2.3.4 平面与平面垂直的性质

2.3.4平面与平面垂直的性质1.使学生掌握平面与平面垂直的性质定理；（重点）2.能运用性质定理解决一些简单问题；（难点）3.了解平面与平面垂直的判定定理和性质定理间的相互联系。墙角线与地面有何位置关系？lmnl与平面有什么关系？思考1黑板所在的平面与地面所在的平面垂直，你能否在黑板上画出一条直线与地面垂直?A1D1B1C1CBADαβEF思考2如图，长方体中，α⊥β,(1)α里的直线都和β垂直吗？(2)什么情况下α里的直线和β垂直？与AD垂直不一定思考3垂足为B，那么直线AB与平面β的位置关系如何？为什么？,CD，,ABαβABDCE,ABCD垂直∵,∴AB⊥BE.又由题意知AB⊥CD,且BECD=B垂足为B.∴AB⊥.则∠ABE就是二面角的平面角.CD证明:在平面内作BE⊥CD,αβABDCE平面与平面垂直的性质定理符号表示:CDABABABCDABCDBDCAB两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．（线是一个平面内垂直于两平面交线的一条直线）面面垂直线面垂直作用：①它能判定线面垂直.②它能在一个平面内作与这个平面垂直的垂线.关键点：①线在平面内.②线垂直于交线.DCAB思考4设平面⊥平面，点P在平面内，过点P作平面的垂线a，直线a与平面具有什么位置关系?aa直线a在平面内βαPβαP两个平面垂直，则过某个平面内一点垂直于另一个平面的直线在该平面内.B.5AABaaa已知平面，，直线∥，，试判断直线与思的位置关系考αβAbalB垂直1aa,aa.例如图，已知平面，，，直线满足，试判断直线与平面的位置关系αβAbal分析：寻找平面α内与a平行的直线.解：在α内作垂直于交线的直线b，∵∴∵∴a∥b.又∵∴a∥α.即直线a与平面α平行.，b，a，a，结论：垂直于同一平面的直线和平面平行（）.aαβAbal与(2012·北京模拟)如图，正方形ADEF与梯形ABCD所在的平面互相垂直，AD⊥CD，AB∥CD，AB=AD=2，CD=4，M为CE的中点.(1)求证：BM∥平面ADEF；(2)求证：平面BDE⊥平面BEC.【证明】(1)取DE中点N，连接MN，AN.在△EDC中，M，N分别为EC，ED的中点，所以MN∥CD，且MN=CD.由已知AB∥CD，AB=CD，所以MN∥AB,且MN=AB,所以四边形ABMN为平行四边形.所以BM∥AN.又因为AN平面ADEF，且BM平面ADEF，所以BM∥平面ADEF.1212(2)因为四边形ADEF为正方形，所以ED⊥AD，又因为平面ADEF⊥平面ABCD，且平面ADEF∩平面ABCD=AD.又因为ED平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD.所以ED⊥BC.在直角梯形ABCD中，AB=AD=2，CD=4，可得BC=，在△BCD中，BD=BC=，CD=4，所以BC⊥BD，BD∩ED=D,所以BC⊥平面BDE，又因为BC平面BCE，所以平面BDE⊥平面BEC.22221.(2012·合肥模拟)设m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，给出下列四个命题：①若m⊥α,n∥α,则m⊥n②若α∥β,β∥γ,m⊥α,则m⊥γ③若m∥α,m∥β,则α∥β④若α⊥γ,β⊥γ,则α∥β其中正确命题的序号是______.解：①∵n∥α,∴过n的一个平面α′与α的交线n′平行于n,又∵m⊥α,∴m⊥n′,而n′∥n,∴m⊥n.②∵α∥β,β∥γ,∴α∥γ,又∵m⊥α,∴m⊥γ.③m∥α,m∥β，则α与β可能平行，也可能相交.④α⊥γ,β⊥γ时，α与β可能平行，也可能相交.答案:①②2.已知两个平面垂直，下列命题中正确的有（）.①一个平面内已知直线必垂直于另一个平面内的任意直线；②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面内的无数条直线；③一个平面内的任意一条直线必垂直于另一个平面；④过一个平面内的任意一点做交线的垂线，则此垂线必垂直于另一个平面.A.3个B.2个C.1个D.0个B3.下列命题中，正确的是（）A.过平面外一点，可作无数条直线和这个平面垂直B.过一点有且仅有一个平面和一条定直线垂直C.若a,b异面，过a一定可作一个平面与b垂直D.a,b异面，过不在a,b上的点M，一定可以作一个平面和a,b都垂直.B4.如图，已知PA⊥平面ABC，平面PAB⊥平面PBC，求证：BC⊥平面PAB.PABC∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC,∴PA⊥BC，又∵PA∩AE=A,故BC⊥平面PAB证明：过点A作AE⊥PB，垂足为E，∵平面PAB⊥平面PBC，平面PAB∩平面PBC=PB，∴AE⊥平面PBC.∵BC平面PBC,∴AE⊥BC分析：作出图形.abαβlγmnabαβlγnmA（法二）,.ll5.已知平面，，满足，，求证：（法一）在α内作直线a⊥n证法1：设在β内作直线b⊥m,,nm//baabαβlγabmnab同理//bbl//.blbll在γ内过A点作直线a⊥n，证法2：设在γ内过A点作直线b⊥m，nanalalbl同理abA.l在γ内任取一点A（不在m,n上），abαβlγnmA,,nm如果两个相交平面都垂直于另一个平面，那么这两个平面的交线垂直于这个平面.结论αβγl判断线面垂直的两种方法：①线线垂直→线面垂直；②面面垂直→线面垂直.如图：αβaAB线线垂直线面垂直线线平行面面平行面面垂直垂直、平行关系小结2.面面垂直的性质推论：1.平面与平面垂直的性质定理：面面垂直线面垂直αβγlαβAbalβαPaaa∥αlDCAB