数学九年级下华东师大版29.1几何问题的处理方法(1)复习课件

例1：如图所示，直线a//b，∠1=50°，求∠2的度数。解：∵a//b(已知)∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）又∵∠1=50°（已知）∴∠2=50°abc4321∠3和∠4的度数如何求得？29.1几何问题的处理方法（1）例题2.如图.已知BC＝3，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点O，OE∥AB，OF∥AC，求△OEF的周长。ABCEFO解：∵OB平分∠ABC∴∠1＝∠2∵OE∥AB∴∠1＝∠3∴∠2＝∠3∴BE＝EO同理CF＝OF∴△OEF的周长＝OE＋EF＋OF＝BE＋EF＋CF＝BC＝3123例3:如右图，在四边形ABCD中，已知∠B=60°，∠C=120°，AB与CD平行吗？AD与BC平行吗？解：本题中直线AB与CD平行，但根据题目的已知条件，无法判定AD与BC平行。∵∠B=60°，∠C=120°（已知）∴∠B+∠C=180°∴AB∥CD（同旁内角互补，两直线平行）例4．如图：一束平行光线AB和DE射向一个水平镜面后被发射，此时∠1=∠2，∠3=∠4。1234BEACDF（1）∠1，∠3的大小有什么关系？∠2与∠4呢？∵AB∥DE∴∠1=∠3相等你知道理由吗？两直线平行同位角相等（2）反射光线BC与EF也平行吗？∵∠2=∠4∴BC∥EF平行同位角相等两直线平行∵∠1=∠3且∠1=∠2，∠3=∠4∴∠2=∠4例题精选例6：1、在等腰△ABC中，AB=3，AC=4，则△ABC的周长=________2、在等腰△ABC中，AB=3，AC=7，则△ABC的周长=________此例题的重点是运用等腰三角形的定义，以及等腰三角形腰和底边的关系。仔细比较以上两个例题，并强调在没有明确腰和底边之前，应该分两种情况讨论。而且在讨论后还应该思考一个问题:10或1117就是这样的三条边能否够成三角形!例7：1、在等腰△ABC中，AB=AC,∠B=50°,则∠A=__，∠C=__此例题的重点是运用等腰三角形“等边对等角”这一性质，突出顶角和底角的关系。强调等腰三角形中顶角和底角的取值范围：0°＜顶角＜180°,0°＜底角＜90°在等腰三角形中，已知一个角就可以求出另外两个角。例题精选2、在等腰△ABC中，∠A=100°,则∠B=___，∠C=___仔细比较以上两个例题，得出结论一个经验：50°80°40°40°例8:在等腰△ABC中，∠A=40°,求∠B度数。此题是一道陷阱题，可以先让学生进行分析，和例二的2小题比较，估计会出一些状况，大多数学生会按照“两种情况”讨论，得到“两个答案”。CBAACBBCA给学生画出图形进行分析，分“两种情况”讨论，得到却的是“三个答案”。强调需要自己画图解题时，一定要三思而后行！例题精选此时∠B=40°此时∠B=100°此时∠B=70°此题的目的在于等腰三角形“等边对等角”和“三线合一”性质的运用.以及怎么书写解答题，强调“三线合一”的表达过程。解：在△ABC中，∵AB=AC，∠B=50°，∴∠B=∠C=50°又∵∠A+∠B+∠C=180°,∴∠A=80°在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点∴AD是底边上的中线根据等腰三角形“三线合一”知：AD是∠BAC的平分线，即∠BAD=∠CAD=40°例9：在△ABC中，AB=AC，点D是BC的中点，∠B=50°，求∠BAD的度数？例题精选ACBD例10.如图，已知在△ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，CE⊥AB于E，BD与CE相交于M点。求证：BM=CM。•证明：∵AB=AC•∴∠ABC=∠ACB（等边对等角）•∴BD⊥AC于D，CE⊥AB于E•∴∠BEC=∠CDB=90°•∴∠1+∠ACB=90°，∠2+∠ABC=90°（直角三角形两个锐角互余）•∴∠1=∠2（等角的余角相等）•∴BM=CM（等角对等边）ABCD12EM说明：本题易习惯性地用全等来证明，虽然也可以证明，但过程较复杂，应当多加强等腰三角形的性质和判定定理的应用。例11.已知：如图，∠A=90°，∠B=15°，BD=DC.求证：AC=BD.•证明：•∵BD=DC，∠B=15°•∴∠DCB=∠B=15°（等角对等边）•∴∠ADC=∠B+∠DCB=30°•（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）•∵∠A=90°•∴AC=DC•∴AC=BD2121ABCD12例12.如图，已知△ABC中，AB=AC，BD=BC，AD=DE=EB.