2018年高考数学不等式-章节总复习

高中数学不等式总复习2017年10月第1页共18页第1节不等关系与不等式一、学习指导不等式的性质是解(证)不等式的基础，关键是正确理解和运用，要弄清条件和结论，考试中多以小题出现，题目难度不大，学习时，应抓好基本概念，少做偏难题。二、基础梳理1．不等式的定义在客观世界中，量与量之间的不等关系是普遍存在的，我们用数学符号连接两个数或代数式以表示它们之间的不等关系，含有这些不等号的式子，叫做不等式．2．比较两个实数的大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有a－b＞0⇔；a－b＝0⇔；a－b＜0⇔.另外，若b＞0，则有ab＞1⇔a＞b；ab＝1⇔a＝b；ab＜1⇔a＜b.3．不等式的性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a；(2)传递性：a＞b，b＞c⇔；(3)可加性：a＞b⇔a＋cb＋c，a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d；(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd；(5)可乘方：a＞b＞0⇒an＞bn(n∈N，n≥2)；(6)可开方：a＞b＞0⇒na＞nb(n∈N，n≥2)．三、典型题型题型一比较大小（作差、作商）【例1】已知a，b，c是实数，试比较a2＋b2＋c2与ab＋bc＋ca的大小．解：∵a2＋b2＋c2－(ab＋bc＋ca)＝12[(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2]≥0，当且仅当a＝b＝c时取等号．∴a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.方法二：变换主元法。a2-a(b+c)+(b2＋c2)=0，△≤0.【训练1】已知a，b∈R且a＞b，则下列不等式中一定成立的是()．A.ab＞1B．a2＞b2C．lg(a－b)＞0D.12a＜12b题型二不等式的性质【例2】若a＞0＞b＞－a，c＜d＜0，则下列命题：(1)ad＞bc；(2)ad＋bc＜0；(3)a－c＞b－d；(4)a·(d－c)＞b(d－c)中能成立的个数是()．A．1B．2C．3D．4高中数学不等式总复习2017年10月第2页共18页方法总结：在判断一个关于不等式的命题真假时，先把要判断的命题和不等式性质联系起来考虑，找到与命题相近的性质，并应用性质判断命题真假，当然判断的同时还要用到其他知识，比如对数函数，指数函数的性质等．题型三不等式性质的应用【例3】已知函数f(x)＝ax2＋bx，且1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4.求f(－2)的取值范围．[审题视点]可利用待定系数法寻找目标式f(－2)与已知式f(－1)，f(1)之间的关系，即用f(－1)，f(1)整体表示f(－2)，再利用不等式的性质求f(－2)的范围．解：f(－1)＝a－b，f(1)＝a＋b.f(－2)＝4a－2b.设m(a＋b)＋n(a－b)＝4a－2b.∴m＋n＝4，m－n＝－2，∴m＝1，n＝3.∴f(－2)＝(a＋b)＋3(a－b)＝f(1)＋3f(－1)．∵1≤f(－1)≤2,2≤f(1)≤4，∴5≤f(－2)≤10.题型四利用不等式的性质证明简单不等式【例4】设a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.证明：∵a＞b＞c，∴－c＞－b.∴a－c＞a－b＞0，∴1a－b＞1a－c＞0.∴1a－b＋1c－a＞0.又b－c＞0，∴1b－c＞0，1a－b＋1b－c＋1c－a＞0.【训练1】设a＞b＞c，求证：1a－b＋1b－c＞1a－c.[审题视点]解决()()()fxfyfxy与问题时，考虑函数()fxx的单调性，()()()()(),(),()()()fxfxyxfxyyfxyxxyfxfyfxfyfxyxxyxyxy，，即同理故例如本题1(),()()()fxfabfbcfabbcx设待证：四、小结高中数学不等式总复习2017年10月第3页共18页第2节一元二次不等式及其解法一、学习指导1．