxxtsi从a=3开始，以步长△a=0.001进行循环搜索，编制程序见附录，计算结果如下：a0x1x2x3x4x5xQ3.08100.0000240.53330.0000806.66672.933349.86673.5568e+0033.09100.0000240.11430.0000809.28570.628649.97143.5570e+0033.095100.0000240.00000.0000810.00000.000050.00003.5570e+0033.10100.0000240.00000.0000810.00000.000050.00003.5570e+003综合选择最优投资组合，大约是095.3*a，收效57.35*Q万元，贷款100*0x万元，所对应投资方案为：风险度a收益Q(万元/100)0x1x2x3x4x5x3.09535571002400810050七、问题（3）的模型建立与求解问题（3）实质上是对问题（1）所选投资方案中系数税前收益（ip）进行灵敏度分析，利用LINGO软件包对模型进行求解，程序编制见附录，结果如下：Objectivevalue:2983.560VariableValueReducedCostX1218.40000.000000X20.0000003.064000X3735.00000.000000X41.2000000.000000X545.400000.000000RowSlackorSurplusDualPrice12983.5601.00000020.0000000.832000032.2570800.00000043.0870000.00000050.00000013.3333363.0818400.00000072.9099400.0000008336.20000.00000090.000000636.0000100.000000244.0000最大收益29.8365万元，分配方案与MATLAB软件包求出的结果保持一致。灵敏度分析结果如下：ObjectiveCoefficientRangesCurrentAllowableAllowableVariableCoefficientIncreaseDecreaseX14.3000000.35000001.525000X22.7000003.064000INFINITYX32.500000INFINITY0.5600000E-01X42.2000000.6363636E-01INFINITYX54.5000006.1000001.400000RighthandSideRangesRowCurrentAllowableAllowableRHSIncreaseDecrease21000.000378.33330.731707333.087000INFINITY2.25708043.087000INFINITY3.08700053.0870000.5727273E-