求∠A的度数.•分析：本题有较多的等腰三角形的条件，最好用列方程组的方法来求解，应当在图形上标出各未知数，可使解题过程清晰明了。解：设∠A=x，∠EBD=y，∠C=z∵AB=AC∴∠ABC=∠C=z∵BD=BC∴∠C=∠BDC=z∵BE=DE∴∠EBD=∠EDB=y∵AD=DE∴∠A=∠AED=x又∵∠BDC=∠A+∠ABD，∠AED=∠EBD+∠EDB（三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和）∠A+∠ABC+∠ACB=180°（三角形内角和为180°）∴解得x=45°即：∠A=45°2180xyzxyxzzABCDExyzxyz例13.已知：如图，∠C=90°，BC=AC，D、E分别在BC和AC上，且BD=CE，M是AB的中点.求证：△MDE是等腰三角形.•分析：要证△MDE是等腰三角形，只需证MD=ME。连结CM，可利用△BMD≌△CME得到结果。证明：连结CM∵∠C=90°，BC=AC∴∠A=∠B=45°∵M是AB的中点∴CM平分∠BCA（等腰三角形顶角的平分线和底边上的中线重合）∴∠MCE=∠MCB=∠BCA=45°∴∠B=∠MCE=∠MCB∴CM=MB（等角对等边）在△BDE和△CEM中∴△BDM≌△CEM（SAS）∴MD=ME∴△MDE是等腰三角形CMBMMCEBCEBDABCDEM例14.如图，在等边△ABC中，AF=BD=CE，求证：△DEF也是等边三角形.•证明：∵△ABC是等边三角形•∴AC=BC，∠A=∠C•∵CE=BD•∴BC－BC=AC－CE•∴CD=AE•在△AEF和△CDE中•∴△AEF≌△CDE（SAS）•∴EF=DE•同理可证EF=DF•∴EF=DE=DF•∴△DEF是等边三角形CEAFCACDAEABCDEF说明：证明等边三角形有三种思路：①证明三边相等②证明三角相等③证明三角形是有一个角为60°的等腰三角形。具体问题中可利用不同的方式进行求解。★★例15如图2-8-1,中，AB=AC，D为AB上一点，E为AC延长线上一点，且BD=CE，DE交BC于G求证：DG=EG•思路因为△GDB和△GEC不全等，所以考虑在△GDB内作出一个与△GEC全等的三角形。证明：过D作DH∥AE，交BC于H∴∵AB=AC∴∴∴DB=DH又∵DB=CE∴DH=CE又∵∴∴DG=EG.说明本题易明显得出DG和EG所在的△DBG和△ECG不全等，故要构造三角形的全等，本题的另一种证法是过E作EF∥BD，交BC的延长线于F，证明△DBG≌△EFG，同学们不妨试一试。★★★★例16如图2-8-6，在△ABC中，AB=AC=CB，AE=CD，AD、BE相交于P，BQ⊥AD于Q.求证：BP=2PQ•思路在Rt△BPQ中，本题的结论等价于证明∠PBQ=30°证明∵AB=CA，∠BAE=∠ACD=60°，AE=CD，∴△BAE≌△ACD∴∠ABE=∠CAD∴∠BPQ=∠ABE+∠BAP=∠CAD+∠BAP=60°又∵BQ⊥AD∴∠PBQ=30°∴BP=2PQ说明本题把证明线段之间的关系转化为证明角的度数，这种转换问题的方法值得同学们细心体会。练习题：1.如图，在四边形ABCD中，已知AD//BC，∠A=60°，求∠B的度数，ABDC解：∵AD//BC(已知)∴∠A+∠B=180°又∵∠A=60°∴∠B=120°（两直线平行，同旁内角互补）能否求得∠C的度数？综合测试C2、如图，已知下列条件可以判定哪两条直线平行，并说明判定的根据是什么？ABDE⌒⌒⌒⌒312（1）∠A=∠C（2）∠1+∠B=180°（3）∠2=∠3F练功房（思维发散）3、选做题已知：如图，在△ABC中，AB=AC,E在AC上，D在BA的延长线上，AD=AE，连结DE。请问：DE⊥BC成立吗？BCEAD此题难度较大,可以供学习能力较强学生选做!4.如图，在△ABC中，AB=AC，DB=DC。求证：（1）∠1=∠2；（2）AD⊥BC拓展提高21（第1题）EDCBA5.如图,C是线段AB上一点,△ACD和△BCE是等边三角形,AE交CD于MBD交CE于N,交AE于O.求证:(1)∠AOB=120°(2)CM=CN(3)MN//ABABCDEMNO6.已知,在△ABC中∠ACB=900,CD,CE三等分∠ACB,CD⊥AB求证:(1)AB=2BC(2)CE=AE=EBABCDE7.如图,点D在AC上,点E在AB上,且AB=AC,BC=BD,AD=DE=BE.求∠A的度数.ABCDExx思考：在△ABC中,已知,BO平分∠ABC,CO平分∠ACB.（1）请问图中有多少个等腰三角形?说明理由。（2）线段EF和线段EB,FC之间有没有关系?若有是什么关系?FE0BCAACAB若AB=ACAB≠ACB0CAEF过点O作直线EF//BC交AB于E,交AC于F。解