结合“三个二次”之间的联系，掌握一元二次不等式的解法．2．以函数为载体，考查不等式的参数范围问题．二、基础梳理1．一元二次不等式的解法(1)将不等式的右边化为零，左边化为二次项系数大于零的不等式ax2＋bx＋c＞0(a＞0)或ax2＋bx＋c＜0(a＞0)．(2)求出相应的一元二次方程的根．(3)利用二次函数的图象与x轴的交点确定一元二次不等式的解集．2．一元二次不等式与相应的二次函数及一元二次方程的关系如下表：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有两相异实根x1，x2(x1＜x2)有两相等实根x1＝x2＝－b2a没有实数根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集{x|x＞x2或x＜x1}x|x≠－b2aRax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}∅∅一个技巧一元二次不等式ax2＋bx＋c＜0(a≠0)的解集的确定受a的符号、b2－4ac的符号的影响，且与相应的二次函数、一元二次方程有密切联系，可结合相应的函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象，数形结合求得不等式的解集．若一元二次不等式经过不等式的同解变形后，化为ax2＋bx＋c＞0(或＜0)(其中a＞0)的形式，其对应的方程ax2＋bx＋c＝0有两个不等实根x1，x2，(x1＜x2)(此时Δ＝b2－4ac＞0)，则可根据“大于取两边，小于夹中间”求解集．两个防范(1)二次项系数中含有参数时，参数的符号影响不等式的解集；不要忘了二次项系数是否为高中数学不等式总复习2017年10月第4页共18页零的情况；(2)解含参数的一元二次不等式，可先考虑因式分解，再对根的大小进行分类讨论；若不能因式分解，则可对判别式进行分类讨论，分类要不重不漏．三、典型题型题型一一元二次不等式的解法【例1】已知函数f(x)＝x2＋2x，x≥0，－x2＋2x，x＜0，解不等式f(x)＞3.解：由题意知x≥0，x2＋2x＞3或x＜0，－x2＋2x＞3，解得：x＞1.故原不等式的解集为{x|x＞1}．小结：解一元二次不等式的一般步骤是：(1)化为标准形式；(2)确定判别式Δ的符号；(3)若Δ≥0，则求出该不等式对应的二次方程的根，若Δ＜0，则对应的二次方程无根；(4)结合二次函数的图象得出不等式的解集．拓展：穿针引线法．特别地，若一元二次不等式的左边的二次三项式能分解因式，则可立即写出不等式的解集．【训练1】函数f(x)＝2x2＋x－3＋log3(3＋2x－x2)的定义域为________．解析：依题意知2x2＋x－3≥0，3＋2x－x2＞0，解得x≤－32或x≥1，－1＜x＜3.∴1≤x＜3.故函数f(x)的定义域为[1,3)．题型二含参数的一元二次不等式的解法【分类讨论】【例2】求不等式12x2－ax＞a2(a∈R)的解集．解：∵12x2－ax＞a2，∴12x2－ax－a2＞0，即(4x＋a)(3x－a)＞0，令(4x＋a)(3x－a)＝0，得：x1＝－a4，x2＝a3.①a＞0时，－a4＜a3，解集为x|x＜－a4或x＞a3；②a＝0时，x2＞0，解集为{x|x∈R且x≠0}；③a＜0时，－a4＞a3，解集为x|x＜a3或x＞－a4.综上所述：当a＞0时，不等式的解集为x|x＜－a4或x＞a3；当a＝0时，不等式的解集为{x|x∈R且x≠0}；当a＜0时，不等式的解集为x|x＜a3或x＞－a4.【训练2】解关于x的不等式(1－ax)2＜1.高中数学不等式总复习2017年10月第5页共18页方法一：(ax-1)2＜1所以-1ax-11，所以0ax2,讨论a与0的关系；方法二：由(1－ax)2＜1，得a2x2－2ax＜0，即ax(ax－2)＜0，当a＜0时，2a＜x＜0；当a＝0时，x∈∅.当a＞0时，由ax(ax－2)＜0，得a2xx－2a＜0，即0＜x＜2a.