第5章常微分方程数值解法

《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日1例如：时，第5章常微分方程数值解法5.1引言微分方程：包含自变量、未知函数和未知函数导数或微分的方程。例如：，求2xyyyxyy00yxy定解条件：求解微分方程时，所附加的条件——定解问题。初始条件：给出积分曲线在初始时刻的值——初值问题。0xx例如：时，bbyxy边界条件：给出积分曲线在首末两端的值——边值问题。bxx常微分方程：未知函数为一元函数。偏微分方程：未知函数为多元函数。《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日2一阶常微分方程的初值问题：y,xfy00yxy求解?xyy注意：y,xfxy——解函数、积分曲线；xyy——微分函数。y,xfy确定初值问题的解存在而且唯一：李普希兹条件。xyOxyy1x2x1y2y《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日3Lipschitz条件：yyLy,xfy,xf式中，为常量，、为任意实数。Lyy则初值问题的解存在，并且唯一。说明：解函数无限接近时，微分函数也无限接近，则解存在。数值解法：在一系列离散点上，121nnxxxx求解近似值。121nnyyyy采用“步进式”：顺着节点排列顺序，一步一步地向前推进。只要函数适当光滑y,xfxyOxyy1x2x1y2y《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日45.2Euler方法（尤拉方法）5.2.1Euler格式初值问题：y,xfy00yxy解的形式：是通过点的一条曲线xyy00y,x——积分曲线。特点：积分曲线上每一点的切线斜率为y,xy,xfy《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日5尤拉方法：①将解区间离散化，选择步长，b,ah得到离散点：；,x,,x,xn10②由切线，0000y,xfy,x10PP切线与交点：的近似值；1xx1P1y③再由向前推进到，11y,x2P得到折线，近似。nPPP10xyy《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日6任意折线：1nnPP过点直线，nny,x斜率，nny,xfynnnnnny,xfxxyy11nnnny,xfhyy1——尤拉格式《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日7P106例题5.1求解初值问题yxyy210x10y解：尤拉格式，nnnnnyxyhyy2110y10.h000012yxyhyy1021101.10001.111122yxyhyy11102111011.....19181.《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日8局部截断误差：设前一步值准确，算下一步出现的误差假设：nnxyynnnnnnnxy,xfhxyy,xfhyy1nnxyhxy泰勒展开函数：1nxyyhxyhxyxynnn!2!121局部截断误差：nnnxyhyhxyy22112121《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日95.2.2后退的Euler格式离散化：求解微分方程的关键，消除导数项，基本方法之一是用差商替代倒数项。例如：nnnhxyhxyxy10limnnnnnxy,xfxyhxyxy1nnnny,xfhyy1nnxyynnnny,xfhyy1——向前的Euler格式《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日10同理：110limnnnhxyhxyxy111nnnny,xfhyy111nnnny,xfhyy——后退的Euler格式注意：上式隐含，采用迭代法求解。?1ny《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日11迭代法求解：后退的Euler格式①先用尤拉格式，求出初值：01nynnnny,xfhyy01②再将结果代入微分函数：011nny,xf01111nnnny,xfhyy11121nnnny,xfhyy③反复迭代，直到收敛：knknyy111k《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日12可以证明：局部截断误差后退的尤拉格式yhyxynn2211向前的尤拉格式yhyxynn2211因此：平均可减少误差——梯形格式。（注意：误差不可能消除，两公式不同。）《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日135.2.3梯形格式向前Euler格式：nnnny,xfhyy1后退Euler格式：111nnnny,xfhyy梯形格式：两者平均1112nnnnnny,xfy,xfhyy注意：梯形公式可有效减小误差，计算结果更接近实际值。（图示表示梯形法计算结果）《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日14用迭代法求解：梯形格式nnnny,xfhyy01（用向前格式求初值）knnnnnkny,xfy,xfhyy11112（即将上次结果代入）1nf反复迭代，直到两次迭代结果达到误差要求。问题：每个节点，都需迭代计算，计算量太大。《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日155.2.4改进的Euler格式①先用向前Euler格式，求得一个初步的近似值预测：nnnny,xfhyy1②再用梯形公式，将结果校正一次校正：1112nnnnnny,xfy,xfhyy两过程合并：nnnnnnnny,xfhy,hxfy,xfhyy21平均化形式：nnnpy,xfhyypnncy,xfhyy1cpnyyy211《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日16P110例题5.2用改进的Euler方法求解初值问题：yxyy210x10y解：yxyy,xf210101.hnnnnpyxyhyy2pnpncyxyhyy12cpnyyy211《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日175.2.5Euler两步格式1.Euler两步格式问题：改进尤拉格式预测nnnny,xhfyy1——精度差校正1112nnnnnny,xfy,xfhyy——精度高即：两者精度上不匹配，为提高预测精度，采用两步格式。由导数定义：nnnhxyhxyxy2lim110较小时：hnnnnny,xfxyhxyxy211采用近似值：nnnny,xfhyy211《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日18nnnny,xhfyy211尤拉两步格式：优点：①显式，可直接计算；②预测和校正计算具有同等精度。缺点：启动值需两个和。1nyny预测校正系统：预测nnnny,xhfyy211校正1112nnnnnny,xfy,xfhyy《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日192.局部截断误差假设，为准确值nnxyy11nnxyy（1）两步尤拉公式nnnnnnnxy,xhfxyy,xhfyy22111nnnxyhxyy211①尤拉两步法：预测和校正计算具有同等精度。证明：《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日20将函数用泰勒级数展开：（较小，相差不大）yhxyhxyhxyxynnnn!3!2!1321yhxyhxyhxyxynnnn!3!2!1321yhxyhxyxynnn!322311yhxyhxyxynnn32311②将①、②两式相减：yhyxynn3311——两步法局部截断误差h《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日21（2）梯形公式1112nnnnnny,xfy,xfhyy112nnnnnxy,xfxy,xfhxy112nnnnxyxyhxyy①将函数用泰勒级数展开：yhxyhxyhxyxynnnn!3!2!1321②yhxyhxyxynnn!2!121③（较小，相差不大）h《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日22①、②两式相减，并代入③式：yhxyhxyhyxynnnn!3!2!1321112nnxyxyhyhxyhxyhnn!3!2!132yhxyhxyhnn!2222yhyxynn12311——梯形法局部截断误差因此：两种方法局部截断误差都与、有关，相差不大。3hy《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日23由局部截断误差：3.提高精度的计算方案——误差补偿411111nnnnyxyyxy整理得：111154nnnnyyyxy——预测误差估计代入上式：111151nnnnyyyxy——校正误差估计《数值分析》黄龙主讲2020年4月26日24误差补偿：设，预测，校正11nnyp11nnyc预测值改进：11154nnncpp校正值改进：11151nnncpc方案：预测nnnyhyp211（两步法预测）改进nnnncppm5411（未知，用）1ncnc计算111nnnm,xfm（计算点导数）1nx校正nnnnymhyc112（梯形公式校正）改进111151nnnncpcy（结果更准确）