综上所述，……题型三不等式恒成立问题【例3】已知不等式ax2＋4x＋a＞1－2x2对一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．解：原不等式等价于(a＋2)x2＋4x＋a－1＞0对一切实数恒成立，显然a＝－2时，解集不是R，因此a≠－2，从而有220,44(2)(1)0.aaa整理，得2,(2)(3)0.aaa所以a＞－2，a＜－3或a＞2，所以a＞2.故a的取值范围是(2，＋∞)．【训练3】已知f(x)＝x2－2ax＋2(a∈R)，当x∈[－1，＋∞)时，f(x)≥a恒成立，求a的取值范围．解法一：f(x)＝(x－a)2＋2－a2，此二次函数图象的对称轴为x＝a.①当a∈(－∞，－1)时，f(x)在[－1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(－1)＝2a＋3.要使f(x)≥a恒成立，只需f(x)min≥a，即2a＋3≥a，解得－3≤a＜－1；②当a∈[－1，＋∞)时，f(x)min＝f(a)＝2－a2，由2－a2≥a，解得－1≤a≤1.综上所述，所求a的取值范围为[－3,1]．解法二：令g(x)＝x2－2ax＋2－a，由已知，得x2－2ax＋2－a≥0在[－1，＋∞)上恒成立，即Δ＝4a2－4(2－a)≤0或0,1(1)0.ag解得－3≤a≤1.所求a的取值范围是[－3,1]．解法三：[分离变量法]2(21)2210xaxx，讨论与关系高中数学不等式总复习2017年10月第6页共18页第3节二元一次不等式（组）与平面区域一、基础梳理1．二元一次不等式表示的平面区域(1)一般地，直线l：ax＋by＋c＝0把直角坐标平面分成了三个部分：①直线l上的点(x，y)的坐标满足；②直线l一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＞0；③直线l另一侧的平面区域内的点(x，y)的坐标满足ax＋by＋c＜0.所以，只需在直线l的某一侧的平面区域内，任取一特殊点(x0，y0)，从ax0＋by0＋c值的正负，即可判断不等式表示的平面区域．(2)由于对直线Ax＋By＋C＝0同一侧的所有点(x，y)，把它的坐标(x，y)代入Ax＋By＋C所得到实数的符号都，所以只需在此直线的某一侧取一个特殊点(x0，y0)，由Ax0＋By0＋C的即可判断Ax＋By＋C＞0表示直线Ax＋By＋C＝0哪一侧的平面区域．一种方法确定二元一次不等式表示的平面区域时，经常采用“直线定界，特殊点定域”的方法．(1)直线定界，即若不等式不含等号，则应把直线画成虚线；若不等式含有等号，把直线画成实线．(2)特殊点定域，即在直线Ax＋By＋C＝0的某一侧取一个特殊点(x0，y0)作为测试点代入不等式检验，若满足不等式，则表示的就是包括该点的这一侧，否则就表示直线的另一侧．特别地，当C≠0时，常把原点作为测试点；当C＝0时，常选点(1,0)或者(0,1)作为测试点．PS:0同号右，异号在下。如Ax＋By＋C0，只要A、B同号,区域在直线的右侧。2．注意事项（1）作不等式所表示的平面区域时应注意区分边界的虚实；（2）不等式组所表示的平面区域是组中各个不等式所表示平面区域的公共部分。典型例题分析例1：求不等式组3006xyxyx表示的平面区域的面积。解析：高中数学不等式总复习2017年10月第7页共18页【法1】（特殊三角形）显然ABC为等腰直角三角形，90A，ACAB，易得B点坐标为)3,3(，C点坐标为)9,3(，则12||BC∴3661221ABCS。【法2】（面积公式）易得A点坐标为)3,3-(，B点坐标为)3,3(，C点坐标为)9,3(，则26)39()33(||22AC由点到直线的距离公式得高262|6)3(3|ACh∴36262621ABCS。【法3】（向量法）易得A点坐标为)3,3-(，B点坐标为)3,3(，C点坐标为)9,3(，则)6,6(AC，)6,6(AB∴3666)6(621ABCS。故不等式组3006xyxyx表示的平面区域的面积等于36。例2：求不等式211yx表示的平面区域的面积。解析：不等式211yx可化为411yxyx或211yxyx或